二次曲線數(shù)控加工的數(shù)學分析

尹孝慶　王前鋒

摘? 要：手工數(shù)控編程加工有許多場合需要對二次曲線進行宏程序編程，通過二次曲線的標準方程然后設定相應的加工參數(shù)，對曲線進行直線段或者圓弧逼近擬合，參數(shù)的大小直接決定了最終擬合曲線的形狀與精度，不合理的變量參數(shù)會導致加工時間過長，沒有加工效率，造成成本得不到控制或者零件達不到所需要的精度要求，不能滿足使用需要。為了保證成本滿足加工效率，這就需要對加工參數(shù)進行數(shù)學分析，得到正確合理的步進變量參數(shù)。

關鍵詞：自動編程? 手工編程? 宏程序

中圖分類號：TG659 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）12（a）-0197-02

1? 二次曲線的定義

由二元二次方程α112+2α12y+α22y2+2α13+2α23y+α33=0所表示的曲線即為二次曲線，其中α11、α22、α33不全為零。數(shù)控加工中含有二次曲線的零件有很多，這類曲線的加工也是機械加工中的難點。

2? 二次曲線加工方法

在機械加工中，如果零件的外形含有橢圓、拋物線等二次曲線，就需要根據(jù)這些輪廓曲線的特點選擇合理的加工設備與加工方式。二次曲線的主要加工方法有以下3種：（1）靠模法。刀具按照靠模形狀進行走刀，使用這種方法可以在普通機床設備上加工比較復雜的零件，但是靠模法加工的不足之處是加工的柔性較差，當外形稍有改動的時候就要重新制造靠模，造成制造周期過長，不能滿足產(chǎn)品的及時更新?lián)Q代。（2）CAD/CAM法。利用計算機輔助設計與制造軟件將所加工的零件建模，選擇合理的加工方案，設置合理的加工參數(shù)。通過軟件的模擬仿真運動與加工，檢查刀具是否會產(chǎn)生碰撞、加工的參數(shù)是否合理。最終經(jīng)過軟件生成需要的加工程序。（3）宏程序法。使用宏程序編程時，可以用系統(tǒng)的變量賦值功能來進行編程，變量賦值的好處就是當加工的零件只有外形尺寸稍加改動，加工的輪廓曲線類型不變時，只需改動相應的變量值就能實現(xiàn)程序的改動，加工的柔性好，系統(tǒng)的運行速度和加工精度都得到很大的提高。用戶宏程序的優(yōu)點有如下幾條：①程序簡單，操作方便。常用的計算機輔助軟件編輯出的程序都是用直線或者圓弧去擬合加工，生成的程序占用系統(tǒng)內(nèi)存過大，修改的過程步驟也比較多。宏程序具有的變量賦值功能，程序修改時只需改變相關的加工參數(shù)，就能夠完成程序的修改，便于加工程序的調(diào)試。②加工精度高。宏程序可以調(diào)用系統(tǒng)內(nèi)部的各種算數(shù)函數(shù)進行編程，由于函數(shù)的運算誤差在10-6與10-10之間，所插補的理論尺寸精度遠遠地滿足了加工的需要，因此加工時可以不考慮插補誤差，只考慮機床自身精度。③安全性高。根據(jù)實際加工的需要，可以將需要的系統(tǒng)變量值傳遞到系統(tǒng)內(nèi)部，在遇到電源突然斷掉的情況時加工數(shù)據(jù)也不會丟失。

3? 擬合方法分析

由于數(shù)控機床只具有直線和圓弧的插補功能，在加工非圓曲線時就需要使用擬合的方法間接得到所需要的加工輪廓。常用的曲線擬合方法有以下幾種。

（1）等間距直線逼近法。等間距法是將曲線在X軸或者Y軸方向等分，根據(jù)計算出的點坐標再用直線將所有點連接就可以得到近似的曲線，這種方法比較簡單，可以通過改變等分距離的大小控制曲線的加工精度。

（2）等間距直線逼近法。曲線上各段加工步距長度都相等的擬合方法。步長的選擇首先要根據(jù)已知的曲線并計算出曲線的最小曲率半徑，根據(jù)允許的最小誤差值和最小曲率半徑確定加工的步距。

（3）等誤差直線逼近法。等誤差直線逼近法是擬合曲線的各點的誤差均相等并且加工的步距參數(shù)在各點都產(chǎn)生變化。這種方法表達擬合加工曲線的數(shù)學模型比較麻煩，很難編寫，但是它的優(yōu)點是擬合的數(shù)據(jù)量小，機床運行速度快，加工精度也有保障。

（4）圓弧逼近輪廓法。是用圓弧曲線擬合所需加工曲線的方法。它的優(yōu)點是曲線的擬合精度高、過渡平滑，能減少系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理量，程序量也相應地減少。不足之處就是數(shù)學模型的表達很困難，很難手工編寫。

4? 步長及步距角計算

（1）步長的計算在進行曲線擬合時，必須在按照圖紙要求的誤差范圍內(nèi)利用微小的直線段或者圓弧進行曲線的插補加工，在工件輪廓曲線比較復雜并且加工精度要求高的情況下，就使得逼近的直線段或圓弧分得很短小，導致加工數(shù)據(jù)量很大，這使得手工計算很困難;且該方法存在近似誤差，加工精度的控制有賴于對加工步距進行精確合理的運算。

使用一次分段函數(shù)L（）對二次函數(shù)F（）進行曲線的擬合。誤差函數(shù)為e（），在XOY平面內(nèi)，把區(qū)間內(nèi)的值平均分成n分，將函數(shù)y=F（）進行線性插補，e（）=F（）-L（）因每一直線段的首末點e（）=0，此時e（）的函數(shù)表達式：

（1）

式中，K為待定系數(shù)。令如果△（e）有3個交點：、、，則e（）在區(qū)間內(nèi)，肯定存在一個拐點ζ，并且拐點處的2階導數(shù)為零，此時：，根據(jù)e（）=F（）-L（）得到：

（2）

所以

（3）

式中的M為F''（ζ）的最大值。

在下面的公式中給出了如何根據(jù)加工精度來計算步距參數(shù)的方法。根據(jù)公式可以得到最大加工誤差ε與函數(shù)所在區(qū)間的值的等分數(shù)2n成反比，在已知加工誤差的條件時，需要的最少直線段的段數(shù)為，在保證加工精度要求的前提下，合理的方向的加工步距△為：。

（2）橢圓曲線擬合方法研究。編程加工時，曲線擬合的方法與擬合參數(shù)的選擇不僅關系到曲線的加工精度，還影響著數(shù)控設備加工的效率。此處使用橢圓輪廓的加工為例，使用不同的加工參數(shù)為變量，使用數(shù)控機床宏程序的函數(shù)表達與邏輯判斷功能，證明了為了保證二次曲線的加工精度，需要選擇合理的加工方法與加工參數(shù)。

在XOY平面內(nèi)，用△為變量來表達函數(shù)曲線進行編程時。從圖紙上就可以看到，使用相同的加工步距△在橢圓的曲率最大值附近的點很少，并且對應的Y軸的坐標值變化很大，在橢圓的曲率最小值附近的點最多，所對應的Y軸的坐標值的變化比較平緩。

如圖1（b）所示，當使用中心角△α為變量對函數(shù)曲線進行編程表達時，相對于圖圖1（a）曲線擬合比較平緩。

通過對比分析，為了保證擬合精度的保證，便于程序的編寫，用△α為變量，使用宏程序來進行編程。

（3）最大步距角的計算。

①最大擬合誤差δmax。

由于橢圓上各點的曲率半徑都不相同，導致了擬合曲線每一處的擬合誤差也一樣。在橢圓的曲率最大處曲線的擬合誤差最大，所以編程時只要所選擇的加工參數(shù)能夠滿足曲率最大處的精度要求，則這個加工參數(shù)就能保證整個曲線的加工精度。為了保證圖紙加工精度的要求，計算的加工步距的擬合誤差通常只有加工圖紙要求公差的 0.05～0.15 之間。橢圓的參數(shù)方程為：

（4）

曲率半徑的參數(shù)方程形式為：

（5）

令=0，得出當α=0時，。

②步距角α。

擬合參數(shù)α計算公式如下：δ為擬合誤差ρ曲率半徑;α步距角。

將用冪級數(shù)展開，得：

代入上式得：

零件加工過程中都會產(chǎn)生加工誤差，為了保證擬合的精度選擇擬合誤差為加工圖紙公差要求的0.05～0.15 倍。可得：，將擬合誤差帶入公式，得到的最大擬合角度參數(shù)：

（6）

③等步距角擬合。

根據(jù)計算所得的△αmax變量，利用橢圓的參數(shù)擬合橢圓的輪廓曲線，求得不同角度所對應的坐標值A、B、C…。將參數(shù)方程所計算得到的數(shù)據(jù)點一次相連，就可以得到用直線段逼近得到的擬合曲線，并且得到的曲線能夠滿足加工的需要。

（7）

舉例：假設橢圓加工的輪廓度公差要求為0.10mm，長半軸尺寸20mm，半軸尺寸5mm，取擬合誤差是輪廓度誤差的0.1倍，則δ=0.02mm，可得：

△αmax ? ? ? ?（8）

5? 結語

復雜形狀的手工編程加工前應根據(jù)加工函數(shù)曲線的不同，進行合理的數(shù)學分析，選擇合適的編程變量數(shù)據(jù)，以保證所加工的形狀盡量接近理論輪廓外形，滿足現(xiàn)實的需要。

參考文獻

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