數列的不定方程求解歸類

江蘇省南京市第二十九中學 (210036) 王知博 郭建華(指導教師)

數列中的不定方程是指數列中含有未知整數的等式，它的求解是數列中的一個難點.很多同學對處理數列中的不定方程問題束手無策，甚至畏懼，所以很有必要對數列中的不等方程求解進行整理和歸類.本文通過具體的題目介紹不定方程的處理技巧和方法.

一、因式分解型

將所得到的方程一邊化為常數，另一邊化為含有未知數的代數式，并將兩邊分別做質因數分解和因式分解，通過討論借助對應項相等，將方程分解成若干個方程組，以此增加方程組的個數，降低方程中未知數的次數等目的，進而求出其解.

二、范圍制約型

將所得到的方程進行整理，用一個變量表示另外一個變量，借助某一變量的范圍，構造不等式求解即可.

三、奇偶分析型

奇偶分析法是指通過對方程的兩邊是否同時取得奇數或偶數來確定方程的解的方法.一般處理數列中的方程解的存在性問題，對方程的整合變形是關鍵.

例3 已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，數列{an}的前n項和為Tn，且(Sn-2)2+3Tn=4,n∈N*．(1)證明數列{an}是等比數列，并寫出通項公式；(2)若an,2xan+1,2yan+2成等差數列，求正整數x,y的值．

四、矛盾對立型

這種方法常用于處理數列中的存在性問題，通過對方程整合變形推出矛盾，進而說明該方程無解達到求解的目的.

例4 已知數列{an}的通項公式為an=2n-(-1)n，n∈N*．在數列{an}中是否存在某4項成等差數列？若存在，求出所有滿足條件的項；若不存在，說明理由．

解析:由于an+1-an=2n+1-(-1)n+1-2n+(-1)n=2n+2(-1)n≥0，不妨設aq,ar,as,at成等差數列，其中1≤q

五、探尋約數型

探尋約數型其實就是在正整數范圍內求解不定方程，將求解方程化為一邊整式另一邊變成分式，則分式的分子一定要滿足能被分母整除，這是處理整除問題的常用方法.

求解數列中不定方程的方法有很多，在平時的學習中應對數列中的不定方程的題型進行歸類，靈活選擇所對應的解題方法進行求解.