高考易錯(cuò)題自測卷
——導(dǎo)數(shù)

陜西 侯有岐

高考易錯(cuò)題自測卷
——導(dǎo)數(shù)

陜西 侯有岐

一、選擇題

1．函數(shù)y＝（x＋1）2（x－1）在x＝1處的導(dǎo)數(shù)等于 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．若曲線y＝x4－x的一條切線l與直線x＋3y＋1＝0垂直，則直線l的方程為 （ ）

A．x－3y－3＝0 B．3x－y－3＝0

C．3x－y－1＝0 D．x－3y－1＝0

4．過點(diǎn)（－1，0）作曲線y＝x2＋x＋1的切線，則其中一條切線方程為 （ ）

A．2x＋y＋2＝0 B．3x－y＋3＝0

C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0

5．函數(shù)f（x）＝（x2－1）3＋1的極值點(diǎn)為 （ ）

A．x＝1 B．x＝－1

C．x＝1或x＝0或x＝－1 D．x＝0

A．k＞1 B．k≥1

C．｜k｜＞1 D．｜k｜≥1

7．函數(shù)y＝ln（2－3x）的單調(diào)區(qū)間為 （ ）

9．已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f（2）＝ （ ）

A．11 B．18

C．11或18 D．17或3

10．已知函數(shù)f（x）＝ax·x2＋cosx，則其導(dǎo)數(shù)是（ ）

A．x（ax－1x2＋2ax）－sinx

B．x（ax－1x2＋2ax）＋sinx

C．a(chǎn)x（x2lna＋2x）－sinx

D．a(chǎn)x（x2lna＋2x）＋sinx

11．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）＝2xf′（e）＋lnx，則f′（e）＝ （ ）

A．1 B．－1 C．－e－1D．－e

12．函數(shù)y＝（1＋cos2x）2的導(dǎo)數(shù)是 （ ）

A．－2sin2x（1＋cos2x）

B．2sin2x（1＋cos2x）

C．－4sin2x（1＋cos2x）

D．4sin2x（1＋cos2x）

二、填空題

13．若曲線f（x）＝acosx與曲線g（x）＝x2＋bx＋1在交點(diǎn)（0，m）處有公切線，則a＋b＝________．

15．已知曲線y＝x3＋x＋1，則①過點(diǎn)P（1，3）的切線方程為_____________；②在點(diǎn)P（1，3）處的切線方程為______ ________．

16．下列關(guān)于函數(shù)的說法中，正確的有________（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

①若f′（x0）＝0，則f（x0）為f（x）的極值點(diǎn)；

②在閉區(qū)間［a，b］上，極大值中最大的就是最大值；

③若f（x）的極大值為f（x1），f（x）的極小值為f（x2），則f（x1）＞f（x2）；

④有的函數(shù)有可能有兩個(gè)最小值；

⑤已知函數(shù)f（x）＝ex，對于f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)x1都存在唯一一個(gè)值x2，使f（x1）f（x2）＝1成立．

三、解答題

17．已知函數(shù)f（x）＝ax3＋x2－x（a∈R）．

（1）若f（x）在（2，＋∞）上是單調(diào)遞增的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若f（x）在（2，＋∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（1）若函數(shù)g（x）＝f（x）＋2k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）＋2k恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

【參考答案與提示】

1．D 【解析】因?yàn)閥＝（x＋1）2（x－1），所以y′＝2（x＋1）（x－1）＋（x＋1）2＝3x2＋2x－1，所以，在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為4，故選D．

【易錯(cuò)警示】對于某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的求解，要特別注意復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，避免出錯(cuò)的有效途徑是將其展開，利用基本導(dǎo)數(shù)公式來解決有關(guān)問題．

2．B 【解析】與直線x＋3y＋1＝0垂直的直線l為3x－y＋m＝0，即y＝x4－x在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為3，而y′＝4x3－1，由4x3－1＝3，解得x＝1，所以y＝x4－x在（1，0）處導(dǎo)數(shù)為3，此點(diǎn)的切線為3x－y－3＝0，故選B．

【易錯(cuò)警示】理解導(dǎo)數(shù)概念容易忽視導(dǎo)數(shù)的某些實(shí)際背景，解決導(dǎo)數(shù)中有關(guān)切線問題，要明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義，然后再解才不至于出錯(cuò)，因此要加強(qiáng)對導(dǎo)數(shù)概念的理解．

3．D 【解析】因?yàn)閒′（x）－f（x）＝xex，

【易錯(cuò)警示】抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題在高考中常考常新，可謂變化多端，解題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，這就要求我們熟悉導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算法則，結(jié)合問題的外形結(jié)構(gòu)特征與導(dǎo)數(shù)法則的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行合理構(gòu)造．

【易錯(cuò)警示】正確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解答本題的關(guān)鍵，切線的斜率k應(yīng)是在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，而點(diǎn)（－1，0）不在曲線上（即使在曲線上，也應(yīng)先判斷其是否為切點(diǎn)），更不是切點(diǎn)．故本題應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求斜率，寫出切線方程．

5．D 【解析】由f′（x）＝6x（x2－1）2＝6x（x＋1）2·（x－1）2，可知

所以只有x＝0是f（x）的極值點(diǎn)．故選D．

【易錯(cuò)警示】本題易錯(cuò)選C，錯(cuò)解是因?yàn)檎`認(rèn)為導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是極值點(diǎn)，而沒有代入檢驗(yàn)．事實(shí)上，f′（x0）＝0是f（x）在點(diǎn)x0處取得極值的必要不充分條件，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)只是函數(shù)存在極值的可能點(diǎn)，若它的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，它才是函數(shù)的極值點(diǎn)；若它的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)同號(hào)，則不為極值點(diǎn)，所以在求得導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)后，還要進(jìn)行檢驗(yàn)，否則容易出錯(cuò)．

【易錯(cuò)警示】當(dāng)f（x）不含參數(shù)時(shí)，可通過解不等式f′（x）＞0（或f′（x）＜0）直接得到單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間．而已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)用條件f′（x）≥0（或f′（x）≤0），x∈（a，b）恒成立，解出參數(shù)的取值范圍，應(yīng)注意參數(shù)的取值是f′（x）不恒等于0的參數(shù)的范圍．

故選A．

【易錯(cuò)警示】求函數(shù)的最大值和最小值時(shí)，一定要考慮區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，但是，在通常情況下不必確定極大值和極小值，而只需把所有極大值和極小值與區(qū)間端點(diǎn)值的函數(shù)值計(jì)算出來，然后比較大小即可．

當(dāng)a＝4，b＝－11時(shí)，f′（x）＝（3x＋11）（x－1），所以當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0；

當(dāng)－11＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）在x＝1處有極值，所以f（2）＝18．

當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，f′（x）＝3（x－1）2，所以當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0；

當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，又f（x）在x＝1處連續(xù)，因此f（x）在R上是增函數(shù)，所以f（x）在x＝1處無極值，因此a＝－3，b＝3時(shí)不合題意，應(yīng)舍去．所以f（2）＝18．故選B．

【易錯(cuò)警示】f′（x0）＝0是f（x）在x＝x0處有極值的必要不充分條件．若x＝x0是f′（x）＝0的偶次方根，則x0不是f（x）的極值點(diǎn)．

10．C 【解析】因?yàn)閒（x）＝ax·x2＋cosx，所以f′（x）＝（ax·x2）′＋（cosx）′＝axlna·x2＋2x·ax－sinx＝ ax（x2lna＋2x）－sinx．故選C．

【易錯(cuò)警示】導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，但往往因?yàn)閷降慕Y(jié)構(gòu)規(guī)律或法則記憶不正確而出錯(cuò)，如本題中易將y＝ax與y＝xn的求導(dǎo)法則相混淆，求cosx的導(dǎo)數(shù)時(shí)易漏掉負(fù)號(hào)，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)．

【易錯(cuò)警示】f′（x0）與f′（x）的關(guān)系是：f′（x0）是一個(gè)確定的數(shù)值，而f′（x）是一個(gè)函數(shù)；聯(lián)系是f′（x0）是導(dǎo)函數(shù)f′（x）在x＝x0處的函數(shù)值．本題求導(dǎo)時(shí)，要注意已知式中的f′（e），由于f′（e）是一個(gè)常數(shù)，所以［f′（e）］′＝0．

12．C 【解析】設(shè)y＝u2，u＝1＋cos2x，則y′x＝y(tǒng)′u· u′x＝2u（1＋cos2x）′＝2u（－sin2x）（2x）′＝2u（－sin2x）· 2＝－4sin2x（1＋cos2x）．故選C．

【易錯(cuò)警示】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，選擇中間變量是關(guān)鍵，必須正確分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次，然后從外向里逐層求導(dǎo)，求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)．易錯(cuò)點(diǎn)是由于在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，復(fù)合過程劃分不徹底產(chǎn)生的，這里2x與x系數(shù)不一樣，也是一個(gè)復(fù)合過程．

13．1【解析】因?yàn)閒（x）＝acosx，g（x）＝x2＋bx＋1，所以f′（x）＝－asinx，g′（x）＝2x＋b，依題意有f′（0）＝g′（0），所以－asin0＝2×0＋bb＝0．

由于點(diǎn)（0，m）同時(shí)都在曲線f（x）與g（x）上，所以m＝f（0）＝g（0），即m＝acos0＝02＋b×0＋1m＝a＝1，

所以a＋b＝1＋0＝1．

【易錯(cuò)警示】求解本題易忽視切點(diǎn)在曲線上的隱含條件致錯(cuò)．在由f′（0）＝g′（0）得到b＝0，就應(yīng)想到切線的切點(diǎn)必在原兩函數(shù)的圖象上，這樣就有m＝f（0）＝g（0），這是解決本題的關(guān)鍵．

解得－1＜b＜3，

即實(shí)數(shù)b的取值范圍為（－1，3）．

【易錯(cuò)警示】利用導(dǎo)數(shù)研究方程解的問題的一般思路是：（1）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸（或y＝k）在該區(qū)間上的交點(diǎn)問題；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值（最值）、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而結(jié)合圖象求解．本題學(xué)生不會(huì)將方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具結(jié)合圖象求解．

15．①4x－y－1＝0或7x－4y＋5＝0②4x－y－1＝0

綜上所述，①的答案為4x－y－1＝0或7x－4y＋5＝0；②的答案為4x－y－1＝0．

【易錯(cuò)警示】在確定曲線在某點(diǎn)處的切線方程時(shí)，一定要先確定此點(diǎn)是否在曲線上，若此點(diǎn)在曲線上，且求曲線在該點(diǎn)處的切線，那么曲線在該點(diǎn)處切線斜率即為該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，此時(shí)切線方程唯一；若此點(diǎn)不在曲線上，或此點(diǎn)在曲線上，但求過該點(diǎn)的切線方程時(shí)，則需按照上述方法，即應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求斜率，然后求出直線方程，此時(shí)方程一般情況下不唯一．

16．⑤ 【解析】①錯(cuò)．導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，其充分條件是這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)；

②錯(cuò)．閉區(qū)間上的極大值不一定是最大值，最大值有可能在區(qū)間端點(diǎn)處取得；

③錯(cuò)．極大值與極小值之間無確定的關(guān)系，即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值；

④錯(cuò)．函數(shù)如果有最小值，必然是唯一的，否則就沒有最小值；

⑤對．因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝ex是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，只要x1與x2互為相反數(shù)必有f（x1）f（x2）＝1成立．

【易錯(cuò)警示】弄清函數(shù)的極值與最值的概念是正確解決本題的關(guān)鍵．

依題意，得3a≥g（x）max，即a≥0．

而當(dāng)a＝0時(shí)，f′（x）＝2x－1在（2，＋∞）上恒有f′（x）＞0，滿足題意．

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為［0，＋∞）．

（2）由于f（x）在（2，＋∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以存在3a≥g（x）成立，

【易錯(cuò)警示】由函數(shù)的單調(diào)性、極值等問題求解參數(shù)的取值范圍是高考命題的一個(gè)重點(diǎn)．解決此類問題的關(guān)鍵在于正確理解單調(diào)性、極值的概念和其求解、判斷的方法．要注意以下細(xì)節(jié)問題：（1）f′（x）＞0（＜0）（x∈（a，b））是f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增（減）的充分不必要條件．實(shí)際上，可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）上為單調(diào)遞增（減）函數(shù)的充要條件為：對于任意x∈（a，b），有f′（x）≥0（≤0）且f′（x）在（a，b）的任意子區(qū)間上都不恒為0．因而這類題求出參數(shù)范圍后，應(yīng)對“＝”成立的值進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合題意；（2）解題中對“恒成立、能成立、恰成立”等概念區(qū)分不清也易致錯(cuò)．

當(dāng)x→－∞時(shí)，y→0且x＜0時(shí)，y＝g（x）＝（2x－x2）· ex＜0．

（1）若函數(shù)g（x）＝f（x）＋2k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

（作者單位：陜西省漢中市四○五學(xué)校）