設(shè)計有價值的問題 促進學(xué)生自主建構(gòu)
——以“兩角和與差的余弦”為例

許興震

(江蘇省邗江區(qū)教育局教研室225009)

1 問題提出

體驗、揭示知識發(fā)生、發(fā)展和形成的過程，幫助學(xué)生自主建構(gòu)認知體系，促進學(xué)生思維能力的發(fā)展，是數(shù)學(xué)概念(公式)教學(xué)的核心任務(wù).為了在實踐中落實上述要求，筆者開展了“問題引領(lǐng)，自主建構(gòu)”數(shù)學(xué)教學(xué)模式的研究，主要做法就是教師通過重構(gòu)教材內(nèi)容，通過設(shè)計有價值的問題(串)，引領(lǐng)學(xué)生開展深度思維，突破自主建構(gòu)的瓶頸，學(xué)生在感受問題、提出問題、探究問題和解決問題的過程中，萌發(fā)學(xué)習(xí)動機和欲望，形成積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，成為信息加工的主體和知識意義的建構(gòu)者，并在此過程中獲得個人的全面發(fā)展.下面，筆者以近期參加市高中數(shù)學(xué)骨干教師課堂教學(xué)能力考核的課例蘇教版必修4第三章“三角恒等變換”第一課時“兩角和與差的余弦”為例，談?wù)勍ㄟ^設(shè)計有價值的問題，促進學(xué)生自主建構(gòu)的一些做法，請讀者批評指正.

2 教學(xué)案例

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

蘇教版高中數(shù)學(xué)實驗教材關(guān)于教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)，高度重視問題情境的創(chuàng)設(shè)，但是教材中情境的創(chuàng)設(shè)往往是粗線條的，有些還是跳躍性的.學(xué)生對學(xué)習(xí)新知識的必要性，教材為何要按照這種順序安排學(xué)習(xí)內(nèi)容，用什么方法來研究新的知識，難以理解到位，對學(xué)生自主建構(gòu)知識意義產(chǎn)生消極影響.因此，教師要按照教材的編寫思路、知識的邏輯順序和學(xué)生的認知規(guī)律，通過設(shè)計問題串，對教材創(chuàng)設(shè)的問題情境進行重構(gòu)，使學(xué)生在問題情境中產(chǎn)生認知沖突，發(fā)現(xiàn)和提出問題，從而激發(fā)學(xué)生積極思維的動機和探索問題的欲望.

問題1前面，我們學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)和誘導(dǎo)公式，知道了同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，可以用正弦、余弦、正切函數(shù)中的一個表示其余兩個，那么，兩個角的和與差的三角函數(shù)與這兩個角的三角函數(shù)有什么關(guān)系？今天這節(jié)課，我們就來研究兩角和與差的余弦.

問題2如何研究？教材在今天研究三角函數(shù)與上次研究三角函數(shù)之間安排了第2章平面向量，這說明什么呢？

問題3平面向量中的哪個知識點與三角函數(shù)有聯(lián)系呢？向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示分別是什么？

生：a·b=abcosθ，θ是向量a、b的夾角，θ∈0,π；設(shè)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，a·b=x1x2+y1y2.

問題4設(shè)a=(cosx,sinx)，b=(1,1)，請用上面兩種方法分別計算a·b.你能得出什么結(jié)論?

問題5cos(α-β)能否用α的三角函數(shù)與β的三角函數(shù)來表示？

意圖教材中的情境設(shè)計是由求兩個向量的數(shù)量積引入的，并未直接回答學(xué)習(xí)新知識的必要性，也未解釋為何要把向量的數(shù)量積作為新知識的“生長點”，教師要分析學(xué)生在自主建構(gòu)過程中可能出現(xiàn)的難點并將其梳理出來，通過設(shè)計針對性的問題，揭示出知識“發(fā)生”的背景和生成新知識的“生長點”，也為學(xué)生開展探究活動提供了研究的方向和研究方法.

2．2 意義建構(gòu)，解決問題

學(xué)生對知識意義的建構(gòu)，與問題發(fā)現(xiàn)、探究與解決相隨相伴，同步推進.因此，在提出核心問題以后，教師要在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”上設(shè)計問題(串)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，讓學(xué)生的思維逐步逼近問題的“核心地帶”，自主的開展知識的建構(gòu).

探究1公式的“發(fā)現(xiàn)”

問題6為什么會出現(xiàn)這個問題？有什么辦法解決這個問題？

問題8這個公式能否推廣到一般情形嗎？

生：α、β為任意角時，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. (C(α-β))

探究2公式的證明

有了問題4、問題7的鋪墊，用“算兩次”的辦法，學(xué)生很快得出了下面的結(jié)論.

另一方面，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，所以，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

問題9上面的證明有什么問題？

生：上述證明過程中，α-β不一定是向量a、b的夾角.但是，我覺得難以說清楚.

師：遇到比較抽象的問題，我們常用的思路是什么？請同學(xué)們?nèi)稳∫唤Mα,β看一看，并求出兩個向量的夾角θ.

師：從中能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？分組討論.

生3：當(dāng)α-β?0,2π時，由于余弦函數(shù)的周期為2π，所以，我們可以首先利用誘導(dǎo)公式，把α-β轉(zhuǎn)化到0,2π；當(dāng)α-β的終邊落在0,π時，θ=α-β；當(dāng)α-β的終邊落在(π,2π)，由于余弦函數(shù)是偶函數(shù)，一定可以在0,π內(nèi)，找到一個角θ=2π-(α-β)，使得cos(α-β)=cosθ，因此，我們只需考慮0≤α-β<π的情況，從而α-β就是向量a、b的夾角θ.

意圖當(dāng)α，β為任意角時，向量a、b的夾角θ的確定是本節(jié)課的一個教學(xué)難點，也是影響學(xué)生自主建構(gòu)的瓶頸.雖然教材上作了說明，由于比較抽象，學(xué)生難以理解.如何突破瓶頸？教師沒有直接給出答案，由于學(xué)生具備了誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)，因此教師從學(xué)生的立場出發(fā)，遵循學(xué)生的認知規(guī)律，讓學(xué)生從特殊值開始探究，自主探尋出蘊含著的一般規(guī)律：將任意角→0,2π→0,π，cos(α-β)=cosθ均成立.這個過程，給教材上的有關(guān)說明作了一個很好的詮釋，將知識從學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榻逃螒B(tài).

生：α=θ+β+2kπ或β=θ+α+2kπ(k∈Z)，即θ=α-β-2kπ或θ=β-α-2kπ(k∈Z)，等式cos(α-β)=cosθ總是成立.

意圖問題9的探究，師生對向量a、b的夾角的討論，從特殊值開始，探尋一般性的處理方法；問題10的設(shè)計就是引導(dǎo)學(xué)生探究公式嚴格的證明，回避了對向量a、b的夾角的討論，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，簡潔、嚴謹?shù)亟o出了證明.

探究3其他證法的探究

問題11有沒有其他證法了？

師：在這個公式中，涉及到α、β、α-β三個角，在直角坐標(biāo)系中xOy中，以x軸為始邊，分別作出這三個角.為了研究問題的方便，我們不妨假設(shè)：α∈0,π，β∈0,π，α>β，分別作出α，β，α-β的終邊，分別與單位圓交于P1,P2,P3，單位圓與Ox軸交于P0.

問題12請大家觀察，在單位圓中你能得到什么結(jié)論？

生：P0(1,0)，P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,sinβ)，P3(cos(α-β),sin(α-β)).

問題13請大家用坐標(biāo)表示，并進行化簡，能得到什么結(jié)論？

生：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

問題14α=β或α<β，等式還成立嗎？

學(xué)生驗證，公式對α=β或α<β均成立.這說明，公式對于α,β∈0,π均成立.

問題15大家討論一下，怎樣將α,β的范圍推廣到R？

通過討論，大家拿出了推廣方案.

問題16當(dāng)α,β∈π,2π時，結(jié)論成立嗎？

通過討論，學(xué)生聯(lián)想到問題9中對兩個向量的夾角的處理方法，很快解決了問題.

2π-α∈0,π，2π-β∈0,π，從而滿足上述結(jié)論，

cos(2π-α)+(2π-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(α,β∈R).

問題17其他情形，我們又如何證明呢？

生：利用誘導(dǎo)公式即可證明.

意圖問題11是教材中的探究內(nèi)容，證明過程需要對角α,β的范圍進行分類討論，因而對學(xué)生思維能力的要求較高，是本節(jié)課學(xué)生自主建構(gòu)的另一難點.教師通過設(shè)計一組有易到難、層層遞進的問題串，采取了化整為零、化生為熟策略，引領(lǐng)學(xué)生突破自主建構(gòu)的瓶頸.其思路是α,β從0,π→0,2π→任意角，公式C(α-β)均成立，這種方法實際上是前一個證明方法的一種遷移.

問題18如何得到兩角和的余弦公式？

生：用cosα+β=cosα--β

=cosαcos-β+sinαsin-β

=cosαcosβ-sinαsinβ.

師：兩角和的余弦公式

cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβα,β∈R.

2.3 拓展應(yīng)用，反饋矯正

例1利用兩角和(差)的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式：

例2利用兩角(差)的余弦公式，求cos75°，cos15°，sin15°，tan15°.

意圖進一步熟練使用兩角和與差的余弦公式、例1中的誘導(dǎo)公式，滲透化生為熟的化歸思想.

意圖熟悉公式的運用,對照公式,分清已知和未知,運用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求三角函數(shù)值時,應(yīng)根據(jù)角的范圍，正確確定兩角正、余弦值的范圍.

3 設(shè)計有價值的問題，促進學(xué)生自主建構(gòu)教學(xué)的幾點思考

問題是數(shù)學(xué)的心臟，是科學(xué)探索的出發(fā)點和動力.新課改倡導(dǎo)以問題為中心的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生以高水平的思維活動開展學(xué)習(xí)，通過問題解決來自主建構(gòu)知識.實踐證明：不同的問題所引起的學(xué)生思維參與程度是不一樣的，其對于學(xué)生理解和掌握知識的作用也不相同.教師要通過設(shè)計有價值的問題，引導(dǎo)學(xué)生在積極思維過程中，自主建構(gòu)知識意義.關(guān)于有價值的問題，不少學(xué)者從不同角度開展了研究，為我們開展深入開展課程改革提供了指導(dǎo)和方向.筆者認為，有價值的問題應(yīng)該包括下列特征.

3.1 圍繞目標(biāo)，突出教學(xué)重點和難點

教學(xué)目標(biāo)對課堂教學(xué)活動起著指導(dǎo)作用.有價值的數(shù)學(xué)問題，首先應(yīng)該服從于教學(xué)目標(biāo)的達成，只有這樣才能保證教學(xué)活動的開展和學(xué)生對知識意義的自主建構(gòu)沿著正確的方向展開.教學(xué)重點和教學(xué)難點是師生活動的密集之處，如何突出重點、突破難點是教師在設(shè)計教學(xué)活動時思考的主要內(nèi)容，教師需要設(shè)計出有價值的問題，并發(fā)揮其橋梁作用，引領(lǐng)學(xué)生與教材進行溝通，引導(dǎo)學(xué)生開展更有效、更深入的探究活動，促進學(xué)生對知識意義的自主建構(gòu).實踐證明，問題對教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點和難點指向性越明確，越能激發(fā)起學(xué)生的求知欲望，建構(gòu)活動就能沿著正確的方向推進，教學(xué)目標(biāo)的達成度就越高.

3.2 關(guān)注學(xué)情，彰顯主體地位

將教學(xué)內(nèi)容進行問題化設(shè)計，問題就成為引領(lǐng)學(xué)生探究的載體，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動就轉(zhuǎn)化為學(xué)生的探究活動.學(xué)生是探究活動的主體，因此學(xué)生的認知基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)能力等學(xué)情狀況就成為影響教師設(shè)計有價值問題的關(guān)鍵因素.對于學(xué)生來說，問題過易，無需探究，建構(gòu)不了新知；問題過難，探究無法展開，自主建構(gòu)難以推進.因此，有價值的問題一定要找準學(xué)生的認知起點，與學(xué)生的學(xué)習(xí)能力相適切，位于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”之內(nèi)，才能實現(xiàn)真正的對知識意義的自主建構(gòu).

3.3 啟發(fā)性強，提供遷移空間

課堂教學(xué)中，教師不僅要指導(dǎo)學(xué)生解決問題，更重要任務(wù)是通過對分析、思考，抽象出蘊含其中的一般性的思想方法，進而推廣到更一般的情形和其他特殊的情形中，促進學(xué)生能力的提升.因此，有價值的問題，其解決的方法要有一定的啟發(fā)性，學(xué)生通過思考、探究等手段能夠得出多種解決的路徑，其解決的方法可以遷移到解決類似的問題過程中.

3.4 具有層次性，引領(lǐng)思維逐步深入

學(xué)生是問題探究的主體，其抽象邏輯思維能力正處于發(fā)展階段，認識事物的過程必然是漸進式的，而非躍進式的.因此，有價值的問題(串)要符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，體現(xiàn)層次性.對于難度較大的問題，可以設(shè)計具有一定的邏輯聯(lián)系、有一定層次的問題，以問題串的形式，引領(lǐng)學(xué)生進行系列的、連續(xù)的思維活動，使學(xué)生的思維逐步攀升到新的高度.這樣的問題(串)，能循序漸進地引導(dǎo)學(xué)生思維的發(fā)展，逐步加深對問題本質(zhì)的認識，促進學(xué)生對知識意義的自主建構(gòu).

3.5 引發(fā)合作探究，體驗建構(gòu)過程

問題是教師引領(lǐng)學(xué)生探究的平臺，學(xué)生對知識意義的建構(gòu)，與問題的探究和解決相隨相伴，沒有探究，真正的自主建構(gòu)就不會發(fā)生.因此，有價值的問題，會能夠引發(fā)學(xué)生的探究活動，讓學(xué)生體驗知識意義的建構(gòu)過程.教材中知識的呈現(xiàn)形態(tài)更多是學(xué)術(shù)形態(tài)，教師的重要任務(wù)就是通過將教學(xué)內(nèi)容設(shè)計成有價值的問題，引發(fā)合作探究，通過嘗試、操作、想象、歸納、抽象等思維參與，實現(xiàn)對知識意義的“再創(chuàng)造”和“再發(fā)現(xiàn)”，進而將知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，而不是將書本知識灌輸給學(xué)生.