例析競賽中的復(fù)合最值問題

浙江省金華市第六中學(xué) (321000) 虞 懿

在競賽數(shù)學(xué)中，經(jīng)常會遇到復(fù)合最值問題．所謂復(fù)合最值問題，即最大值與最小值相互嵌入求解的問題，具體地講也就是在最大值中求最小值或最小值中求最大值的問題．這類問題比較抽象，難度較大，頗受競賽命題者的青睞．本文采擷幾道競賽中出現(xiàn)過的復(fù)合最值問題并予以深度解析，旨在探索題型規(guī)律，歸納求解策略．

策略1．分類討論

復(fù)合最值問題一般包含內(nèi)外兩個(gè)層次, 當(dāng)內(nèi)層關(guān)系看不清楚又不宜直接入手時(shí), 進(jìn)行分類討論是一種行之有效的辦法．

例1 (2016年四川競賽題)已知函數(shù)f(x)=x2-2tx+t，當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，記f(x)的最小值為m，則m的最大值是( ).

評注：某些復(fù)合最值問題，采用分類討論各個(gè)擊破，可將復(fù)雜問題簡單化．

策略2．?dāng)?shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)方法，在處理基本函數(shù)的復(fù)合最值問題時(shí)有廣泛的應(yīng)用，可分別作出幾個(gè)基本函數(shù)的圖像，由圖像直接求出函數(shù)的最值．

例2 (2007年浙江競賽題)設(shè)f(x)={2x+4,x2+1,5-3x}，則maxf(x)=( ).

A．1B．2C．3D．4

策略3．巧用算術(shù)平均數(shù)

n個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不大于這n個(gè)實(shí)數(shù)中的最大者，也不小于這n個(gè)實(shí)數(shù)中的最小者．利用這一簡單事實(shí)可使某些復(fù)合最值問題得到簡解．

例3 (華羅庚金杯賽題)已知a,b,c,d是正數(shù)，且滿足a+b+c+d=4．用M表示a+b+c,b+c+d,c+d+a,d+a+b中的最大值，求M的最小值．

解析：很明顯一組數(shù)的平均值不會大于這組數(shù)中的最大值，因此M=max{a+b+c,b+c+d,c+d+a,d+a+b}≥

評注：本題初看，不容易入手，a,b,c,d就不知道，那四個(gè)正數(shù)的和更不知道哪個(gè)大哪個(gè)小了，還要求最大者的最小值，那就更難了．這么多變化中我們要能找到不變--四個(gè)和中最大者必然不小于它們的平均數(shù)，這點(diǎn)一想清楚，本題也就迎刃而解了．

策略4．巧用幾何平均數(shù)

n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于這n個(gè)正數(shù)中的最大者，也不小于這n個(gè)正數(shù)中的最小者．利用這一簡單事實(shí)可使某些復(fù)合最值問題得到簡解．

評注：對于涉及多變量的復(fù)合最值問題，找出內(nèi)層最值與幾何平均數(shù)的不等關(guān)系，借助均值不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是處理這類問題的常見辦法．

策略5．猜想證明

對于一些特殊情形，可以首先根據(jù)問題的極端情況猜想出所求的最值，然后用反證法證明之．

策略6．設(shè)而不求

設(shè)而不求是數(shù)學(xué)中常用技巧．在解“復(fù)合最值”問題時(shí)，可將“內(nèi)層最值”設(shè)出(不求)，建立相關(guān)式子，再求外層最值．

評注：把內(nèi)層最值設(shè)出來，并不求出，如何利用已知條件尋找其滿足的不等關(guān)系是正確解題的關(guān)鍵．

策略7．放縮法

對于一類帶有絕對值的問題，可以通過三角形不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|放縮得到．

例7 (2006年上海市高中數(shù)學(xué)競賽題)設(shè)a,b∈R，不等式max{|a+b|,|a-b|,|2006-b|}≥c恒成立，則常數(shù)c的最大值是．

解析：設(shè)A=max{|a+b|,|a-b|,|2006-b|}，則A≥|a+b|,A≥|a-b|,A≥|2006-b|，故4A≥|a+b|+|a-b|+2|2006-b|≥|(a+b)+(b-a)+2(2006-b)|=4012，得A≥1003，當(dāng)a=0,b=1003時(shí)等號成立，因此c的最大值為1003．

評注：構(gòu)造了含“4A”的不等式是為了能利用三角形不等式放縮后湊得一個(gè)常數(shù)，這里的系數(shù)可以借用待定系數(shù)法得到．

策略8．構(gòu)造法

例8 已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,abc=1，求minmax{a,b,c}的值．

評注：對于有限制條件的三元復(fù)合最值問題，如果其中的兩個(gè)量可以用另外一個(gè)量表述成韋達(dá)定理形式，可以考慮構(gòu)造二次方程，利用判別式解決此類問題．

例9 試求M=max{|1+a+b|,|4+2a+b|,|9+3a+b|}的最小值．

評注：注意到三個(gè)式子1+a+b,4+2a+b,9+3a+b的特點(diǎn)，可構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

例10 (2006年陜西省高中數(shù)學(xué)競賽題)設(shè)x>1,y>1,A=min{logx2,log2y,logy8x2}，則A的最大值為．

評注：本題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系logx2·(log2y·logy8x2-3)=2，從而構(gòu)造關(guān)于A的三次不等式A(A2-3)≤2，通過解不等式得到A的最大值．

結(jié)語：求解復(fù)合最值問題的策略是多元的．如何選擇合理的求解策略，需要有敏銳的觀察能力，更需要心中有“法”．因此歸納一類問題的解題策略對學(xué)生入門和初步掌握解決該類問題是有幫助的．教學(xué)中教師需要引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)一類問題，歸納一類問題，提出一些策略”，解決學(xué)生入門難的問題，切實(shí)幫助學(xué)生減輕學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)．