坐著[模型思想]的船到達(dá)[方程]的彼岸

沈青

方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中具有等量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。東北師范大學(xué)史寧中教授曾指出方程思想的本質(zhì)與意義：方程思想有著豐富的含義，其核心體現(xiàn)在模型思想與化歸思想方面。在教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度看問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去捕述自然語(yǔ)言，分析已知量和未知量之間的等量關(guān)系，構(gòu)建等量模型去解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，義達(dá)到輕松學(xué)習(xí)的目的。何以坐著“模型思想”的船到達(dá)“方程”的彼岸呢？

一、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題

從數(shù)學(xué)的角度分析問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述自然語(yǔ)言，將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力。數(shù)學(xué)語(yǔ)言是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的工具，它主要分為文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言。準(zhǔn)確而簡(jiǎn)明地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往能夠使復(fù)雜問(wèn)題變得更直觀明了，便于我們思考。

如，人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“實(shí)際問(wèn)題與方程”中的例5：

小林家和小云家相距4.5km。周日早上9：00兩人分別從家騎自行車(chē)相向而行，兩人何時(shí)相遇？

師：讀完此題，你能用自己的話表達(dá)一下題目意思嗎？

生1：小林家和小云家相距4.5千米，小林每分鐘騎250米，小云每分鐘騎200米，早上9：00他們兩人分別從家騎自行車(chē)相向而行，問(wèn)他們何時(shí)相遇？

師：你說(shuō)得真詳細(xì)，你是怎么理解相向而行的？（師邊說(shuō)邊指題目中的情境圖）

生2：相互面對(duì)面出發(fā)。

師：你能用兩只手比劃一下面對(duì)面出發(fā)的運(yùn)動(dòng)情況嗎？

（生用兩只手比畫(huà)著，結(jié)果兩只手碰到一起了）

師：在你們用手比畫(huà)的過(guò)程中，你有什么想說(shuō)的嗎？

生3：兩只手分別代表小云和小林，他們面對(duì)面一起出發(fā)，最后相遇了。

師：你的聯(lián)想能力真好！同學(xué)們同意嗎？

生：（齊說(shuō)）同意。

師：既然小云和小林是一起出發(fā)，相遇時(shí)停下，你覺(jué)得他們行駛的時(shí)間一樣嗎？ 生：（齊說(shuō)）一樣。

師：我想找兩位同學(xué)來(lái)幫我們驗(yàn)證一下。（兩位同學(xué)分別扮演小林和小云，在臺(tái)上的兩端面對(duì)面同時(shí)出發(fā)，最后相遇停下）

師小結(jié)：原來(lái)兩人相向而行，同時(shí)出發(fā)，最后相遇停下，他們行駛所用的時(shí)間是一樣的。

師：通過(guò)演示，你能不能用一種你喜歡并且便于理解的方式來(lái)描述一下這個(gè)運(yùn)動(dòng)情況呢？

（師展示并對(duì)比學(xué)生的作品，讓同學(xué)相互說(shuō)作品的優(yōu)缺點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生將已知信息和問(wèn)題都標(biāo)在線段圖上）

通過(guò)用手比畫(huà)和學(xué)生演示來(lái)解釋“相向而行”和“相遇”等關(guān)鍵詞，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的“相向而行”和“相遇”有了很好的理解和體驗(yàn)。再引導(dǎo)學(xué)生用畫(huà)線段圖的方式來(lái)描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，把已知信息和問(wèn)題都標(biāo)在線段圖上，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了。理解題目的意思并能夠用簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述問(wèn)題，可以鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題的能力。

二、分析已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為學(xué)習(xí)的過(guò)程是學(xué)習(xí)者主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，學(xué)習(xí)者以原有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過(guò)與外界的相互作用來(lái)建構(gòu)新的理解。在引導(dǎo)學(xué)生分析已知量和未知量的數(shù)量關(guān)系時(shí)，要從條件和問(wèn)題的整體出發(fā)，把已知量和未知量找出來(lái)，再來(lái)分析它們之間的相等關(guān)系。學(xué)生找出了已知量是小林的速度、小云的速度和他們兩家的距離，未知量是小云和小林的行駛時(shí)間。讓學(xué)生結(jié)合線段圖說(shuō)一說(shuō)這些數(shù)量之間有什么關(guān)系，學(xué)生會(huì)想到“速度×?xí)r間=路程”。他們很容易得出小林的速度×小林行駛的時(shí)間=小林的路程，小云的速度×小云行駛的時(shí)間=小云的路程。你能在線段圖上標(biāo)出哪段是小林走的路程，哪段是小云走的路程嗎？小林和小云行駛的總路程與他們兩家相距的距離義有怎樣的關(guān)系呢？

學(xué)生從自己標(biāo)的線段圖中很容易看出小林走的路程+小云走的路程=4.5km。“溫故而知新”，從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，不斷引發(fā)新問(wèn)題，在新問(wèn)題與舊知識(shí)之間產(chǎn)生聯(lián)系，解決新問(wèn)題就是自主獲得新知識(shí)的過(guò)程。

三、構(gòu)建等量模型——列方程

通過(guò)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中的已知量和未知量之間的等量關(guān)系，從而構(gòu)建等式去求解未知量，這是列方程解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。我們用畫(huà)線段圖的方式分析出小林走的路程+小云走的路程=總路程（兩家相距的距離），根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系來(lái)列方程解決問(wèn)題。我們不妨設(shè)小林和小云的行駛時(shí)間為x分鐘，則：

小林的速度×小林行駛的時(shí)間+小云的速度×小云行駛的時(shí)間=4.5km

O.25x+0.2x=4.5

列方程的關(guān)鍵是建立數(shù)量之間的等量模型，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程，使已知數(shù)和未知數(shù)都參與到等式的計(jì)算中再根據(jù)等式的性質(zhì)，利用化歸思想求解出未知數(shù)。

四、反思與總結(jié)

美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納指出：掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法，能使數(shù)學(xué)更易于理解和更利于記憶，領(lǐng)會(huì)基本數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”。類似相遇問(wèn)題的還有：打字問(wèn)題、挖隧道問(wèn)題和做零件問(wèn)題等。雖然它們情境不一樣，但都是運(yùn)用“一部分+另一部分=總的”這一模型思想來(lái)解決問(wèn)題，這就是領(lǐng)會(huì)模型思想后遷移的結(jié)果。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我認(rèn)為最重要的是數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟，以及如何用數(shù)學(xué)思維去思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，這比知識(shí)本身更加重要。讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去捕述數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析已知量和未知量之間的等量關(guān)系，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程，才能算是真正意義上的列方程解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)。

在我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，過(guò)于強(qiáng)調(diào)知識(shí)本身，或多或少地忽略了其背后所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，這是導(dǎo)致學(xué)生從低年級(jí)學(xué)段很難順利過(guò)渡到高年級(jí)學(xué)段的重要原因。教師在教學(xué)中過(guò)多地強(qiáng)調(diào)知識(shí)，會(huì)讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解停留在表面，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)無(wú)法達(dá)到一個(gè)新的高度。學(xué)生只有真正明白數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)及其意義，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，才能更好地去吮吸知識(shí)、利用知識(shí)來(lái)解決生活問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。