四方折疊梁聲子晶體低頻帶隙特性研究

高南沙，李沛霖，周文林，侯 宏

（1.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安 710072；2.西北工業(yè)大學(xué) 聲學(xué)信息感知工信部重點實驗室，西安 710072）

彈性波在聲子晶體中傳播時，受其內(nèi)部周期結(jié)構(gòu)作用，形成特殊色散關(guān)系（能帶結(jié)構(gòu)），色散關(guān)系曲線之間的頻率范圍稱為帶隙。理論上，帶隙頻率范圍的彈性波傳播被抑制，然而其它頻率范圍（稱為通帶）的彈性波將在色散關(guān)系的作用下無能量損耗地傳播。目前比較成熟的聲子晶體帶隙形成機(jī)理有兩種，即Bragg散射機(jī)理和局域共振機(jī)理。一開始被研究的聲子晶體所具有的帶隙都屬于Bragg散射機(jī)理[1-3]。若基體為流體，該聲子晶體最低聲波帶隙的中心頻率可由基體聲速c和晶格常數(shù)a確定，即c/2a。這種波長與晶格常數(shù)成兩倍的關(guān)系與Bragg所發(fā)現(xiàn)的晶體中X射線衍射行為類似，因此將這類帶隙的形成機(jī)理稱為Bragg散射機(jī)理[4]。該機(jī)理不利于在低頻范圍內(nèi)的展開應(yīng)用[5-6]。局域共振機(jī)理的出現(xiàn)和發(fā)展改變了這種局面[7]。與Bragg散射機(jī)理明顯不同，局域共振機(jī)理強(qiáng)調(diào)單個原胞的運(yùn)動模式。通過適當(dāng)?shù)闹貥?gòu)，一般是在基體和散射體中間再加入柔軟的包覆層，使原胞所構(gòu)成的振子在遠(yuǎn)低于晶格尺度波長對應(yīng)的頻率范圍內(nèi)發(fā)生共振，并阻斷正常的波傳播過程[8]。至今為止，在對聲子晶體和聲學(xué)超材料的理論研究上已經(jīng)有了很大的突破，但是針對于實際的工程問題仍然存在著一些急需而難以解決的問題，對于中高頻振動和噪聲問題，雖然Bragg散射型聲子晶體能夠表現(xiàn)出優(yōu)于傳統(tǒng)減振降噪方法的帶隙特性，但是傳統(tǒng)的減振降噪方法足以處理這些頻段的問題，而且在制造成本嚴(yán)格控制或空間有限的場合，Bragg散射型聲子晶體存在著體積過大等一系列缺點，所以在低頻范圍內(nèi)，從實用性的角度看，Bragg散射型聲子晶體具有很大的局限性。2016年，張佳龍[9-10]提出正八邊形孔狀和雙包覆層局域共振聲子晶體模型，該結(jié)構(gòu)在500 Hz以上的中高頻范圍內(nèi)存在帶隙，依然沒有很好地解決中低頻的減振降噪問題，最近，Lai Y[11]和Mei J[12]等基于局域共振機(jī)理設(shè)計了相關(guān)的聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)，解決了低頻降噪減振問題，但是同時都存在著工藝復(fù)雜，帶隙頻率范圍窄以及調(diào)節(jié)不靈活等問題。

通過分割中心諧振子從而增大自由表面來降低帶隙，基于低頻多重振動耦合機(jī)理提出了一種新型二維三組元四方折疊梁聲子晶體結(jié)構(gòu)，通過改變基體和諧振子之間的幾何結(jié)構(gòu)，在不增加單元結(jié)構(gòu)和質(zhì)量的情況下打開低頻帶隙，具有良好的降噪效果。通過調(diào)節(jié)單元結(jié)構(gòu)特性參數(shù)，得出影響該結(jié)構(gòu)帶隙位置、寬度的主要因素，從而總結(jié)出控制該結(jié)構(gòu)低頻減振降噪效果的影響規(guī)律。

1 多重振動耦合機(jī)理

1.1 二維四方折疊梁聲子晶體模型

二維四方折疊梁聲子晶體的結(jié)構(gòu)如圖1所示，利用四方折疊的彈性梁來替代傳統(tǒng)局域共振型聲子晶體中的包覆層，然后將四方折疊梁分別連接在正方形外框和正方形諧振子上。圖1(c)個給出了所對應(yīng)Brillouin區(qū)。圖1(d)和圖1(e)分別是二維四方折疊梁局域共振型聲子晶體的兩種結(jié)構(gòu)，即模型1和2?？梢钥闯觯谶@兩種模型中，中間層四方折疊梁是一個互補(bǔ)的對應(yīng)關(guān)系，而圖1(f)則給出了對比結(jié)構(gòu)—模型3。

模型1、2和3中的不同顏色區(qū)域A、B和C分別代表不同的材料，四方折疊梁使用金屬鋁，正方形諧振子使用金屬鎢，而正方形外框采用硅橡膠，材料參數(shù)如表1所示。

幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)晶格常數(shù)a=34 mm，中心正方形諧振子的邊長H是20 mm，四方折疊梁寬度b=1.43 mm，四方折疊梁之間的空隙寬度e=2.14 mm，內(nèi)外層開口寬度C1=C2=2.2 mm。

1.2 帶隙特性分析

圖1 二維四方折疊梁聲子晶體基本結(jié)構(gòu)及其對應(yīng)的Brillouin區(qū)

本文基于COMSOL Multiphysics軟件，詳述二維固-固型聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)計算過程。在COMSOL Multiphysics軟件3.5a版本的模型導(dǎo)航窗口中，選擇結(jié)構(gòu)力學(xué)中的模塊-特征頻率分析。在進(jìn)入分析界面后，畫好幾何模型后進(jìn)行常數(shù)設(shè)定，為了便于在以后的分析中進(jìn)行參數(shù)掃描，設(shè)定初始常數(shù)值kx=1，ky=1，在這里kx和ky是倒格子空間的基矢。在求解域的設(shè)定中輸入材料的彈性參數(shù)。在聲子晶體的概念中，單元之間互相聯(lián)通的材料稱為基體，在單元中心質(zhì)量比較大的材料稱為散射體，又可以稱為諧振子，而它們之間的部分稱為包覆層。在本算例中基體采用環(huán)氧樹脂，包覆層采用硅橡膠，而散射體采用鉛。材料參數(shù)詳見附錄。根據(jù)一般的有限元法步驟確定形函數(shù)、建立單元內(nèi)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，獲得單元的廣義本征值方程

表1 材料參數(shù)

式中：Ks——單元剛度矩陣；Ms——質(zhì)量矩陣；u(v)——整體節(jié)點位移陣列。

圖2 模型1、2和3的能帶結(jié)構(gòu)

周期結(jié)構(gòu)的聲子晶體，可以采用Block周期性條件將整體的計算縮減到一系列的單元中進(jìn)行。所以在軟件中取X和Y方向的兩條邊作為源項，它們的表達(dá)式中分別輸入單元內(nèi)的特征向量u和v，而目的端選擇的兩條邊是和源項兩條邊相互對應(yīng)的。在目的端表達(dá)式中，輸入u(v)?exp(i?pi?kx(ky))，這樣就完成了周期性邊界條件的設(shè)置。在求解器參數(shù)中設(shè)置所求特征頻率的階數(shù)，然后采用平面應(yīng)變?nèi)切螁卧M(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，完成求解。在軟件中，選擇Eigevalue求解器，即給定一個k值，即可求得一組結(jié)構(gòu)本征頻率，最后進(jìn)行波矢參數(shù)掃描。本節(jié)研究對象是聲子晶體具有代表性的正方晶格，所以掃描的邊界應(yīng)該遍歷整個Brillouin的邊界。當(dāng)波矢沿著M-Γ-X-M的邊界完成參數(shù)掃描后生成txt文檔，導(dǎo)入MATLAB軟件中就可以得出其能帶結(jié)構(gòu)。

圖2、圖3給出了模型1、2和3的能帶結(jié)構(gòu)和模型1的透射譜。在圖2中，灰色區(qū)域表示帶隙，可以很清楚地看出，對比結(jié)構(gòu)模型3在1 200 Hz以下沒有帶隙，模型1和2在400 Hz以下都可以打開帶隙，不同的是模型2打開了四條完全帶隙，而模型1只打開兩條，但是模型1的兩條帶隙的寬度比模型2的大，第一帶隙從100 Hz到106.7 Hz，第二帶隙從193 Hz到297帶隙，其第二帶隙寬度達(dá)到100 Hz。因為模型1和2在XY方向上屬于不對稱的。所以其所對應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)中存在著很多方向帶隙[13]，方向帶隙在特定的單一方向上有很多應(yīng)用，但本論文重點關(guān)注的是在全方向上能夠發(fā)揮減振降噪作用的完全帶隙。在400 Hz以下的頻率范圍，模型1的帶隙范圍大概為26.5%，與具有相同尺寸和材料的模型3相比，不僅可以打開帶隙，而且?guī)斗秶軐?，同時其結(jié)構(gòu)的面密度減小，幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)變多，能夠?qū)哆M(jìn)行調(diào)節(jié)。同樣屬于四方折疊梁局域共振型聲子晶體的模型2，其帶隙數(shù)量雖然多，但是寬度很窄，最寬的帶隙只能達(dá)到5.1 Hz，分布在300 Hz和350 Hz之間。但是在50 Hz以下，甚至在低于10 Hz的范圍內(nèi)，圖2(b)中有很多平直帶，這說明模型2在超低頻處存在更多的共振作用，這為振動能量回收提供了可行性。在圖3中，模型1的透射譜其最低的峰值低于-250 dB，在190 Hz到300 Hz之間有比較高的隔聲性能，該區(qū)間和圖2中的帶隙相互對應(yīng)，驗證了本文能帶結(jié)構(gòu)計算結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確性。

圖3 模型1的透射譜

1.3 物理機(jī)理分析

在研究單元的模態(tài)位移時取2×2的大原胞作為研究對象，這樣也可以更加清楚地反映出各個單元之間的相互影響。圖4(a)－圖4(d)給出了模型1在第一、二帶隙的上下邊界處的位移振型圖。

首先討論模型1第一帶隙的上下邊界關(guān)鍵點A、B的模態(tài)，A、B兩點所對應(yīng)的頻率為100 Hz和106.7 Hz。在A點的模態(tài)中，振動幾乎都集中在中心諧振子上面，在X或Y方向上，外邊框呈現(xiàn)出旋轉(zhuǎn)振動，且有一定的變形。在左上和右下小單元中，外框的變形是順時針的；而在左下和右上小單元中，外框的變形是逆時針的。B點的模態(tài)完全不同于A點的模態(tài)，這些振動的中心都在每一個小單元的諧振子中心上，且方向是順時針的，大原胞外框的振動是反對稱的彎曲振動。C點是模型1第二帶隙下邊界的點，其模態(tài)類似B點的模態(tài)，振動中心依然在諧振子上，外框也有明顯地彎曲變形，但是不同的是其中有兩個小單元的旋轉(zhuǎn)振動方向不同于B點中的旋轉(zhuǎn)方向。D點，是模型1第二帶隙上邊界的點，可以看出諧振子的振動位移不大，變形主要發(fā)生在每一個小單元的右下外邊框處，每一個小單元的上下四個外邊框都是反對稱彎曲振動。為了更加清楚地看出振型方向，圖4(e)畫出了這四個模態(tài)示意圖，在2×2的大原胞中，重點關(guān)注的是節(jié)點處的位移方向（圖4(e)中的黑色虛線框）。

圖4 模型1前兩條帶隙的上下邊界關(guān)鍵點處的模態(tài)振型圖及其關(guān)鍵點的模態(tài)示意圖

圖中表明A、C兩點在節(jié)點處的模態(tài)振動位移類似；而B、D兩點在節(jié)點處的模態(tài)振動位移類似。在B、D點的模態(tài)中，在節(jié)點處位移方向是相反的，這樣使得彈性波在每一個節(jié)點處不能前行；而在A、C點的模態(tài)中，當(dāng)彈性波傳播到節(jié)點時，會向垂直于彈性波振動的方向進(jìn)行分流，從而使得彈性波無法繼續(xù)向前傳播，產(chǎn)生帶隙。其背后的物理機(jī)理為：中心諧振子的質(zhì)量相對很大，導(dǎo)致相鄰諧振子之間的相互作用較大，外邊框的材料非常軟，所以外邊框的振動模式不同于中心諧振子，諧振子（散射體）在第1階Mie散射峰附近呈現(xiàn)出剛體共振模式，這是因為諧振子在振動中充當(dāng)了“質(zhì)量”的作用，而外邊框基體材料充當(dāng)了“彈簧”的作用。在本節(jié)的聲子晶體結(jié)構(gòu)中，諧振子的材料是高密度和高剛度的金屬鎢，但是由于四方折疊梁的設(shè)計，導(dǎo)致填充率不高。因此，在傳播過程中，縱波將轉(zhuǎn)化成橫波向前傳播，諧振子的振動模式受到外邊框振動作用和相鄰諧振子之間的相互作用，多種振動模式在單元之間的節(jié)點處發(fā)生耦合，如圖4(e)所示，所以在這些頻率處，完全帶隙被打開。

從圖2中可以看出，四方折疊梁聲子晶體的帶隙附近的頻散曲線沒有平直帶，因此該結(jié)構(gòu)不屬于典型的局域共振聲子晶體。所以，準(zhǔn)確來說，多種振動的耦合，特別是在節(jié)點處的耦合，才是打開低頻帶隙的關(guān)鍵因素。四方折疊梁的引入，很大程度上減小了整體結(jié)構(gòu)的等效剛度，而等效質(zhì)量雖然也在減少，但其帶來的影響遠(yuǎn)低于剛度的減小。這直接會導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)的共振頻率向下移動，從幾何結(jié)構(gòu)上知道，模型1的四方折疊梁的剛度比模型2低，相對應(yīng)的帶隙頻率也低于模型2的帶隙頻率。

2 二維四方折疊梁聲子晶體帶隙影響因素

2.1 幾何尺寸對帶隙的影響

本節(jié)討論模型1中四方折疊梁的尺寸對于帶隙的影響，其中晶格常數(shù)a和中心正方形諧振子的尺寸不變。在圖5(a)中，b e的比值從0.3增加到1.6，第一和第二帶隙寬度不斷減小，當(dāng)b e等于0.9時，第一帶隙消失，所以減小b的尺寸可以有效地增加低頻帶隙寬度。尺寸b是四方折疊梁的寬度，減小其尺寸可以有效地減小等效剛度，從而使得相關(guān)帶隙向低頻移動。從圖5(b)和圖5(c)中，可以看出C1和C2尺寸對于帶隙的影響具有一致性。隨著C1和C2尺寸的不斷增加，第一帶隙向低頻移動，但是第二帶隙的寬度和位置幾乎不變。從圖5(a)中看出，C1、C2尺寸對于整體結(jié)構(gòu)來說非常小，其改變不會對整體結(jié)構(gòu)的振動形式有很大的影響，對于等效質(zhì)量和等效剛度的影響也可以忽略不計，所以C1、C2對帶隙的影響非常小。

2.2 排列方式對帶隙的影響

從結(jié)構(gòu)上可以看出，二維四方折疊梁聲子晶體（模型1或者2）不是完全對稱的結(jié)構(gòu)，因此不同排列組合的模型一定會對應(yīng)不同的模態(tài)振型，本節(jié)取2×2的大原胞作為研究對象，不同的排列組合方式如圖5－圖6(a)－圖6(d)所示，這4種排列方式的通帶、帶隙分布范圍如圖5－圖7所示。A排列的大原胞具有兩條帶隙，其能帶結(jié)構(gòu)和圖5－圖3(a)一樣；B排列依然具有兩條帶隙，但是其第一帶隙的位置更低，第二帶隙的下邊界也更低；C排列在300 Hz以下的區(qū)域內(nèi)全是通帶；D排列的結(jié)構(gòu)仍然可以打開兩條帶隙，但是這兩條帶隙的位置都偏高，其寬度也比較小?？梢酝ㄟ^不同的排列組合，來調(diào)整帶隙的位置和寬度，這對于不對稱聲子晶體結(jié)構(gòu)來說，是調(diào)控帶隙的有效方法。相對于以前的研究來說[14-18]，大多數(shù)學(xué)者都集中于單個單元的幾何結(jié)構(gòu)尺寸和材料組分的研究。對于很多相類似的結(jié)構(gòu)，通過不同的排列組合打開或者關(guān)閉帶隙是一種較簡單的調(diào)控帶隙方法。

3 結(jié)語

圖5 幾何參數(shù)變化對于帶隙的影響

(1)本文提出了一種二維四方折疊梁局域共振型聲子晶體模型，對能帶結(jié)構(gòu)和帶隙關(guān)鍵點的模態(tài)位移進(jìn)行分析，詳述了帶隙背后的物理機(jī)理。其結(jié)構(gòu)多種振動的耦合，特別是在節(jié)點處的耦合作用，是打開低頻帶隙的關(guān)鍵。

圖6 二維四方折疊梁聲子晶體不同的四種排列組合形式

圖7 A、B、C和D四種排列方式所對應(yīng)的低頻帶隙分布

(2)二維四方折疊梁局域共振型聲子晶體的幾何尺寸b，即四方折疊梁的寬度，其增大可以導(dǎo)致帶隙變窄，甚至消失。折疊梁、基體材料和諧振子連接處的幾何尺寸C1和C2對于帶隙的影響具有一致性，其尺寸的增加僅僅使第一帶隙向低頻移動。不同排列組合的2×2的大原胞對應(yīng)著不同的帶隙變化規(guī)律。這種結(jié)構(gòu)設(shè)計為制備“低頻，寬帶，強(qiáng)衰減”特性的聲子晶體提供了理論依據(jù)和方法指導(dǎo)。