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    合理設(shè)計(jì)教學(xué)過程 發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)
    ——以“零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪”為例

    2019-03-08 06:53:38石志群
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年1期
    關(guān)鍵詞:正整數(shù)眼光運(yùn)算

    石志群

    (江蘇省泰州市教研室 225300)

    新一輪課程改革提出了“核心素養(yǎng)”的概念和中國學(xué)生核心素養(yǎng)的基本框架與內(nèi)容,各學(xué)科也據(jù)此明確了學(xué)科核心素養(yǎng)的具體內(nèi)容,普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出了“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析”六大核心素養(yǎng),并在“課程性質(zhì)”中提出了“提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)思維分析世界,會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的觀點(diǎn).筆者認(rèn)為,“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”既是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)形式,更是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本路徑.也就是說,要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),特別是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中就必須引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

    下面以“零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪”為例,談?wù)劰P者對(duì)基于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及其思考.

    1 一個(gè)案例

    1.1 用數(shù)學(xué)的眼光看世界

    課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”中的“世界”是有明確的定位的,也就是“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”中“問題的來源”,指:現(xiàn)實(shí)世界中的、科學(xué)中的、數(shù)學(xué)中的問題.換句話說,“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”就是指用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界(自然的、社會(huì)的)、用數(shù)學(xué)眼光觀察科學(xué)世界(自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué))、用數(shù)學(xué)眼光觀察數(shù)學(xué)世界(數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題、規(guī)律、關(guān)系等).

    由于零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪是正整數(shù)冪的推廣,可用下面的方法直接提出問題:

    前面我們學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪相除的運(yùn)算性質(zhì):

    aman=am-n(a≠0,m,n是正整數(shù),m>n),

    為什么要規(guī)定m>n?

    學(xué)生可以想到:可以考察如果m不大于n,即m≤n,會(huì)出現(xiàn)什么情況:

    若m=n,那么就會(huì)出現(xiàn)a0,如果m

    師:為什么不允許呢?

    生:因?yàn)閍n的意義是n個(gè)a相乘的積,0個(gè)a相乘、-1個(gè)a相乘是沒有意義的!

    師:很好!下面請(qǐng)大家再考慮一下:當(dāng)m≤n時(shí),aman是不是就不好運(yùn)算呢?比如,2323,2324?

    師:從上述過程可以看到,要解決同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則在m≤n時(shí)能否運(yùn)用的問題,可以歸結(jié)為如何解決“0個(gè)a相乘沒有意義、-1個(gè)a相乘沒有意義”等問題.

    1.2 用數(shù)學(xué)的思維分析世界

    為了解決提出的問題,需要運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析.而歸納特例、回到原點(diǎn)、直觀想象都是數(shù)學(xué)思維的重要形式.

    師:請(qǐng)大家考察一個(gè)與乘方有關(guān)的實(shí)際問題:

    1個(gè)細(xì)胞分裂1次變?yōu)?個(gè),分裂2次變?yōu)?2個(gè),分裂3次變?yōu)?3個(gè),分裂4次變?yōu)?4個(gè),……

    當(dāng)這個(gè)細(xì)胞沒有分裂(即分裂次數(shù)為0)時(shí),細(xì)胞的個(gè)數(shù)是多少?

    生:還是1個(gè).噢,這說明20=1還是有道理的!

    師:那我們?cè)趺崔k?

    生:規(guī)定

    20=1.

    師:非常好!這說明只要將乘方的概念加以推廣,20就可以有意義了,從而同底數(shù)冪除法運(yùn)算的法則在m=n時(shí)也就可以成立了!

    請(qǐng)大家再思考一下,2-1是否有意義呢?

    (停頓片刻)

    大家可以先用數(shù)軸進(jìn)行分析,在數(shù)軸上依次標(biāo)出24,23,22,21,20所表示的點(diǎn),并研究這些點(diǎn)之間的關(guān)系.

    (學(xué)生思考)

    生:從圖中可以看出,指數(shù)每減少1,冪所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為原點(diǎn)與前一個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn).

    師:按照這個(gè)趨勢(shì),如果2-1有意義的話,那么它所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)該在哪里?對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是哪個(gè)?

    生:……

    師:根據(jù)正整數(shù)指數(shù)冪的意義,如果2n=x,那么,2n+1應(yīng)該是多少?

    生:2x.

    師:那么,上述猜想的結(jié)果是否應(yīng)該也滿足這樣的特性呢?

    生:應(yīng)該……是的,真的也滿足.

    師:既然如此,一般地,2-n(n為正整數(shù))應(yīng)該是多少呢?

    生:……

    1.3 用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界

    師:下面請(qǐng)大家用數(shù)學(xué)語言對(duì)20,2-1,以及一般地2-n(n是正整數(shù))下定義.

    師:那么a-n(a≠0)呢?

    (板書相關(guān)規(guī)定)

    最后說明:

    aman=am-n(a≠0,m,n是整數(shù))

    成立.

    思考:

    am×an=am+n(a≠0,m,n是整數(shù))

    是否成立?同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則與除法運(yùn)算法則之間有著怎樣的關(guān)系?

    2 幾點(diǎn)思考

    這是一節(jié)課題研究型的數(shù)學(xué)建構(gòu)課,從學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā),運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題(事實(shí)上,歷史上的數(shù)學(xué)家們也就是這樣發(fā)現(xiàn)問題、發(fā)展數(shù)學(xué)的,或者說,這就是數(shù)學(xué)研究的基本過程):為什么同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則中要作m>n的規(guī)定?進(jìn)而通過數(shù)學(xué)的思考,將其歸結(jié)為零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪有沒有意義這個(gè)核心問題(或中心問題).先讓學(xué)生由乘方的意義(原始意義)發(fā)現(xiàn)它沒有意義(正因?yàn)槠錄]有意義,我們才有資格對(duì)其進(jìn)行新的定義),再通過數(shù)學(xué)的思維進(jìn)行分析,從而發(fā)現(xiàn)其新的意義,進(jìn)而引入零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪的概念.

    本課,學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)探究的完整過程:

    從原運(yùn)算法則的“不能”,思考“為什么不能?”通過數(shù)學(xué)分析,尋找零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的新的意義,從而拓展了乘方運(yùn)算的意義,而這種“新”的意義又保持了正整數(shù)指數(shù)冪所具有的相互關(guān)系.這樣的過程,充分體現(xiàn)了拓展新概念的必要性、合理性,又滲透了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的理性精神和價(jià)值理念.同時(shí),這為將來將整數(shù)指數(shù)冪推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪打下了思想與觀念的基礎(chǔ)(其推廣的方法可以完全類似于此).

    從教學(xué)的視角看,“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”就是發(fā)現(xiàn)問題,“用數(shù)學(xué)思維分析世界”是解決問題(用數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、思想、觀念等),而“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”則是將解決問題的結(jié)果(有時(shí)也包括過程)用數(shù)學(xué)的語言(符號(hào)、圖形以及必要的文字)表達(dá)出來,得到數(shù)學(xué)的模型.這是一次數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”過程,學(xué)生經(jīng)歷的是一次真正的數(shù)學(xué)活動(dòng).

    這個(gè)學(xué)習(xí)過程對(duì)于初中學(xué)生而言是完全可以勝任的,符合學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)理論.這是因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)過程中教師充分發(fā)揮了主導(dǎo)作用,適時(shí)地給學(xué)生以幫助、支持,為其數(shù)學(xué)思維提供“腳手架”.

    通過上述案例,筆者認(rèn)為,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該寓于我們平時(shí)的每一節(jié)課的教學(xué)過程之中,寓于教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)的精心設(shè)計(jì).這種設(shè)計(jì)既要符合數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系,還要符合數(shù)學(xué)的研究規(guī)范,更要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理傾向,絕對(duì)不能讓教師的“權(quán)威”替代了數(shù)學(xué)的理性:數(shù)學(xué)中的“規(guī)定”不是那么隨意的,它需要有數(shù)學(xué)賦于的權(quán)利,也要有現(xiàn)實(shí)的合理性,還要符合數(shù)學(xué)內(nèi)部的和諧一致.

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