基于區(qū)間數(shù)判斷矩陣與模糊聚類分析的主觀群決策AHP方法

艾春安，奉非東，李 劍，劉凱旋

（火箭軍工程大學(xué) 601教研室，西安 710025）

0 引言

層次分析法（analytic hierarchy process,AHP）[1]是一種利用專家知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在對(duì)受評(píng)屬性進(jìn)行分層的基礎(chǔ)上將定性分析與定量分析相結(jié)合的主觀決策方法。因其具有系統(tǒng)性、實(shí)用性、簡(jiǎn)潔性和有效性的優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)、管理、軍事等領(lǐng)域的決策中去。為了增加決策的科學(xué)性與可信性，減小單個(gè)專家的主觀影響，實(shí)踐中往往采用群決策[2，3]方法，將多個(gè)專家的決策意見(jiàn)綜合起來(lái)，力爭(zhēng)使專家意見(jiàn)相對(duì)集中。

應(yīng)用AHP方法的關(guān)鍵在于根據(jù)受評(píng)屬性各指標(biāo)之間的相對(duì)重要程度給出科學(xué)合理的判斷矩陣。但在實(shí)際評(píng)價(jià)中，由于受專家專業(yè)、知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)以及主觀偏好的影響，加之客觀世界本身所具有的模糊性與復(fù)雜性，使得專家在指標(biāo)相對(duì)重要性判斷中往往存在一定的不確定性，無(wú)法準(zhǔn)確地用精確值給出判斷矩陣。本文給出一種新的區(qū)間數(shù)判斷矩陣構(gòu)造方法，并基于此判斷矩陣給出一個(gè)包含判斷矩陣構(gòu)造、一致性檢驗(yàn)、區(qū)間權(quán)重求解、多專家權(quán)重融合等多步驟的區(qū)間數(shù)主觀群決策方法。

1 單個(gè)專家的區(qū)間數(shù)主觀決策

1.1 區(qū)間數(shù)判斷矩陣的構(gòu)造

本文將專家對(duì)指標(biāo)相對(duì)重要性的判斷值和對(duì)該判斷的不確定度結(jié)合起來(lái)，得出一個(gè)包含專家不確定信息的區(qū)間數(shù)判斷矩陣，即：

定義1：a為正區(qū)間數(shù)，若也可以 記 作其 中表示區(qū)間中點(diǎn)表示區(qū)間半徑。則設(shè)為區(qū)間數(shù)判斷矩陣，記為：

的取值可由常規(guī)的AHP方法給出[1]，σij的取值分兩種情況給出：（1）當(dāng)大于1時(shí)，σij可由下頁(yè)表1比較標(biāo)度給出；（2）當(dāng)aˉij小于1時(shí)，由判斷矩陣的互反性可知大于1，此時(shí)可由表1給出σji，再取補(bǔ)充判斷矩陣對(duì)角線元素取值為[1,1]。由此給出的區(qū)間數(shù)判斷矩陣可保證區(qū)間中點(diǎn)矩陣為正互反判斷矩陣。同時(shí)，因?yàn)楫?dāng)大于1時(shí)，相鄰兩個(gè)重要性標(biāo)度之差均為1，而當(dāng)小于1時(shí)，所對(duì)應(yīng)的標(biāo)度相鄰值之差為又有：

表1 不確定性比較標(biāo)度

例如專家判定某關(guān)系的相對(duì)重要性為界于同等重要和稍微重要之間，不確定程度為稍微不確定，則判斷矩陣所對(duì)應(yīng)的值為對(duì)應(yīng)區(qū)間數(shù)[1 .7，2.3] ，其共軛元素為對(duì)應(yīng)區(qū)間數(shù)由此法得出的判斷矩陣既包含了專家判斷的模糊性信息，且符合人類感覺(jué)反應(yīng)量的變動(dòng)規(guī)律，同時(shí)γij值對(duì)任一重要性標(biāo)度值的作用都是相同的。

1.2 區(qū)間數(shù)判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)

本文采用一種簡(jiǎn)便可行的區(qū)間數(shù)判斷矩陣一致性檢驗(yàn)方法：

則該區(qū)間數(shù)判斷矩陣為一致性判斷矩陣。其中n為判斷矩陣階數(shù)，n＞1，RI（Random Index）為隨機(jī)一致性指數(shù)，其值僅與 n 有關(guān)[1]，λˉ為矩陣的最大特征值。由于RI取值是隨機(jī)獨(dú)立重復(fù)次地從比較標(biāo)度表中取值構(gòu)造出隨機(jī)判斷矩陣，再計(jì)算大樣本下的CI值求平均得到的，與判斷矩陣元素是區(qū)間數(shù)或精確值無(wú)關(guān)，因此式（1）中的RI可直接選用文獻(xiàn)[1]中的值。

式（1）相當(dāng)于放寬了精確值判斷矩陣的一致性條件，式（2）則表示了放寬程度的大小由區(qū)間數(shù)判斷矩陣的不確定程度決定。下面就對(duì)該一致性判定方法的合理性進(jìn)行討論：

當(dāng)σ(A)=0時(shí)：判斷矩陣退化為常值矩陣，此時(shí)式（1）即與常規(guī)AHP中的一致性檢驗(yàn)相符；

其中ωi為指標(biāo)xi的權(quán)值，且該矩陣是在完全一致判斷矩陣的元素alm上加α，使得該判斷矩陣CR值變大。由式（3）可求Aˉ的最大特征值：

即：

展開(kāi)得：

由式（4）得：

帶入式（1）左邊得：

同時(shí)，式（1）右邊最大值為：

當(dāng)式（6）=式（7）時(shí)：

在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)維數(shù)低于3時(shí)可直接通過(guò)判斷給出各屬性權(quán)重；當(dāng)維數(shù)過(guò)高時(shí)，會(huì)因同一層級(jí)的指標(biāo)數(shù)量過(guò)多而導(dǎo)致層次分析法計(jì)算量急劇加大且存在判斷混亂的可能，且科學(xué)的AHP指標(biāo)體系分層中并不會(huì)出現(xiàn)同一層指標(biāo)數(shù)超過(guò)15的情況。因此，本文給出n為3～15時(shí)的計(jì)算結(jié)果。

由圖1（見(jiàn)下頁(yè)）可以看出，α的最大取值為0.17alm，通過(guò)變動(dòng)完全一致判斷矩陣中的一個(gè)元素使得該矩陣剛好滿足式（1）要求，需要的最大調(diào)整值不超過(guò)受調(diào)元素的0.17倍，此調(diào)整幅度并未使受調(diào)判斷關(guān)系的物理意義發(fā)生違背實(shí)際的改變。

綜上可知，本文給出的區(qū)間數(shù)判斷矩陣一致性檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)是科學(xué)合理的。

1.3 區(qū)間數(shù)判斷矩陣的一致性調(diào)整

圖1 α隨n的變化結(jié)果

1.4 單個(gè)專家區(qū)間權(quán)向量的確定

得出滿足一致性要求的判斷矩陣后，可由此矩陣確定專家權(quán)重，常用的處理方法有特征根法、最小二乘法、冪法、對(duì)數(shù)最小二乘法、和法、根法等。saaty[5]在對(duì)比研究了多種求權(quán)方法后強(qiáng)調(diào)“在判斷矩陣不完全一致時(shí)，特征根法是唯一合理的求解方法”，而文獻(xiàn)[6]將特征根法推廣到了區(qū)間數(shù)判斷矩陣并給出了嚴(yán)格的證明。本文采用特征根法確定單專家權(quán)重，具體步驟如下：

步驟2：將Ax=λx分解為A-x-=λ-x-與A+x+=λ+x+，求出x-、x+。其中x為判斷矩陣A的最大特征值λ所對(duì)應(yīng)的特征向量，x、λ取值均為以x-、x+、λ-、λ+為上下界的區(qū)間數(shù)。

步驟3：該專家的區(qū)間數(shù)權(quán)向量由式（10）給出：

其中，x-與x+為歸一化向量，此時(shí)：

2 多專家權(quán)值融合

2.1 專家主觀可信度的確定

影響專家主觀可信度的因素主要有專家的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、專業(yè)水平、知識(shí)結(jié)構(gòu)、綜合能力、對(duì)受評(píng)屬性的熟悉程度、以往評(píng)價(jià)業(yè)績(jī)等[7]。參照文獻(xiàn)[7]本文選取專家的技術(shù)職稱、專業(yè)領(lǐng)域、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來(lái)作為主觀可信度的確定標(biāo)準(zhǔn)，并給出表2作為可信度量化依據(jù)。

表2 專家主觀可信度賦值依據(jù)

則專家主觀可信度向量可由下式確定：

2.2 專家客觀可信度的確定

由于本文是針對(duì)于區(qū)間數(shù)向量的模糊聚類分析，選用Chebyshev距離不僅計(jì)算簡(jiǎn)便，而且由于該距離對(duì)區(qū)間數(shù)的約束較強(qiáng)，有利于聚類目標(biāo)函數(shù)方程的收斂。

模糊c均值聚類（fuzzy c-means algorithm,FCM）是Bezdek[8]提出的用隸屬度確定每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于某個(gè)聚類的程度的一種聚類算法。此處擴(kuò)展至區(qū)間數(shù)情形，則其目標(biāo)函數(shù)為：

其中U為隸屬矩陣，uij表示第j個(gè)專家權(quán)重向量屬于第i個(gè)聚類中心的隸屬度；Vi為第i個(gè)聚類中心，取值為區(qū)間數(shù)向量；Dij為第i個(gè)聚類中心到第j個(gè)專家權(quán)向量的Chebyshev距離；c為聚類中心個(gè)數(shù)，t為專家人數(shù)，n為上文中判斷矩陣維數(shù)，m為加權(quán)指數(shù)且m＞1。

構(gòu)造Lagrangian方程求解式（12）的最小值：

對(duì)式（15）所有參數(shù)求導(dǎo)得出，若式（12）取最小值則：

至此，可以利用以上結(jié)果進(jìn)行迭代計(jì)算得出聚類中心V和隸屬度矩陣U，具體步驟如下

步驟1：對(duì)隸屬度矩陣進(jìn)行隨機(jī)初始化，使其滿足式（14）的約束條件；

步驟2：由式（16）計(jì)算出c個(gè)聚類中心V；

步驟3：由式（17）計(jì)算出新的隸屬度矩陣U；

步驟4：計(jì)算出式（12）的值，若該值與上一次循環(huán)中的值改變量小于閾值θ則結(jié)束循環(huán)，返回步驟2。

2.3 指標(biāo)權(quán)重的確定

將主觀可信度與客觀可信度進(jìn)行算數(shù)加權(quán)平均得出專家綜合可信度：

其中h用于調(diào)節(jié)的比重。而后就可將多專家的權(quán)重向量融合得出該主觀決策的指標(biāo)權(quán)重向量：

ωj為第j個(gè)專家得出的區(qū)間數(shù)權(quán)向量。

3 算例

本文以7名課題組成員對(duì)目標(biāo)“發(fā)動(dòng)機(jī)貯存年限”的指標(biāo)“安全機(jī)構(gòu)壽命”、“火工品壽命”、“推進(jìn)劑壽命”、“密封件壽命”的主觀賦權(quán)為例，說(shuō)明本文方法的可行性與實(shí)用性。

3.1 本文方法的計(jì)算

帶入式（10）得該成員的權(quán)重向量為：

同理可得其余六位成員的權(quán)重向量。

取參數(shù)m=2[9]，閾值θ=10-15進(jìn)行經(jīng)聚類分析得到四個(gè)聚類中心，對(duì)應(yīng)的隸屬度矩陣為:

得出隸屬度矩陣以后，由式（18）可計(jì)算得出7位專家的客觀可信度向量為：

該結(jié)果說(shuō)明除第7位專家外，該課題組其余6名專家對(duì)“發(fā)動(dòng)機(jī)貯存年限”的指標(biāo)賦權(quán)結(jié)果是比較統(tǒng)一的。因?yàn)槠呶徽n題組專家的技術(shù)職稱、專業(yè)領(lǐng)域、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)均非常接近，因此可以取

由式（20）可得出最終的群決策權(quán)重向量為：

3.2 與常規(guī)方法的比較

若采用以文獻(xiàn)[10]為代表的計(jì)算方法，則第一名成員的判斷矩陣就變?yōu)椋?/p>

該判斷矩陣并未包含專家的不確定信息，隨后得出的區(qū)間數(shù)判斷矩陣也僅是一種多專家信息的融合方式。

另一種較有代表性的方法是直接將標(biāo)度值以固定的區(qū)間數(shù)代替，則第一名成員的判斷矩陣變?yōu)椋?/p>

其中α為固定區(qū)間數(shù)標(biāo)度選取時(shí)評(píng)價(jià)者選用的區(qū)間半徑。該判斷矩陣所包含的一致性信息并非專家在判斷中的真實(shí)不確定度，而是評(píng)價(jià)者為專家設(shè)定的。而在多專家權(quán)重融合的方式上，若采用常規(guī)聚類分析方法，得出的隸屬度為：

此時(shí)各專家的客觀可信度

該結(jié)果與本文聚類結(jié)果有較大出入，原因是在專家數(shù)較少的情況下利用常規(guī)聚類分析得出的結(jié)果較為粗糙，而本文方法則在專家數(shù)較少的情況下也能聚類得出較為理想的效果。

由此可以看出，本文方法不但在操作上是可行的，而且在判斷矩陣構(gòu)造時(shí)既包含了專家對(duì)判斷的不確定性信息，又符合心理物理學(xué)中人對(duì)客觀變化量的感受規(guī)律。同時(shí)該方法在數(shù)據(jù)的處理上避免了因?qū)＜胰藬?shù)過(guò)少而導(dǎo)致聚類結(jié)果的粗糙。

4 結(jié)論

本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上建立了一個(gè)完整的區(qū)間數(shù)主觀群決策方法，主要得到以下結(jié)論：

（1）結(jié)合常規(guī)AHP比較標(biāo)度與本文不確定性比較標(biāo)度得出的區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣，既符合專家判斷時(shí)心理物理學(xué)定律，又使判斷矩陣包含了專家判斷的不確定信息。

（2）結(jié)合文獻(xiàn)[11]，給出了包含不確定度的區(qū)間數(shù)判斷矩陣一致性判據(jù)，分析驗(yàn)證了該判據(jù)在實(shí)踐中是合理的。并給出了新的不一致判斷矩陣的調(diào)整方法；

（3）群決策中多不同專家的可信度分為主觀可信度與客觀可信度，利用模糊c均值聚類方法可以有理有據(jù)地求出專家客觀可信度。

（4）經(jīng)算例驗(yàn)證，該方法是科學(xué)可行的，且較傳統(tǒng)區(qū)間數(shù)AHP群決策方法，其區(qū)間數(shù)判斷矩陣的構(gòu)造更加合理，多專家權(quán)重融合也更加精確。