機(jī)械制冷機(jī)微振動(dòng)固支測(cè)力修正

馬 軍，聶云松，閆秀榮，童衛(wèi)明

(北京空間機(jī)電研究所，北京 100094)

隨著遙感衛(wèi)星空間分辨率的提高，在軌微振動(dòng)環(huán)境成為可能影響衛(wèi)星成像質(zhì)量的因素之一[1-2]。機(jī)械制冷機(jī)工作過(guò)程中其內(nèi)部活動(dòng)部件的運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生微振動(dòng)，因此，對(duì)于采用了機(jī)械制冷機(jī)的高分辨率遙感衛(wèi)星，有必要進(jìn)行制冷機(jī)微振動(dòng)測(cè)試并基于測(cè)試結(jié)果開(kāi)展微振動(dòng)對(duì)衛(wèi)星成像質(zhì)量影響的分析。

固支測(cè)力法在機(jī)械制冷機(jī)微振動(dòng)測(cè)試中得到了廣泛應(yīng)用[3-5]，但其測(cè)試結(jié)果的工程應(yīng)用仍存在兩方面問(wèn)題：一是測(cè)試耦合了制冷機(jī)支撐結(jié)構(gòu)剛度和重量的影響，所測(cè)得的力相對(duì)制冷機(jī)實(shí)際輸出的微振動(dòng)力有誤差；二是所測(cè)得力的等效作用點(diǎn)為測(cè)力平臺(tái)上產(chǎn)品安裝面幾何中心處的一個(gè)虛點(diǎn)，使用測(cè)試結(jié)果進(jìn)行微振動(dòng)響應(yīng)分析時(shí)，載荷加載位置不明確。

對(duì)于固支測(cè)力結(jié)果工程應(yīng)用存在的問(wèn)題及其處理方法，文獻(xiàn)[5]提到了制冷機(jī)支撐工裝的剛度和質(zhì)量對(duì)測(cè)試精度存在影響，但未提出解決問(wèn)題的辦法；文獻(xiàn)[6]提出擾振響應(yīng)分析時(shí)將擾振力加載在擾振源安裝界面處，實(shí)現(xiàn)擾振源與主結(jié)構(gòu)的解耦，以得到主結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確響應(yīng)，但未給出準(zhǔn)確加載位置的確定方法，同時(shí)，該處理方法也不能獲得制冷機(jī)組件在彈性邊界條件下的響應(yīng)。國(guó)外有關(guān)制冷機(jī)微振動(dòng)的文獻(xiàn)較多，但大多是對(duì)振動(dòng)特性及振動(dòng)影響進(jìn)行研究[7-8]，未檢索到對(duì)固支測(cè)力結(jié)果存在的問(wèn)題及其處理方法有關(guān)描述的內(nèi)容。

文章基于動(dòng)力學(xué)分析提出一種機(jī)械制冷機(jī)微振動(dòng)固支測(cè)力修正方法，解決了固支測(cè)力結(jié)果工程應(yīng)用中存在的載荷值有誤差以及加載位置不明確的問(wèn)題，并結(jié)合工程實(shí)例對(duì)修正方法進(jìn)行了說(shuō)明。

1 微振動(dòng)源

機(jī)械制冷機(jī)的微振動(dòng)來(lái)源于其動(dòng)子系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，可用其動(dòng)子處離散力諧波的合成表示[4，9]，如式(1)所示

式中：Ff(t)為總的微振動(dòng)力，n是諧波總數(shù)，Afi為第i個(gè)諧波對(duì)應(yīng)的諧波幅值，ωfi是第i個(gè)諧波的圓頻率，其值為ωfi=2πfi=2πif1，f1為制冷機(jī)工作頻率；φf(shuō)i是隨機(jī)相位角，在[0,2π]之間均勻分布。

2 固支測(cè)力法

制冷機(jī)微振動(dòng)固支測(cè)力原理如圖1所示，測(cè)試時(shí)制冷機(jī)通過(guò)支撐結(jié)構(gòu)固定在測(cè)力臺(tái)安裝界面上，其微振動(dòng)力輸出等效成作用在測(cè)力臺(tái)上產(chǎn)品安裝界面幾何中心O點(diǎn)處的3個(gè)方向的微振動(dòng)力Fx、Fy、Fz以及3個(gè)方向的微振動(dòng)力矩Mx、My、Mz。

圖1 制冷機(jī)微振動(dòng)固支測(cè)力原理圖

測(cè)力臺(tái)結(jié)構(gòu)形式如圖2所示，文獻(xiàn)[10]對(duì)測(cè)力臺(tái)的工作原理進(jìn)行了描述。

圖2 微振動(dòng)測(cè)力平臺(tái)

工程應(yīng)用中，中等以上口徑的空間遙感器的基頻一般不大于100 Hz，微振動(dòng)響應(yīng)分析考慮遙感器基頻3倍頻以內(nèi)的微振動(dòng)力諧波即可。因此，制冷機(jī)微振動(dòng)固支測(cè)力結(jié)果常以300 Hz以內(nèi)制冷機(jī)工作頻率整數(shù)倍頻處3個(gè)方向微振動(dòng)力幅值和3個(gè)方向的微振動(dòng)力矩幅值的形式給出。

3 修正原理

將圖1所示的制冷機(jī)及其支撐結(jié)構(gòu)組成的制冷機(jī)組件離散化，其動(dòng)力學(xué)方程如式(2)所示

式(2)中：M0、C0、K0、{f}、{x}分別為制冷機(jī)組件的質(zhì)量陣、阻尼陣、剛度陣、載荷列陣以及節(jié)點(diǎn)位移列陣，阻尼矩陣C0為比例阻尼，即

式(3)中：α，β分別為比例系數(shù)。

將節(jié)點(diǎn)位移列陣{x}分為自由節(jié)點(diǎn)位移列陣{xr}、加載節(jié)點(diǎn)位移列陣{xf}以及約束節(jié)點(diǎn)位移列陣{xj}3部分，對(duì)應(yīng)的載荷列陣{f}也分為自由節(jié)點(diǎn)載荷列陣{fr}、加載節(jié)點(diǎn)載荷列陣{ff}以及約束節(jié)點(diǎn)載荷列陣{fj}，即

考慮式(3)、式(4)、式(5)，式(2)寫(xiě)為

約束節(jié)點(diǎn)載荷列陣{fj}寫(xiě)為

式(7)中：M0為集中質(zhì)量陣，則Mjr=0，Mjf=0；約束點(diǎn)固支，則；式(7)簡(jiǎn)化為

引入變換

式(9)中：n為自由度數(shù)，為正則化的振型向量矩陣，為模態(tài)坐標(biāo)列陣。

式(9)代入式(2)并在等式兩端左乘ФT，考慮到式(5)以及正則化振型矩陣Ф對(duì)質(zhì)量陣、比例阻尼陣以及剛度陣的正交性，式(2)可寫(xiě)為

{fr}為自由節(jié)點(diǎn)載荷列陣，故為固支狀態(tài)振型向量，則Фji={0 }，式(10)寫(xiě)為

考慮擾振力為制冷機(jī)微振動(dòng)輸出力的單個(gè)簡(jiǎn)諧分量，參考式(1),{ff}寫(xiě)為

式(12)代入式(11)，求解前p階模態(tài)坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)解，有

式(13)中Ap為幅值放大倍數(shù)矩陣，其值為

其中：

φqi為單階模態(tài)響應(yīng)與微振動(dòng)簡(jiǎn)諧分量間的相位差

式(15)、式(16)中：i=1,2,…,p。

對(duì)微振動(dòng)，模態(tài)阻尼比εi<0.005；微振動(dòng)抑制要求通過(guò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)保證微振動(dòng)各簡(jiǎn)諧分量與組件模態(tài)不出現(xiàn)共振耦合，即，可得<5.57°,因此，可認(rèn)為

式(13)簡(jiǎn)化為

根據(jù)振型疊加靜力修正法有

式(18)中

ФP=[Ф1Ф2…Фp]，KP=，[K0]-1為靜力柔度矩陣,[KP]-1為模態(tài)柔度矩陣。

將式(12)、式(17)代入式(18)，有

式(19)中：[Kf]-1為加載節(jié)點(diǎn)靜力柔度矩陣

對(duì)式(19)求導(dǎo)，有

將式(19)和式(21)代入式(8)，{fj}寫(xiě)為簡(jiǎn)諧形

式，有

式(22)中{Aj}為約束節(jié)點(diǎn)反力幅值列陣，φj為約束節(jié)點(diǎn)反力相位。考慮式(22)兩邊幅值相等，則

其中：

{Aj}向測(cè)力臺(tái)面幾何中心O點(diǎn)處等效的轉(zhuǎn)換矩陣為T0，固支測(cè)力法輸出的力幅值列陣{At}表示為

式(25)左右進(jìn)行廣義逆矩陣計(jì)算，可得

式(26)建立了固支測(cè)力法測(cè)得的微振動(dòng)力幅值列陣{At}與制冷機(jī)動(dòng)子處輸出的微振動(dòng)力幅值列陣{Af}間的聯(lián)系，可通過(guò){At}求得{Af}，將測(cè)試所得的等效在測(cè)力臺(tái)面幾何中心O點(diǎn)處的頻率為ωf的微振動(dòng)力幅值轉(zhuǎn)化為制冷機(jī)動(dòng)子處的微振動(dòng)力幅值，制冷機(jī)各倍頻處微振動(dòng)力的修正結(jié)果進(jìn)行合成即可得到其動(dòng)子處包含多次諧波成分的微振動(dòng)輸出力。

4 誤差分析

對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行修正的過(guò)程中，除計(jì)算舍入誤差外還可能引入的誤差項(xiàng)有：

(1)模態(tài)分析誤差；

(2)靜力柔度矩陣求解誤差；

(3)阻尼參數(shù)誤差；

(4)模態(tài)截?cái)嗾`差；

(5)模態(tài)坐標(biāo)求解過(guò)程中忽略模態(tài)響應(yīng)與微振動(dòng)源間相位差所帶來(lái)的誤差。

第(1)、第(2)兩項(xiàng)誤差是有限元分析過(guò)程中必然存在的誤差，可通過(guò)對(duì)被測(cè)組件進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果修正有限元模型，減小誤差；第(3)項(xiàng)誤差為參數(shù)取值誤差，可通過(guò)試驗(yàn)獲取結(jié)構(gòu)實(shí)際阻尼參數(shù)，提高參數(shù)取值精度；節(jié)點(diǎn)位移對(duì)制冷機(jī)動(dòng)子處微振動(dòng)輸出力響應(yīng)的求解采用振型疊加靜力修正法，該方法用模態(tài)截?cái)嗪笫Ｓ嗳岫鹊膫戊o態(tài)響應(yīng)替代被截?cái)嗟母唠A模態(tài)動(dòng)響應(yīng)，可通過(guò)提高截?cái)囝l率增加二者近似度以減小第(4)項(xiàng)誤差，工程實(shí)踐中可將截?cái)囝l率取至最大擾振頻率的3倍以上；第(5)項(xiàng)誤差為簡(jiǎn)化計(jì)算所帶來(lái)的誤差，其大小取決于制冷機(jī)微振動(dòng)諧波與被測(cè)試組件各階模態(tài)的共振耦合程度。

對(duì)于第(4)、第(5)兩項(xiàng)誤差，可在求得{Af}后將{Af}sinωft加載在原有限元模型上，使用通用有限元分析軟件反向求得等效在測(cè)力臺(tái)面幾何中心處的載荷振幅列陣，通過(guò)比對(duì)與{At}間的差值對(duì)誤差大小進(jìn)行確認(rèn)。

5 工程實(shí)例

某遙感衛(wèi)星上使用的機(jī)械制冷機(jī)及其支撐結(jié)構(gòu)如圖3所示。制冷機(jī)由膨脹機(jī)和壓縮機(jī)組成，微振動(dòng)主要來(lái)自于未進(jìn)行動(dòng)量平衡的膨脹機(jī)動(dòng)子處，膨脹機(jī)和壓縮機(jī)分別通過(guò)夾塊安裝在主支架上，微振動(dòng)測(cè)試時(shí)將制冷機(jī)組件通過(guò)主支架上的安裝孔固定在測(cè)力臺(tái)上。

圖3 制冷機(jī)及其支撐結(jié)構(gòu)

制冷機(jī)組件的有限元模型如圖4所示，選取與支架安裝孔位置對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)定義為約束節(jié)點(diǎn)，選取與膨脹機(jī)動(dòng)子位置對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)定義為加載節(jié)點(diǎn)。

圖4 制冷機(jī)組件有限元模型

約束節(jié)點(diǎn)所有自由度位移都取零，對(duì)制冷機(jī)組件進(jìn)行模態(tài)分析和加載點(diǎn)柔度矩陣求解?；谀B(tài)分析和加載點(diǎn)柔度矩陣求解結(jié)果，通過(guò)式(26)對(duì)固支測(cè)力結(jié)果進(jìn)行修正，修正所得微振動(dòng)力作用點(diǎn)為加載點(diǎn)，其位于膨脹機(jī)動(dòng)子處，為制冷機(jī)微振動(dòng)的實(shí)際產(chǎn)生位置。修正過(guò)程提取式(20)、式(24)中矩陣下標(biāo)所標(biāo)識(shí)的計(jì)算所需的部分質(zhì)量矩陣、部分剛度矩陣，提取制冷機(jī)組件900 Hz內(nèi)的各階模態(tài)，1階、2階模態(tài)阻尼比分別取0.002和0.003。轉(zhuǎn)換矩陣T0的求解可參照文獻(xiàn)[10]中有關(guān)測(cè)力臺(tái)標(biāo)定力向測(cè)力臺(tái)面中心等效轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化矩陣求解方法。需要注意的是，實(shí)際計(jì)算過(guò)程中微振動(dòng)力幅值列陣{Af}和約束力幅值列陣{Aj}的各分量需要區(qū)別符號(hào)的正負(fù)，其物理意義表示同一時(shí)刻各方向擾振力的振動(dòng)方向與分析坐標(biāo)系坐標(biāo)軸是否一致。

制冷機(jī)的工作頻率為54 Hz，修正前后300 Hz以內(nèi)各階微振動(dòng)力幅值如表1所示。由表1可知，對(duì)3個(gè)方向的微振動(dòng)力，制冷機(jī)工作頻率3、4、5倍頻處修正前后相對(duì)差超過(guò)都超過(guò)5%；對(duì)3個(gè)方向的微振動(dòng)力矩，制冷機(jī)工作頻率各倍頻處修正前后有都力矩相對(duì)差都超過(guò)50%。由此可見(jiàn)，制冷機(jī)支撐結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量影響了其微振動(dòng)固支測(cè)力結(jié)果的準(zhǔn)確性，固支測(cè)力結(jié)果使用前有必要對(duì)其進(jìn)行修正。

將修正所得的微振動(dòng)力加載在制冷機(jī)組件有限元模型中的制冷機(jī)動(dòng)子處，反算出制冷機(jī)組件約束反力在測(cè)試臺(tái)面幾何中心處的等效力幅值，與測(cè)得的微振動(dòng)力幅值對(duì)比如表2所示。由表2可知，制冷機(jī)工作頻率各倍頻處微振動(dòng)力振幅的反算值與測(cè)得值相對(duì)差都小于5%，第4節(jié)中所述的忽略相位差引入的誤差與模態(tài)截?cái)嘁氲恼`差之和不超過(guò)5%，修正過(guò)程所引入的這兩項(xiàng)誤差可接受。

表1 修正前后微振動(dòng)力幅值對(duì)比

表2 微振動(dòng)力振幅反算值與測(cè)得值對(duì)比

6 結(jié)語(yǔ)

本文基于動(dòng)力學(xué)分析提出一種機(jī)械制冷機(jī)微振動(dòng)固支測(cè)力修正方法，將固支測(cè)力法測(cè)得的等效作用在測(cè)力臺(tái)上產(chǎn)品安裝面幾何中心處的微振動(dòng)力幅值轉(zhuǎn)化為作用在制冷機(jī)動(dòng)子處的微振動(dòng)力幅值，形成的結(jié)論如下：

(1)修正所得的微振動(dòng)力頻譜特性反映了制冷機(jī)實(shí)際輸出的微振動(dòng)力頻譜特性，力的作用點(diǎn)為制冷機(jī)微振動(dòng)實(shí)際產(chǎn)生位置，解決了固支測(cè)力結(jié)果工程應(yīng)用中存在的載荷值有誤差以及加載位置不明確的問(wèn)題。

(2)結(jié)合模態(tài)試驗(yàn)修正制冷機(jī)組件有限元模型并確定阻尼參數(shù)，提高模態(tài)截?cái)囝l率，修正計(jì)算前確認(rèn)制冷機(jī)微振動(dòng)諧波與制冷機(jī)組件模態(tài)的耦合程度，通過(guò)修正結(jié)果反算對(duì)部分誤差項(xiàng)大小進(jìn)行確認(rèn)，這幾項(xiàng)措施都可提高修正精度，將修正過(guò)程中新引入的誤差控制在可接受范圍內(nèi)。

該修正方法的工程應(yīng)用意義在于：

(1)結(jié)合誤差控制措施，制冷機(jī)采用不同形式的結(jié)構(gòu)件固支都可通過(guò)該修正方法得到相對(duì)準(zhǔn)確的微振動(dòng)力，對(duì)制冷機(jī)微振動(dòng)固支測(cè)力過(guò)程中支撐結(jié)構(gòu)件的結(jié)構(gòu)形式和支撐剛度要求降低；

(2)使用修正結(jié)果進(jìn)行制冷機(jī)微振動(dòng)特性評(píng)估，能更準(zhǔn)確反映制冷機(jī)實(shí)際輸出的微振動(dòng)力頻譜特性；

(3)將修正所得的微振動(dòng)力加載在微振動(dòng)響應(yīng)分析有限元模型中的制冷機(jī)動(dòng)子處，能模擬出制冷機(jī)在彈性邊界條件下與主結(jié)構(gòu)的耦合作用，加載方式更準(zhǔn)確。