技巧顯身手 妙解數(shù)列題

江蘇 陸東標(biāo) 韓文美

技巧顯身手 妙解數(shù)列題

江蘇 陸東標(biāo) 韓文美

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，既包含有函數(shù)的一般性質(zhì)特征，又具有其獨(dú)特的特殊含義．在實(shí)際解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可以借助函數(shù)的一般技巧方法，又可以超出函數(shù)尋求其獨(dú)特的技巧策略．特別在解答數(shù)列小題時(shí)結(jié)合一定的技巧與策略，巧妙借助一些技巧方法，往往可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單易懂，解答快捷方便，達(dá)到非常好的效果．特別在解決一些相關(guān)的高考數(shù)列選擇題或填空題中，如果采用一些技巧，往往方法簡(jiǎn)單，思維巧妙，大大節(jié)約了寶貴的考試時(shí)間．

1．簡(jiǎn)單化技巧

在實(shí)際解答數(shù)列的一些選擇題或填空題時(shí)，經(jīng)常采用把數(shù)列的項(xiàng)、數(shù)列的項(xiàng)數(shù)、數(shù)列的通項(xiàng)等簡(jiǎn)單化，利用更為具體直觀的簡(jiǎn)單化問(wèn)題來(lái)求解具有一般情況的數(shù)列問(wèn)題．

【例1】（2015·陜西文·13）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為．

【分析】具體數(shù)列的項(xiàng)不能確定，必須根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)分奇偶項(xiàng)來(lái)分析，而通過(guò)簡(jiǎn)單化思維，直接考慮數(shù)列分別為3項(xiàng)、4項(xiàng)的情況即可，問(wèn)題簡(jiǎn)單化，求解更為快捷．

【解析】由數(shù)列的項(xiàng)數(shù)簡(jiǎn)單化，當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為3項(xiàng)時(shí)，則有a1＋a3＝2a2＝2020，解得a1＝5；

當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為4項(xiàng)時(shí)，則有a1＋a4＝a2＋a3＝2020，解得a1＝5．

綜合可知該數(shù)列的首項(xiàng)為5，故填5．

【點(diǎn)評(píng)】常規(guī)方法是根據(jù)中位數(shù)的求法，考慮數(shù)列的項(xiàng)數(shù)分別為奇偶數(shù)時(shí)，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)建立相應(yīng)的數(shù)列關(guān)系式，進(jìn)而分析與求解．而通過(guò)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)簡(jiǎn)單化，使問(wèn)題進(jìn)一步具體化、簡(jiǎn)單化，求解起來(lái)更具體、直觀．

A．a(chǎn)n＞an＋1

B．a(chǎn)n＜an＋1

C．a(chǎn)n＝an＋1

D．與n的取值相關(guān)

2．特殊化技巧

在實(shí)際解答數(shù)列的一些選擇題或填空題時(shí)，我們有時(shí)可以嘗試?yán)米詈?jiǎn)單可行的辦法——特殊化來(lái)求解數(shù)列問(wèn)題．可以用來(lái)解決數(shù)列的特殊項(xiàng)、數(shù)列運(yùn)算等相關(guān)問(wèn)題．

【例2】（2014·廣東理·13）若等比數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝ ．

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)計(jì)算時(shí)比較煩瑣，而通過(guò)取特殊的等比數(shù)列——公比為q＝1的數(shù)列，可以使得計(jì)算更為簡(jiǎn)單快捷，又由特殊回歸一般得到答案．

故填答案：50．

【點(diǎn)評(píng)】要直接計(jì)算或求解時(shí)難度比較大或計(jì)算比較煩瑣，有時(shí)還可能無(wú)從下手，而通過(guò)取特殊數(shù)列、特殊項(xiàng)等特殊化技巧加以分析，并從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而得出答案．

3．賦值化技巧

對(duì)于題設(shè)為一般狀態(tài)，而結(jié)論為定值的問(wèn)題，可以對(duì)題中的參數(shù)問(wèn)題加以特殊賦值，可以賦以特殊數(shù)列、數(shù)列的特殊項(xiàng)進(jìn)行代換，以特殊的賦值的結(jié)果替代一般的推理運(yùn)算，從而得出答案．

【分析】根據(jù)題目條件，直接求解存在很大的難度，而通過(guò)依次賦值，結(jié)合相關(guān)項(xiàng)的值加以歸納得以確定規(guī)律，進(jìn)而加以運(yùn)算得到相關(guān)的答案．

【解析】由題意通過(guò)直接賦值可得b2＝3，b3＝4，b4＝5，a3＝3，a4＝4，

由不完全歸納可得an＝n，bn＝n＋1，

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)相關(guān)數(shù)列的填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的不定量用特殊值來(lái)賦值代替，即可以得到正確結(jié)果；對(duì)應(yīng)數(shù)列的遞推關(guān)系式問(wèn)題也經(jīng)常采用靈活賦值來(lái)分析．這里直接通過(guò)賦值化技巧確定數(shù)列｛an｝，｛bn｝的前幾項(xiàng)，通過(guò)歸納得相應(yīng)的通項(xiàng)后加以求解．

【變式3】（2016·浙江理·13）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn．若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，，則a1＝________， S5＝________．

【解析】令n＝1，可得a2＝2a1＋1，

又S2＝a1＋a2＝4，解得a1＝1，a2＝3，

由an＋1＝2Sn＋1，可知a3＝2S2＋1＝9，則S3＝S2＋a3＝13，

同理a4＝2S3＋1＝27，則S4＝S3＋a4＝40；a5＝2S4＋1＝81，則S5＝S4＋a5＝121；

故填答案：1，121．

4．整體化技巧

把數(shù)列題中的一些式子視為一個(gè)整體，把它代入另一個(gè)式子，從整體思維上思考，便能化繁為簡(jiǎn)，得出答案．往往把數(shù)列中的一些項(xiàng)的整體、求和公式的整體等作為一個(gè)整體來(lái)加以研究．

【分析】結(jié)合創(chuàng)新定義，非常巧妙地把式子S1＋S2＋S3＋…＋S99看作一個(gè)整體，利用整體思維與求和公式加以剖析，轉(zhuǎn)化成式子S1＋S2＋S3＋…＋S99的代數(shù)運(yùn)算形式，再利用相應(yīng)的公式加以求解．

則有S1＋S2＋S3＋…＋S99＝99000，

則有100項(xiàng)的數(shù)列｛1，a1，a2，a3，…，a99｝的“凱森和”為

故填答案：991．

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)創(chuàng)新定義的應(yīng)用，巧妙把相應(yīng)的式子S1＋S2＋S3＋…＋S99整體化，結(jié)合新數(shù)列的運(yùn)算加以轉(zhuǎn)化，利用該整體式子的值加以分析與應(yīng)用．整體化技巧在解決一些數(shù)列性質(zhì)、創(chuàng)新定義、創(chuàng)新運(yùn)算等數(shù)列問(wèn)題時(shí)經(jīng)常有上佳表現(xiàn)．

【變式4】（2015·新課標(biāo)Ⅱ理·4）已知等比數(shù)列｛an｝滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝ （ ）

A．21 B．42

C．63 D．84

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，

則有a1＋a3＋a5＝a1＋a1q2＋a1q4＝21，

整理有q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，

那么a3＋a5＋a7＝（a1＋a3＋a5）q2＝42，故選B．

5．拆分化技巧

涉及數(shù)列的一些通項(xiàng)問(wèn)題時(shí)，往往可以通過(guò)對(duì)其通項(xiàng)加以合理轉(zhuǎn)化，利用拆分化技巧，把通項(xiàng)加以巧妙拆分，再結(jié)合題目條件加以分析與求解．往往可以大大減少計(jì)算量，簡(jiǎn)化過(guò)程．

【例5】（2015·江蘇·11）數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為________．

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)巧妙拆分?jǐn)?shù)列的通項(xiàng)，把有關(guān)分式的通項(xiàng)進(jìn)行拆分，把通項(xiàng)拆分為兩數(shù)式差的形式，再結(jié)合數(shù)列求和加以抵消達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的．

6．建?；记?/h2>

建模構(gòu)造是在解決一些數(shù)列填空題時(shí)，可以根據(jù)題設(shè)有關(guān)數(shù)列的條件與結(jié)論的特殊性，構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式（例如直觀幾何模型、函數(shù)、特殊數(shù)列、方程等），并借助于它認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的一種方法．

【例6】如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為A1；過(guò)點(diǎn)A1作AC的垂線，垂足為A2；過(guò)點(diǎn)A2作A1C的垂線，垂足為A3；……，依次類推，設(shè)BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，…，則a2017＝________．

【分析】結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的三角形的直角邊構(gòu)成等比數(shù)列的關(guān)系，建構(gòu)模型，結(jié)合等比數(shù)列的遞推關(guān)系與通項(xiàng)關(guān)系來(lái)分析，并通過(guò)歸納推理來(lái)求解．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖表的表示、分析與處理，等比數(shù)列的應(yīng)用，歸納與推理，建構(gòu)模型等．關(guān)鍵是通過(guò)建構(gòu)模型，利用圖表表示形式引入，利用等腰直角三角形的直角邊間的特征規(guī)律加以探究分析，進(jìn)而歸納出一般性的規(guī)律，從而得以解決相應(yīng)的問(wèn)題．此類數(shù)列問(wèn)題解決的基本思路是：遞推→通項(xiàng)→求值（和、積等）．

【變式6】（2014·安徽文·12）如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為A1；過(guò)點(diǎn)A1作AC的垂線，垂足為A2；過(guò)點(diǎn)A2作A1C的垂線，垂足為A3；依此類推，設(shè)BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，則a7＝________．

解答數(shù)列小題中，關(guān)鍵是抓住等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義、公式與相關(guān)性質(zhì)加以分析與處理，特別碰到一些計(jì)算量大、創(chuàng)新性強(qiáng)、信息量多的數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可以抓住題目本質(zhì)，從定義、性質(zhì)等方面入手，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，通過(guò)以上一些相關(guān)的技巧方法入手加以輔助解決，往往可以使得數(shù)列小題的解答顯得更為簡(jiǎn)單快捷，處理起來(lái)更為順手，同時(shí)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提升解題速度，提高解題效率．

（作者單位：江蘇省張家港職業(yè)教育中心校）

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