基于改進(jìn)復(fù)雜追蹤算法的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別

常 軍，劉 昊，尤傳雨,2，邵永亮,3

(1.蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011；2.江蘇建科工程咨詢有限公司，南京 210019；3.江蘇乾程工程技術(shù)有限公司，江蘇 無(wú)錫 214028)

模態(tài)參數(shù)識(shí)別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的核心內(nèi)容之一，如何快速準(zhǔn)確地從結(jié)構(gòu)響應(yīng)中識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)已成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。近年來(lái)，盲源分離(BSS)逐步發(fā)展為現(xiàn)代信號(hào)處理的有效工具，在通信工程、語(yǔ)音處理、圖像處理等領(lǐng)域具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值[1]。盲源分離是指在信號(hào)的理論模型和源信號(hào)無(wú)法精確獲知的情況下，如何從觀測(cè)信號(hào)中分離出各源信號(hào)的過(guò)程[2]。對(duì)于具有時(shí)序結(jié)構(gòu)的信號(hào)，傳統(tǒng)的盲源分離往往只利用信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，而忽略了信號(hào)的時(shí)序特性，因而不能充分利用信號(hào)自身特性，對(duì)信號(hào)不能較好地處理[3]。結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)是典型的時(shí)間信號(hào)，當(dāng)前盲源分離算法對(duì)響應(yīng)信號(hào)處理存在一定的限制，如獨(dú)立分量分析(ICA)算法無(wú)法有效識(shí)別高阻尼結(jié)構(gòu)[4-5]；2階盲辨別(SOBI)無(wú)法識(shí)別聚集模態(tài)等[6]。

復(fù)雜追蹤(CP)是近期發(fā)展起來(lái)的一種盲源分離技術(shù)，該方法結(jié)合了信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性和時(shí)序結(jié)構(gòu)，通過(guò)尋找合適的投影方向，使該方向投影信號(hào)的復(fù)雜度最小，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)混合信號(hào)的分離[7]?；诠潭ㄌ荻鹊膹?fù)雜追蹤算法進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)時(shí)，具有收斂速度慢，易陷入局部極值，且針對(duì)不同的模型要人為選擇合適的學(xué)習(xí)步長(zhǎng)等不足，限制了該算法的實(shí)際應(yīng)用性。Shi等人將固定點(diǎn)算法應(yīng)用于目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，簡(jiǎn)單易行，不需要用戶選擇學(xué)習(xí)率，但也存在對(duì)初始值敏感等問(wèn)題[3]。為了使算法廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)，論文對(duì)原梯度算法作出改進(jìn)，將最優(yōu)步長(zhǎng)思想引入復(fù)雜追蹤算法中，并對(duì)算法的迭代過(guò)程進(jìn)行優(yōu)化，使其收斂精度和應(yīng)用性能都有一定的提高，并將改進(jìn)算法應(yīng)用于模態(tài)參數(shù)識(shí)別領(lǐng)域。

1 復(fù)雜追蹤基本理論

1.1 復(fù)雜追蹤問(wèn)題描述

線性瞬時(shí)盲源分離模型表示為[8]

式中：t為時(shí)刻，y(t)為n個(gè)未知源信號(hào)混合而成的n維觀測(cè)信號(hào)，；A為未知的n×n維混合矩陣；x(t)為n個(gè)源信號(hào)組合而成，；

復(fù)雜追蹤的目的就是在混合矩陣A和源信號(hào)x(t)未知的情況下，尋找一個(gè)解混向量wi，使得分離成分擁有最小復(fù)雜度，即逼近最簡(jiǎn)單的源信號(hào)

1.2 目標(biāo)函數(shù)

簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)信號(hào)是零均值和單位方差的。信號(hào)y在t時(shí)刻的值由t時(shí)刻以前的值預(yù)測(cè)

其冗余項(xiàng)為

根據(jù)信息論基本原理，對(duì)冗余項(xiàng)的編碼比對(duì)信號(hào)原始值的編碼更容易，冗余的編碼長(zhǎng)度由它的熵的和來(lái)漸進(jìn)逼近。編碼復(fù)雜度可用下面的式子來(lái)近似

采用線性自回歸模型對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)，即

式中：τ表示時(shí)滯個(gè)數(shù)，α為回歸參數(shù)。則式(5)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為可以用一個(gè)以w為自變量的目標(biāo)函數(shù)作為Kolmogoroff復(fù)雜度的近似

G是可微分的函數(shù)，用以估計(jì)信號(hào)的概率密度函數(shù)。已被證實(shí)是非常有用的

1.3 梯度優(yōu)化算法

為了最優(yōu)化，公式(7)中復(fù)雜度目標(biāo)函數(shù)的逼近，A.Hyv?rinen發(fā)展了一個(gè)梯度下降方法，從時(shí)間序列中分離感興趣的成分。具體算法如下

式中：μ為每次迭代的步長(zhǎng)，g(?)為非線性函數(shù)G(?)的導(dǎo)函數(shù)。

然而因?yàn)槠涞禂?shù)是固定的，步長(zhǎng)選擇過(guò)小，會(huì)很大程度限制算法的收斂速度；步長(zhǎng)選擇過(guò)大，可能會(huì)導(dǎo)致算法不收斂的問(wèn)題[9]。針對(duì)不同的問(wèn)題，都需要人為選擇合適的學(xué)習(xí)步長(zhǎng)，這就限制了算法的有效應(yīng)用。

1.4 固定點(diǎn)優(yōu)化算法

對(duì)于復(fù)雜度目標(biāo)函數(shù)（7）的優(yōu)化問(wèn)題，可以用固定點(diǎn)算法求解，進(jìn)而使用牛頓算法進(jìn)行迭代優(yōu)化。記在約束條件∥w∥2=1的情況下，根據(jù)Kuhn-Tucker條件，(wTx(t))=E{G(wT(z(t))}滿足

其中：β為常數(shù)。下面采用牛頓法來(lái)求解此方程，得牛頓迭代算法如下

即優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)（7）的不動(dòng)點(diǎn)算法為

固定點(diǎn)算法簡(jiǎn)單易行，不需要用戶選擇學(xué)習(xí)率，并且算法具有快速收斂的性質(zhì)，然而該算法也繼承了牛頓算法的不足，比如對(duì)初始值敏感等問(wèn)題，當(dāng)分離矩陣的初始值離極值點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，算法可能出現(xiàn)不收斂的情況。

2 改進(jìn)的復(fù)雜追蹤算法

2.1 步長(zhǎng)的自適應(yīng)調(diào)整

調(diào)整步長(zhǎng)對(duì)于算法能否較快地收斂起著重要作用，也是使算法能夠更好地應(yīng)用于實(shí)際的關(guān)鍵問(wèn)題。一個(gè)有效的解決方法是采用變步長(zhǎng)算法，步長(zhǎng)的選擇根據(jù)輸入信號(hào)和混合矩陣的變化而自適應(yīng)調(diào)整。利用隨時(shí)間變化的學(xué)習(xí)速率建立步長(zhǎng)的函數(shù)，利用該函數(shù)進(jìn)行步長(zhǎng)的調(diào)整，這樣既可以加快收斂，又能保證性能的穩(wěn)定。

復(fù)雜追蹤的最終目的是找到一個(gè)最優(yōu)向量wopt,使其符合下式

對(duì)于式(9)，為了確定wopt，應(yīng)使得

令上式左邊等于dw，定義自適應(yīng)誤差函數(shù)為

隨著分離過(guò)程的進(jìn)行，ε(t)逐漸減小，其值越小，代表信號(hào)被分離的程度越高。為了加快收斂速度，第1階段用大步長(zhǎng)；在第2階段，為了提高跟蹤性能并且減小穩(wěn)態(tài)誤差，用ε(t)作為指數(shù)函數(shù)的指數(shù)部分來(lái)控制步長(zhǎng)的自適應(yīng)變換。整個(gè)過(guò)程的步長(zhǎng)公式為

式中：β為介于0和1之間的常數(shù)

2.2 非線性函數(shù)的自適應(yīng)選取

為了使算法的分離效果更好，非線性函數(shù)的選取要盡可能地和源信號(hào)的概率密度函數(shù)近似。

對(duì)于振動(dòng)信號(hào)而言，不同的阻尼參數(shù)使得信號(hào)的衰減程度不同，其統(tǒng)計(jì)分布特性也會(huì)有所不同，可能為亞高斯分布，也可能為超高斯分布。因此，如果選用固定的非線性函數(shù)，復(fù)雜追蹤算法的分離效果可能不理想。

論文在源信號(hào)分布特性未知的情況下，采用一種根據(jù)信號(hào)的峭度值來(lái)自動(dòng)選擇不同的非線性函數(shù)的方法。如下

其中：g(?)為非線性函數(shù)G(?)的導(dǎo)函數(shù)，K表示信號(hào)的峭度值。當(dāng)K所顯示時(shí)滯個(gè)數(shù)為正值，表示信號(hào)為超高斯分布信號(hào)；K為負(fù)值，表示信號(hào)為亞高斯分布信號(hào)。

3 CP識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)

由動(dòng)力學(xué)知識(shí)可知，線性振動(dòng)系統(tǒng)的自由響應(yīng)為式中：qi(t)=ai(t) sin(ωdit+θi)為正則坐標(biāo)，ωdi為有阻尼頻率，θi為相位角，對(duì)于自由響應(yīng)：ai(t)為指數(shù)衰減函數(shù) exp(-ξiwnit)，ξi、wni分別為阻尼比與固有頻率；?i為固有振型向量；n為系統(tǒng)的模態(tài)數(shù)。模態(tài)參數(shù)識(shí)別的任務(wù)就是從響應(yīng)信號(hào)x(t)中識(shí)別出振型矩陣Φ、各階頻率wi和阻尼比ξi。

對(duì)比式(1)和式(19)可得，A=Φ，s(t)=q(t)，即可以把模態(tài)響應(yīng)q(t)看作源信號(hào)，振型矩陣Φ看作源信號(hào)的混合矩陣，則結(jié)構(gòu)自振響應(yīng)信號(hào)x(t)是模態(tài)響應(yīng)q(t)經(jīng)過(guò)振型矩陣線性加權(quán)所得的混合信號(hào)（即觀測(cè)信號(hào)）[10-11]。CP識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)流程如下：

(1)通過(guò)復(fù)雜追蹤理論，得到分離矩陣W，繼而求得振型Φ=W-1；

(2)通過(guò)y(t)=Wx(t)，從結(jié)構(gòu)響應(yīng)中分離出y(t)，即模態(tài)響應(yīng)。若結(jié)構(gòu)響應(yīng)為隨機(jī)響應(yīng)，則采用相關(guān)函數(shù)法提取結(jié)構(gòu)的近似自由振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)。

(3)通過(guò)Hilbert變換便可以從模態(tài)響應(yīng)中識(shí)別出各階固有頻率和阻尼比。

4 實(shí)例分析

4.1 自由響應(yīng)下簡(jiǎn)支梁的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別

建立如圖1所示的10單元的簡(jiǎn)支梁模型，梁全長(zhǎng)為10 m，模擬簡(jiǎn)支梁的自由振動(dòng)響應(yīng)，提取各節(jié)點(diǎn)處加速度響應(yīng)，響應(yīng)信號(hào)時(shí)間長(zhǎng)度50 s，采樣頻率1 000 Hz，設(shè)置Rayleigh阻尼，1階、6階阻尼為2%，阻尼系數(shù)為α=0.5763，β=0.00007。提取結(jié)構(gòu)模型的前4階模態(tài)振型和固有頻率。

圖1 簡(jiǎn)支梁模型

分別采用基于固定梯度的復(fù)雜追蹤算法（梯度CP）、基于固定點(diǎn)的復(fù)雜追蹤算法（FastCP）和本文改進(jìn)的算法（改進(jìn)CP）對(duì)結(jié)構(gòu)的自由響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分析，分離圖形如圖2所示，模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果如表1、表2、表3所示。

對(duì)比圖2中的(b)、(c)、(d)可發(fā)現(xiàn)，梯度算法分離的信號(hào)波形圖較差，固定點(diǎn)算法和改進(jìn)后的復(fù)雜追蹤算法分離的信號(hào)波形較好。

圖2 結(jié)構(gòu)自振響應(yīng)信號(hào)分析

表3中MAC為模態(tài)置信準(zhǔn)則，其表達(dá)式為[12]

表1 簡(jiǎn)支梁模型固有頻率識(shí)別結(jié)果

表2 簡(jiǎn)支梁阻尼比識(shí)別結(jié)果

表3 簡(jiǎn)支梁振型MAC值識(shí)別結(jié)果

由表1、表2、表3可看出，改進(jìn)的復(fù)雜追蹤算法識(shí)別的頻率、阻尼和振型MAC值均優(yōu)于梯度CP和FastCP的識(shí)別結(jié)果。

簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)振型圖如圖3所示。

4.2 環(huán)境激勵(lì)下簡(jiǎn)支梁的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別

實(shí)際土木工程結(jié)構(gòu)的工作條件是隨機(jī)的環(huán)境激勵(lì)。因此，為了驗(yàn)證改進(jìn)算法應(yīng)用于實(shí)際工作結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的可能性，對(duì)模擬的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)施加高斯白噪聲(GWN)。設(shè)置Rayleigh阻尼，1階、6階阻尼為2%。提取結(jié)構(gòu)模型的前四階模態(tài)振型和固有頻率。

分別采用梯度CP、FastCP、改進(jìn)CP對(duì)結(jié)構(gòu)的自由響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分析，分離圖形如圖7所示，模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果如表4、表5、表6所示。

由圖4可看出，基于梯度的復(fù)雜追蹤算法和基于固定點(diǎn)的復(fù)雜追蹤算法分離的信號(hào)波形較差，第1階信號(hào)受到第2階次的干擾較大。

而由圖4(d)可看出，改進(jìn)的復(fù)雜追蹤算法分離的信號(hào)較為獨(dú)立，峰值較為明顯，沒(méi)有過(guò)多毛刺，表明改進(jìn)的復(fù)雜追蹤算法識(shí)別環(huán)境激勵(lì)下簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)是可行的，且效果要好于基于梯度和固定點(diǎn)的復(fù)雜追蹤算法。

圖3 三種復(fù)雜追蹤算法識(shí)別簡(jiǎn)支梁前4階振型對(duì)比圖

由表4、表5、表6可看出，改進(jìn)的復(fù)雜追蹤算法識(shí)別的頻率、阻尼和振型MAC值均優(yōu)于梯度CP和FastCP的識(shí)別結(jié)果。

復(fù)雜追蹤技術(shù)識(shí)別環(huán)境激勵(lì)下簡(jiǎn)支梁前4階振型如圖5所示。

4.3 三層框架試驗(yàn)?zāi)Ｐ头治?/h3>

建立如圖6所示的三層鋼框架結(jié)構(gòu)（第一層加入阻尼器），各層布置加速度傳感器，用以測(cè)量框架各層橫向加速度響應(yīng)時(shí)程，傳感器采樣頻率為5 128 Hz。

將該框架結(jié)構(gòu)放置在小型振動(dòng)臺(tái)上進(jìn)行脈沖試驗(yàn)，脈沖試驗(yàn)開(kāi)始前傳感器開(kāi)始采集數(shù)據(jù)記為0 s時(shí)刻，第5.85 s時(shí)開(kāi)始激勵(lì)，第20 s結(jié)束振動(dòng)，收集提取全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)。利用ABAQUS對(duì)框架進(jìn)行有限元模擬，將模態(tài)分析得到的頻率及振型作為理論值。由于峰值法(PP)是一種比較成熟的算法，因此數(shù)據(jù)處理前，先采用PP法識(shí)別該試驗(yàn)框架的模態(tài)參數(shù)，并與各種CP算法的參數(shù)識(shí)別結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。分別采用梯度CP、FastCP、改進(jìn)CP對(duì)結(jié)構(gòu)的自由響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分析，分離圖形如圖7所示。

圖4 環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)分析

表4 簡(jiǎn)支梁固有頻率識(shí)別結(jié)果

表5 簡(jiǎn)支梁阻尼比識(shí)別結(jié)果

表6 簡(jiǎn)支梁振型MAC值識(shí)別結(jié)果

圖5 三種復(fù)雜追蹤算法識(shí)別環(huán)境激勵(lì)簡(jiǎn)支梁前4階振型對(duì)比圖

對(duì)比圖7中的(b)、(c)、(d)可發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后的復(fù)雜追蹤算法分離出的各條信號(hào)峰值更為明顯，說(shuō)明各階模態(tài)響應(yīng)更為獨(dú)立。

表7和表8數(shù)據(jù)表明：（1）PP法和三種復(fù)雜追蹤算法在對(duì)頻率的識(shí)別上較為準(zhǔn)確，而改進(jìn)后的復(fù)雜追蹤算法的識(shí)別結(jié)果與理論值及PP法均更為接近；（2）結(jié)構(gòu)在施加阻尼器后具有高達(dá)17.9%的阻尼，PP法未能識(shí)別出結(jié)構(gòu)第2階阻尼，而三種復(fù)雜追蹤算法均能識(shí)別出結(jié)構(gòu)的各階阻尼，且改進(jìn)算法識(shí)別結(jié)果較好。

圖6 三層框架試驗(yàn)簡(jiǎn)化模型

表7 結(jié)構(gòu)頻率的識(shí)別結(jié)果

表8 結(jié)構(gòu)阻尼比的識(shí)別結(jié)果

將各種算法識(shí)別的振型與理論振型做相關(guān)度計(jì)算，即MAC值來(lái)判斷方法的優(yōu)劣，結(jié)果如表9所示。

圖7 結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)分析

表9 三層框架振型MAC值識(shí)別結(jié)果

從中可看出，改進(jìn)的復(fù)雜追蹤算法識(shí)別的振型MAC值均達(dá)到98%以上，且均高于梯度CP和FastCP的識(shí)別結(jié)果。

振型圖如圖8所示。

圖8 三層框架試驗(yàn)振型圖

識(shí)別結(jié)果驗(yàn)證了該算法對(duì)于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)應(yīng)用的可行性和較高的識(shí)別精度，為算法的實(shí)際應(yīng)用提供了參考依據(jù)。

5 結(jié)語(yǔ)

提出了復(fù)雜追蹤算法的改進(jìn)算法，使其能夠根據(jù)每次迭代過(guò)程的分離矩陣自適應(yīng)調(diào)整步長(zhǎng)的大小，同時(shí)根據(jù)分離出的信號(hào)峭度值自動(dòng)選擇相應(yīng)的非線性函數(shù)，使得算法的分離精度有了進(jìn)一步的提升，并能夠更好地應(yīng)用于各種模型。

（1）將改進(jìn)的復(fù)雜追蹤算法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別中，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)支梁模型進(jìn)行數(shù)值模擬，識(shí)別結(jié)果表明，改進(jìn)后算法的識(shí)別精度均得到顯著提高；在高斯白噪聲環(huán)境激勵(lì)下，本改進(jìn)CP算法對(duì)結(jié)構(gòu)的識(shí)別精度也比梯度CP和FastCP的識(shí)別結(jié)果更精確。

（2）對(duì)三層框架結(jié)構(gòu)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，并以PP法作為參考標(biāo)準(zhǔn)，識(shí)別結(jié)果表明改進(jìn)的復(fù)雜追蹤算法識(shí)別結(jié)果與PP法更為接近，在實(shí)際工程應(yīng)用中具有很高的可靠性。