在初中視角下談函數的整體性教學策略研究

彭麗華

【摘要】數學教育中實踐整體性原則就是要樹立數學教育觀，其實質是數學的整體素質教育.要把師生從數學知識的微觀教學中解放出來，升華為數學能力、數學智慧、人類文化及科學文明教育.

【關鍵詞】數學;函數;教學

相當一部分學生在進入高中后，由于多方面的因素導致數學跟不上，其中有個重要的原因就是初中函數的基礎沒有打好，導致高中的“頭”沒開好.那么，除了高中教師在了解學生的數學已學知識和心理特征后，做好函數的銜接教學之外，下面來談一下作為初中教師，又能為學生的后續(xù)學習做好怎樣的準備.

一、函數概念的整體性教學策略

1.函數是知識網絡中的“節(jié)點”，有助于產生系統(tǒng)化、結構化的數學知識.利用豐富的生活資源讓學生體會數學來源于生活，通過勻速行駛的列車等讓學生體會變量與常量，創(chuàng)設大量學生熟悉的實際情況，讓學生探索發(fā)現同類事物的關鍵特征，便可得到函數的定義.

2.函數概念的同化與順應.當學生的認知結構中已有函數的概念，后續(xù)學習一次函數、反比例函數、二次函數雖然都以“形如”的函數表達式出現，但我們可以將自變量x取不同的數，對應的都會有唯一的y值.始終圍繞函數概念的“唯一”這個關鍵詞，以此使學生形成結構化、系統(tǒng)化的知識概念.另外，函數的概念可通過反例和變式進一步強化.

3.函數的概念在實際應用中不斷回歸、反芻.在實際問題中的分段函數體現了隨著自變量的取值范圍發(fā)生改變，函數有著不同的表達式.初中函數的定義采用的是“變量說”，不同于高中的“對應說”，故而沒有明確的函數三要素：定義域、對應法則、值域之說.但課程標準要求能確定簡單實際問題中函數自變量的取值范圍，并會求出函數值，這與高中的目標是一致的.在實際問題的應用中，對各個變量情況進行初步討論，對照函數的定義讓學生體會函數的“唯一”性.

重視對圖形語言的回歸.由于定義采用的是列式表示，幾類函數在給出函數的定義后都是通過列表法來描點得到函數的圖像.在這里列表的過程本身體現了函數的兩個變量的依賴關系及“唯一”性，那么由此得到的圖像也正是刻畫兩個變量間的這種關系.當直接給出圖像來判斷變量間關系是否為函數時，依然抓住“唯一”性.

例如，下列圖像表示函數圖像的是（ ）.

可以取圖像上任意一點向x軸做垂線，若該垂線與圖形有兩個或兩個以上的交點，那么這個圖形就不是函數圖像;若只有一個交點，則這個圖形就是函數圖像.這是方法，但要跟學生解釋清楚取圖像上任意一點向x軸做垂線與圖形的交點的橫坐標就是自變量，根據函數的定義有“唯一”的因變量與之對應，也就是說只有一個點，所以有兩個或兩個以上的交點，那么這個圖像就不是函數圖像.

二、單個函數的整體性教學策略

（一）通過“章頭課”引領整章的教學

以全局觀把握整章學了什么，如何學習，走向何方.“章頭圖”就是激起同學們學習新的章節(jié)的欲望，樹立良好的信心.

以一次函數為例，蘇科版通過三張“章頭圖”開啟函數的全新之旅：直角坐標系下一條標有y=kx+b的直線、飛速行駛的列車、彈簧長度與受力大小的實驗.這三幅圖讓我們感受到一次函數并非冷冰無趣的，而是具有強烈的感召力和富有靈動的.彈簧的長度隨著砝碼的變化而發(fā)生改變，激發(fā)學生找尋百變不離其宗的規(guī)律.逐步引導學生自主以實際問題為背景對一次函數下定義，并發(fā)現函數的三種表示方法.通過列表描點進一步研究函數的圖像，讓學生嘗試編寫教材去設計應用題，體會函數來源于生活最終回歸生活.讓學生充滿自信地翻開新的篇章.通過這樣一個“章頭課”的設計逐步引導學生建構出整章相關知識的框架.

（二）突出函數的數形結合思想，強化待定系數法

初中所學函數的定義都是從“數”的角度提出的，故而待定系數法作為一種“數”的研究必須強化.要注意不應單純強調方法，而需引導學生感知要確定一個待定系數的值（一個未知數），就需要具備一個已知條件，這一靈魂應貫穿于整個函數的教學.

當函數的自變量賦予具體的數后便有具體的值與之對應，采用列表的形式而后在坐標系中表示出來，便有了“形”.一次函數的圖像是一條直線，反比例函數的圖像是一條雙曲線，二次函數的圖像是拋物線.反過來，當我們判斷一個點是否在函數的圖像上時，從“形”上直接描點無法精確，此時，仍需回歸到數，將橫坐標作為自變量帶入求出函數值，檢驗與縱坐標是否一致來判斷是否在圖像上.

二次函數從代數角度來說明問題：從非負性的性質來確定函數的自變量和因變量范圍;從平方根的概念尋找函數的對稱軸;從變量變化發(fā)現函數的單調性;理解配方的意義.而這些從二次函數的圖像即“形”的角度亦可觀察得來.

三、多個函數之間的整體性教學策略

初中所學的函數類型，在一次函數這個支架搭好的基礎上，把凌亂的多個函數串在一起，使它們成為有序的群體.學生不僅能掌握好獨立的每個函數，也有利于產生不同函數類型間的聯系與區(qū)別.在一次函數的教學中按照概念表示法、圖像、性質及應用這樣一條脈絡行走的，當學生掌握好一次函數后便可按圖索驥來學習后續(xù)的反比例函數及二次函數.

反過來，后續(xù)函數的學習亦可對之前所學函數進行鞏固提升.以圖像的平移為例，在二次函數的教學中，教材安排了幾組函數討論了函數的上下及左右平移.而在一次函數中教材只是涉及了上下平移，這是由于學生當時的思維層面決定的.但是，在初三學完二次函數之后，再讓學生體會一次函數的左右平移便水到渠成.另外，可以讓學生大膽的嘗試對反比例函數進行上下左右的平移，于是便有了一次分式函數.作為初高中教材的真空地帶，對學有余力的同學可以拓展研究，讓學生體驗到自我發(fā)現一類新函數的成功與喜悅.

四、函數與方程、不等式的整體教學策略

函數與方程（不等式）作為中學階段重要的思想方法，從方程、不等式到函數的正遷移，讓學生有了塊狀的數學思想方法統(tǒng)領，優(yōu)化整體的知識結構，提高教學效率.“搭小魚”這個材料前后4次貫穿其中，并不斷深入研究.

兩個一次函數的圖像有一個交點，那么交點的坐標就是相應的二元一次方程組的解，反之亦然.根據平面直角坐標系內一條直線與x軸的交點，在x軸上方和下方部分的所有點的橫坐標滿足的特征，便很好地把一次函數圖像與一元一次方程、不等式建立了聯系.同樣的，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖像與x軸交點的個數即為一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）實數根的個數，反之，亦可根據方程根的情況判斷函數圖像與x軸交點的個數，交點橫坐標即為方程的根.教材中讀一讀的引申便指向高中要學習的一元二次不等式，形成了知識的系統(tǒng)性，也為高中學習零點做好鋪墊.

綜上所述，在函數教學中注意知識橫向和縱深發(fā)展結合，對知識的整體性教學進行有效整合，不是簡單的零件組裝，要充分挖掘教材、層層設計、統(tǒng)籌兼顧.數學教育中實踐整體性原則就是要樹立數學教育觀，其實質是數學的整體素質教育.要把師生從數學知識的微觀教學中解放出來，升華為數學能力、數學智慧、人類文化及科學文明教育.

【參考文獻】

[1]李霞.初高中函數銜接教學問題探究——二次函數課“代數說理”的數學嘗試[J].福建基礎教育研究，2015（2）：29-30.

[2]李樹臣，高耿海.整體把握函數內容，宏觀設計教學策略——以青島版《義務教育教科書·數學》對“函數”的設計為例[J].中學數學，2014（16）：29-33.