六維分?jǐn)?shù)階Lorenz?duffing系統(tǒng)仿真

田野++盧志茂+高雪瑤

摘 要： 設(shè)計(jì)一個(gè)混沌行為復(fù)雜且具有物理學(xué)特性的整數(shù)階混沌系統(tǒng)很難。為了解決這個(gè)問題，在整數(shù)階混沌系統(tǒng)中引入了分?jǐn)?shù)階微分算子，并設(shè)計(jì)了一個(gè)六維分?jǐn)?shù)階Lorenz?duffing混沌系統(tǒng)；還重點(diǎn)分析了該分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性以及系統(tǒng)的吸引子、分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜；最后，設(shè)計(jì)該分?jǐn)?shù)階混沌電路，并利用Multisim軟件仿真分析了該電路。仿真結(jié)果表明，該分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)能夠產(chǎn)生混沌信號(hào)。

關(guān)鍵詞： 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)； Lorenz?duffing系統(tǒng)； Lyapunov 指數(shù)； 電路仿真

中圖分類號(hào)： TN911?34； TN401 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2017）12?0022?06

Abstract： It is difficult to design an integer order chaotic system with complex chaotic behaviors and physical properties. In this paper， a six?dimensional fractional order Lorenz?duffing chaotic system is designed to solve this problem. The system introduces the fractional order differential operator into the integer order chaotic system. In addition， the equilibrium points and stability of the fractional order chaotic system， and its attractors， bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum are analyzed in detail. Finally， the fractional order chaotic circuit is designed， and the circuit is simulated and analyzed with Multisim software. The simulation results show that the designed fractional order chaotic system can generate chaotic signals.

Keywords： fractional?order system； Lorenz?duffing system； lyapunov exponent； circuit simulation

0 引 言

計(jì)算機(jī)技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展使得人們能夠更快捷方便地存儲(chǔ)與分享各類信息。其中多媒體信息由于其特有的形象和生動(dòng)的特性逐步成為互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代最重要的信息載體之一[1]。但是互聯(lián)網(wǎng)存在開放包容、任何人都可以自由接入網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)，所以近年來發(fā)生了一系列的信息泄密事件。這些信息泄密事件使人們意識(shí)到信息在互聯(lián)網(wǎng)中安全傳輸?shù)闹匾浴１Ｃ芡ㄐ攀潜ＷC信息安全傳輸?shù)淖钪饕呗?，?shù)據(jù)加密技術(shù)是抵抗非法攻擊和非法使用的重要手段[2]。常用的數(shù)據(jù)加密技術(shù)有傳統(tǒng)加密技術(shù)和混沌加密技術(shù)。由于多媒體信息，如圖像具有高冗余度、大數(shù)據(jù)量、像素間相關(guān)性強(qiáng)等特點(diǎn)，所以采用傳統(tǒng)數(shù)據(jù)加密技術(shù)，如分組加密，對(duì)多媒體信息進(jìn)行加密將不再有效[3]。混沌系統(tǒng)因?yàn)榫哂斜闅v性、對(duì)初值和控制參數(shù)敏感、偽隨機(jī)性和長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性等優(yōu)良的密碼學(xué)特性，所以正被廣泛地應(yīng)用于互聯(lián)網(wǎng)的保密通信中[4]。

研究者也因此設(shè)計(jì)了多種混沌模型，例如，Lorenz最早設(shè)計(jì)了一個(gè)研究混沌的經(jīng)典模型，即Lorenz混沌模型，該模型由三個(gè)常微分方程構(gòu)成[5]。陳關(guān)榮等在Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的可以產(chǎn)生混沌行為的常微分方程組，Chen系統(tǒng)[6]。但是，這兩個(gè)混沌模型存在一定的局限性，當(dāng)且僅當(dāng)該模型微分方程中的一組參數(shù)取得特定值時(shí)，該模型才能呈現(xiàn)混沌行為。在Lorenz混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，后面的學(xué)者又相繼設(shè)計(jì)了多種具有豐富混沌動(dòng)力學(xué)行為的著名混沌系統(tǒng)。如分別源于物理學(xué)和電子工程理論的連續(xù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，R?ssler系統(tǒng)[7]和Chua′s電路[8]，以及源于生物學(xué)的離散動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，Logistic映射[9]。從數(shù)學(xué)式上看Logistic映射只是一個(gè)簡(jiǎn)單的差分方程，但是該混沌映射可以產(chǎn)生極其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。當(dāng)前，該混沌映射在保密通信領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用。盡管上述混沌系統(tǒng)的出現(xiàn)推動(dòng)了混沌系統(tǒng)理論的發(fā)展，且有著較復(fù)雜的混沌動(dòng)力學(xué)行為，但是他們都屬于整數(shù)階混沌系統(tǒng)，這種整數(shù)階的混沌系統(tǒng)不符合實(shí)際的物理特性。

近年來，研究者發(fā)現(xiàn)，許多混沌系統(tǒng)都展現(xiàn)出了分?jǐn)?shù)階特性的動(dòng)力學(xué)行為，且與整數(shù)階混沌系統(tǒng)相比，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)有著更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，更加符合工程應(yīng)用的實(shí)際情況；因此，在整數(shù)階混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，研究者設(shè)計(jì)了一系列的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)。例如，分?jǐn)?shù)階低至2.7的分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)[10]、分?jǐn)?shù)階低至2.97的Lorenz系統(tǒng)[11]、分?jǐn)?shù)階低至2.1的Chen系統(tǒng)[12]中都存在混沌行為。在過去的研究中還發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階低至2.4的R?ssler系統(tǒng)以及分?jǐn)?shù)階低至3.8的超混沌R?ssler系統(tǒng)中也可以發(fā)現(xiàn)混沌吸引子[13]。

隨著分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階數(shù)值的不同，該系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)出不同的狀態(tài)，而且同一個(gè)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌的分?jǐn)?shù)階的取值不是固定的而是在一個(gè)范圍內(nèi)；因此，與整數(shù)階混沌系統(tǒng)相比，這種分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌行為更加復(fù)雜，更不易被復(fù)制。但是上述分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的低維較低，利用這些低維混沌系統(tǒng)生成的混沌序列的密鑰空間還有待進(jìn)一步提高。為了解決這個(gè)問題，文獻(xiàn)[14]提出了一個(gè)三維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，與Lorenz和Chen等混沌系統(tǒng)相比，該系統(tǒng)有更多的非線性項(xiàng)，而且增加的非線性乘積項(xiàng)帶有較大的權(quán)重系數(shù)，且代數(shù)結(jié)構(gòu)也發(fā)生了變化，因此該混沌系統(tǒng)得到了更加復(fù)雜的分叉、混沌行為。盡管該系統(tǒng)得到了較大的Lyapunov指數(shù)和更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，但是該分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的維度不夠高。

正如大家所知，低維混沌系統(tǒng)因其高效簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)而被廣泛的采用[15]，但它們的弱點(diǎn)也很明顯，如密鑰空間小和安全性弱。此外，低維混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)性和序列復(fù)雜度也不夠高[16]。與低維混沌系統(tǒng)相比，高維混沌系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，更多的系統(tǒng)變量和參數(shù)[17]，所有這些特征保證了高維混沌系統(tǒng)更適用于密碼系統(tǒng)。采用高維混沌系統(tǒng)得到的密碼系統(tǒng)的密鑰空間更大，系統(tǒng)變量的時(shí)間序列將更不穩(wěn)定、更不可預(yù)測(cè)。因此，對(duì)密碼系統(tǒng)而言高維混沌系統(tǒng)是更好的選擇[18]。本文設(shè)計(jì)了一個(gè)高維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)混沌信號(hào)發(fā)生電路。盡管分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)比整數(shù)階混沌系統(tǒng)更符合自然界的實(shí)際情況也擁有更加復(fù)雜的混沌行為，但是分?jǐn)?shù)階微積分存在歷史記憶性和全局相關(guān)性的特性，所以分?jǐn)?shù)階微積分在實(shí)際計(jì)算中比較復(fù)雜，而且按照分?jǐn)?shù)階微積分的標(biāo)準(zhǔn)定義也無法在時(shí)域中直接對(duì)其進(jìn)行計(jì)算。因此本文采用頻域近似的方法，利用整數(shù)階算子逼近分?jǐn)?shù)階算子得到分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的近似解。本文通過Multisim 14軟件仿真驗(yàn)證了該混沌信號(hào)發(fā)生電路能夠產(chǎn)生具有復(fù)雜行為的混沌信號(hào)。

1 六維分?jǐn)?shù)階Lorenz?duffing系統(tǒng)及其動(dòng)力學(xué)特性

1.4 六維分?jǐn)?shù)階Lorenz?duffing系統(tǒng)分岔圖與Lyapunov指數(shù)

采用式（5）給出的頻域近似，分析隨著參數(shù)的改變，六維分?jǐn)?shù)階Lorenz?duffing系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖、分岔圖的變化情況。

（1） 固定參數(shù)=4，=20，=-2.5，=4，=5， =20，改變參數(shù)，當(dāng)080，由圖3（a）系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜可知，當(dāng)0.823.7，最大的Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)00.8或23.780，最大Lyapunov指數(shù)幾乎等于0，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)形式。圖3（b）的分岔圖也說明了系統(tǒng)隨參數(shù)a變化的動(dòng)力學(xué)特征。

（2） 固定參數(shù)=10，=20，=-2.5，=4，=5，=20，改變參數(shù)。當(dāng)030，由圖4（a）系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜可知；當(dāng)07，最大的Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)730，最大Lyapunov指數(shù)幾乎等于0，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)形式。圖4（b）的分岔圖也說明了系統(tǒng)隨參數(shù)變化的動(dòng)力學(xué)特征。

（3） 固定參數(shù)=10，=4，=-2.5，=4，=5， =20，改變參數(shù)。當(dāng)060，由圖5（a）系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜可知；當(dāng)02.5，最大的Lyapunov指數(shù)小于0，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)2.57，最大Lyapunov指數(shù)幾乎等于0，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)形式，當(dāng)760，最大的Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。圖5（b）的分岔圖也說明了系統(tǒng)隨參數(shù)變化的動(dòng)力學(xué)特征。

（4） 固定參數(shù)=10，=4，=20，=4，=5，=20，改變參數(shù)。當(dāng)-3030，由圖6（a）系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜可知；當(dāng)-0.50.5，最大Lyapunov指數(shù)幾乎等于0，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)形式；當(dāng)-30-0.5或0.530，最大的Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。圖6（b）的分岔圖也說明了系統(tǒng)隨參數(shù)變化的動(dòng)力學(xué)特征。

（5） 固定參數(shù)=10，=4，=20，=-2.5，=5， =20，改變參數(shù)。當(dāng)060，由圖7（a）系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜可知；當(dāng)06.6，7.69.2或9.710.1，最大的Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)6.67.6或9.29.7或10.160，最大Lyapunov指數(shù)幾乎等于0，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)形式。圖7（b）的分岔圖也說明了系統(tǒng)隨參數(shù)e變化的動(dòng)力學(xué)特征。

（6） 固定參數(shù)=10，=4，=20，=-2.5，=4， =20，改變參數(shù)。當(dāng)-3030，由圖8（a）系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜可知；當(dāng)-0.70.7，最大Lyapunov指數(shù)幾乎等于0，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)形式；當(dāng)-30-0.7或0.730，最大的Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。圖8（b）的分岔圖也說明了系統(tǒng)隨參數(shù)變化的動(dòng)力學(xué)特征。

（7） 固定參數(shù)=10，=4，=20，=-2.5，=4， =5，改變參數(shù)。當(dāng)080，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖9所示。

由圖9（a）可知，當(dāng)01.8時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)小于0，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)1.85或3380，最大Lyapunov指數(shù)幾乎等于0，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)形式當(dāng)533，最大的Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。圖9（b）的分岔圖也說明了系統(tǒng)隨參數(shù)變化的動(dòng)力學(xué)特征。

2 六維分?jǐn)?shù)階Lorenz?duffing混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)

根據(jù)文獻(xiàn)[22]提出的整數(shù)階混沌電路模塊化設(shè)計(jì)方法和頻域近似方法，驗(yàn)證六維分?jǐn)?shù)階Lorenz?duffing系統(tǒng)的混沌特性，使用模擬運(yùn)算放大器、乘法器、電阻和電容。根據(jù)文獻(xiàn)[21] ，當(dāng)=0.98時(shí)，得到的單元電路中元器件的參數(shù)值為：=91.187 3 MΩ，=190.933 Ω，=0.975 3 μF，=3.680 6 μF， 電路單元如圖10所示。

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)模擬電路實(shí)現(xiàn)了0.98 階次的六維分?jǐn)?shù)階Lorenz?duffing系統(tǒng)，如圖11所示。

其中，AD633是乘法器，TL082ID為運(yùn)算放大器，====，=，=====================，=======，==，==，=，對(duì)六維分?jǐn)?shù)階Lorenz?duffing系統(tǒng)的電路利用Multisim軟件進(jìn)行仿真，吸引子的相圖如圖12所示?？梢缘贸?，電路實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果，如圖2所示，基本上是一致的。

3 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)六維分?jǐn)?shù)階Lorenz?duffing混沌系統(tǒng)，并利用整數(shù)階算子逼近分?jǐn)?shù)階算子的方法得到了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的近似解。利用Matlab數(shù)值仿真技術(shù)，重點(diǎn)分析了該混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性以及系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，包括混沌吸引子、分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜。最后，繪制了該分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的電路原理圖，在Multisim 軟件上電路仿真結(jié)果驗(yàn)證了該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的可行性。

參考文獻(xiàn)

[1] GU G， LING J. A fast image encryption method by using chaotic 3D cat maps [J]. Optik? international journal for light and electron optics， 2014， 125（17）： 4700?4705.

[2] 王偉，彭存建.一種新型離散指數(shù)混沌映射的實(shí)現(xiàn)及其研究[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2014，37（1）：83?85.

[3] KHAN M， SHAH T. An efficient chaotic image encryption scheme [J]. Neural computing & applications， 2014， 26： 1?12.

[4] 李春明，姬勝凱.蔡氏混沌保密通信系統(tǒng)仿真研究[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2013，36（21）：74?77.

[5] LORENZ E N. Deterministic nonperiodic flow [J]. Journal of the atmospheric sciences， 1963， 20（2）： 130?141.

[6] CHEN G， UETA T. Yet another chaotic attractor [J]. International journal of bifurcation and chaos， 1999， 9（07）： 1465?1466.

[7] R?SSLER O E. An equation for continuous chaos [J]. Physics letters A， 1976， 57（5）： 397?398.

[8] CHUA L O， KOMURO M， MATSUMOTO T. The double scroll family [J]. IEEE transactions on circuits and systems， 1986， 33（11）： 1072?1118.

[9] MAY R M. Simple mathematical models with very complicated dynamics [J]. Nature， 1976， 261（5560）： 459?467.

[10] HARTLEY T T， LORENZO C F， QAMMER H K. Chaos in a fractional order Chua's system [J]. IEEE transactions on CASI， 1995， 42（8）： 485?490.

[11] GRIGORENKO I， GRIGORENKO E. Chaotic dynamics of the fractional Lorenz system [J]. Physical review lettters， 2003， 91（3）： 034101.

[12] LU J G， CHEN G. A note on the fractional?order Chen system [J]. Chaos， solitons & fractals， 2006， 27（3）： 685?688.

[13] Li C G， Chen G. Synchronization in general complex dynamical networks with coupling delays [J]. Physica A， 2004， 343（15）： 263?278.

[14] 左建政，王光義.一種新的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)研究[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2009，32（10）：122?124.

[15] ZHANG G， LIU Q. A novel image encryption method based on total shuffling scheme [J]. Journal of optical communications and networking， 2011， 284： 2775?2780.

[16] AKHAVAN A， SAMSUDIN A， Akhshani A. A symmetric image encryption scheme based on combination of nonlinear chaotic maps [J]. Journal of Frankl Inst， 2011， 348： 1797?1813.

[17] BORUJENI S E， ESHGHI M. Chaotic image encryption system using phase?magnitude transformation and pixel substitution [J]. Telecommunication systems， 2013， 52（2）： 525–537.

[18] NOROUZI B， SEYEDZADEH S M， MIRZAKUCHAKI S， et al. A novel image encryption based on row?column， masking and main diffusion processes with hyper chaos [J]. Multimedia tools & applications， 2013， 74（3）： 781?811.

[19] 張帆.基于Lorenz?Duffing復(fù)合混沌系統(tǒng)的彩色圖像加密[J].微電子學(xué)與計(jì)算機(jī)，2013（10）：62?65.

[20] CHAREF A， SUN H H， TSAO Y Y， et al. Fractal system as represented by singularity function [J]. IEEE transactions on automatic control， 1992， 37（9）： 1465?1470.

[21] 邵書義，閔富紅，馬美玲，等.分?jǐn)?shù)階Chua′s系統(tǒng)錯(cuò)位同步無感模塊化電路實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用[J].物理學(xué)報(bào)，2013，62（13）：130504.

[22] YU S， L? J， CHEN G. A module?based and unified approach to chaotic circuit design and its applications [J]. International journal of bifurcation and chaos， 2007， 17（05）： 1785?1800.