一類不等式的簡(jiǎn)證

新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二中學(xué) (830002) 張國治 江睿煊 張益斌 李 響新疆烏魯木齊市第68中學(xué) (830001) 何雨辰

面對(duì)龐雜的知識(shí)體系和大量的模擬試題，如何針對(duì)高考競(jìng)賽展開高效的針對(duì)性復(fù)習(xí)？通過對(duì)近幾年高考和競(jìng)賽試題的研究，筆者有一個(gè)很有趣的發(fā)現(xiàn)——試題各異，出題角度多變，但探源溯流，它們來源于同一個(gè)問題．我們可以把這類不斷衍生的題目稱為“題根”．那么如何尋找“題根”呢？將源于課本的題目進(jìn)行提煉與升華形成結(jié)論，然后再將其廣泛應(yīng)用于解題實(shí)踐中，這便是尋覓“題根”的不二法門了.這一過程意義非凡，因?yàn)槊Ｃｎ}海中很多題目表面不同，但實(shí)質(zhì)一樣(可歸結(jié)于同一個(gè)“題根”)．一個(gè)“題根”加工而成的結(jié)論，其功效不亞于教材中的一個(gè)定理.筆者從一個(gè)重要的不等式出發(fā)，探源溯流得到競(jìng)賽題、高考題命題的題根，并給出一種高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，敬請(qǐng)同行指正.[1]

下面以近期競(jìng)賽試題和數(shù)學(xué)通訊問題征解為例談?wù)劥瞬坏仁降膽?yīng)用，追本溯源，以期拋磚引玉，凸顯回歸題根的重要性.

分析1：解決三角形中的問題，通常是采用“減元”的策略，即將“邊元”和“角元”做一轉(zhuǎn)化.考慮到待證的不等式是分式結(jié)構(gòu)，可以利用本文結(jié)論和正弦定理便有如下簡(jiǎn)潔明快的證法.

證明1：根據(jù)正弦定理，右邊等價(jià)于

分析2：由題設(shè)結(jié)構(gòu)聯(lián)想到射影定理：在ΔABC中，有a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA成立.由本文結(jié)論推廣便有如下別具一格的證明.

點(diǎn)評(píng)：上述證明過程中巧妙的用到了射影定理和本文引理的推廣，由證明過程不難得到下面推廣：

分析：本題幾個(gè)作者提供標(biāo)準(zhǔn)解答是先利用比較法證明2(a4+b4)≥(a+b)(a3+b3)2.然后利用基本不等式獲解，解法顯得很突兀，非常不自然且不易推廣.但倘若利用本文的結(jié)論便有如下簡(jiǎn)潔明快的解答.

按上述證明不難作如下推廣：

按上述證明不難作如下推廣：

按上述證明不難作如下推廣：

分析：本題標(biāo)準(zhǔn)解答利用柯西不等式獲解，但倘若利用本文的結(jié)論便有如下別具一格的解答.

按上述證明不難作如下推廣：

分析：本題標(biāo)準(zhǔn)解答利用柯西不等式獲解，但倘若利用本文的結(jié)論便有如下別具一格的解答.

按上述證明不難作如下推廣：

總之，研究“題根”對(duì)教學(xué)、命題和解題都有深遠(yuǎn)的意義，變幻多端的數(shù)學(xué)題目猶如蔥郁繁密的樹葉.看似難以捉摸，實(shí)則息息相關(guān)，故而在研究問題時(shí)應(yīng)撥開層層枝葉，尋其根源，以本見全.如果把一道數(shù)學(xué)題比作一棵大樹，那么，“題根”就是它的根系，“題根”周圍的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)不斷推廣和延伸，逐漸長(zhǎng)成了參天大樹.因此倘若我們回歸課本，并且沿著課本例習(xí)題的生長(zhǎng)點(diǎn)正確推導(dǎo)下去，便能“占領(lǐng)”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的制高點(diǎn)，把握全局，輕松“玩轉(zhuǎn)”數(shù)學(xué).這也完全符合“回歸課本”的學(xué)習(xí)理念，也滿足了不同學(xué)生的認(rèn)知需求，為學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展提供了滋養(yǎng)的土壤.“把一個(gè)比較復(fù)雜的問題，‘退’到最簡(jiǎn)單最原始的問題，把這個(gè)最簡(jiǎn)單最原始的問題想通了、想透了”然后再進(jìn)行歸納、綜合而實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍，“這是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅”，引申開來，這何嘗不是“教好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅”.