基于分位回歸的偏最小二乘算法的應用

程 豪 ，易丹輝

（1.中國科協(xié)創(chuàng)新戰(zhàn)略研究院，北京100012；2.中國人民大學：a.統(tǒng)計咨詢研究中心；b.統(tǒng)計學院，北京100872）

0 引言

原PLS算法在外部估計和內(nèi)部估計中，利用線性回歸作為算法核心技術(shù)，完成權(quán)重迭代過程。在利用PLS算法解決二階因子模型參數(shù)估計問題時，PLS自帶的無獨立性假定、無數(shù)據(jù)分布要求、兼顧變量間關(guān)系、所有數(shù)值計算結(jié)果客觀的優(yōu)點，突破傳統(tǒng)綜合變量構(gòu)建方法的局限。但若樣本存在明確異質(zhì)性，數(shù)據(jù)存在離群點，亦或是研究主題更關(guān)注數(shù)據(jù)全貌而非平均水平，原PLS將面臨瓶頸。此時，如果考慮將樣本集劃分為幾個同質(zhì)性的子集，或預先處理離群點，亦或人為對原始數(shù)據(jù)取分位數(shù)，則會增加冗余處理環(huán)節(jié)，損失可用信息，影響研究結(jié)論。

因此，本文借助分位回歸具備容納異質(zhì)性樣本、不受極端值影響、完備展示數(shù)據(jù)全貌的優(yōu)點，拓展PLS算法的使用范疇，提高參數(shù)估計能力和診斷能力。

1 基于分位回歸的PLS算法思想

以二階因子模型為例，其表達形式如式（1）和式（2）：

式（1）為測量模型，它反映可測變量xjh與一階因子ξj間的關(guān)系。λjh是載荷系數(shù)，表示一階因子ξj對可測變量xjh的影響。εjh為第j個一階因子ξj中第h個可測變量xjh的測量誤差，均值為0，方差為δ2jh，且與一階因子ξj不相關(guān)。

式（2）為結(jié)構(gòu)模型，它反映的是一階因子ξj與二階因子η間的關(guān)系。βj是路徑系數(shù)，表示二階因子η對一階因子ξj的影響。δj為第j個一階因子ξj的測量誤差，均值為0，方差為

作為二階因子模型的參數(shù)估計算法，PLS包括外部估計、內(nèi)部估計和（內(nèi)、外部）權(quán)重更新三個環(huán)節(jié)。其中，權(quán)重更新過程的核心技術(shù)為線性回歸的普通最小二乘估計算法?；诜治换貧w的PLS算法以此為突破點，用分位回歸取代線性回歸，通過設置多個嵌套循環(huán)，完成不同分位數(shù)水平下的因子得分和系數(shù)的計算。算法步驟如下：

步驟1：初始權(quán)重ω0,tau和e0,tau設定為1；

步驟4：權(quán)重更新；

步驟4-1：設定分位數(shù)水平τ，設計嵌套循環(huán)；

步驟 4-2：可測變量數(shù)m，循環(huán)計算

步驟5：反復迭代上述步驟，直到收斂為止。

其中，收斂判斷標準為：（1）最大迭代次數(shù)為200；（2）相鄰兩次的權(quán)重估計值相差小于10-5。

2 理化指標評估中醫(yī)宗氣的模型研發(fā)

2.1 數(shù)據(jù)預處理

本文數(shù)據(jù)來自中國中醫(yī)科學院中醫(yī)基礎理論研究所、中國廣安門中醫(yī)院的中醫(yī)宗氣評估課題。該數(shù)據(jù)由59例老年組受訪者和10例青年組受試者通過可穿戴式技術(shù)，完成心率、血氧、體溫、呼吸的連續(xù)自我監(jiān)測。連續(xù)監(jiān)測時間為2013年12月5日0點0時0分到2013年12月6日23點59分59秒，兩次監(jiān)測時間間隔為幾秒。

由于受試者具體參與監(jiān)測的起始時間不同，因此該數(shù)據(jù)具有監(jiān)測次數(shù)不相同、監(jiān)測時間不齊整的特點。為了攻克這兩點局限，避免受到監(jiān)測過程中可能出現(xiàn)的異?；蝈e誤數(shù)據(jù)的干擾，保留時間因素的影響，本文提出一種數(shù)據(jù)處理思路。將數(shù)據(jù)分為上午、下午和傍晚三個時間段，分別通過不同維度反映心率、血氧、體溫、呼吸水平，比如用中位數(shù)刻畫總體水平，最小值和95%分位數(shù)刻畫極值水平，其中95%分位數(shù)取代最大值。變異水平由四分位數(shù)差刻畫，即由75%分位數(shù)和25%分位數(shù)之差刻畫對應指標的變異水平。

2.2 中醫(yī)宗氣模型設計

中醫(yī)宗氣是由水谷精微化生，聚積胸中，與呼吸之氣相合發(fā)揮作用的氣。宗氣聚于兩乳之間的膻中。走息道而行呼吸，凡語言、聲音、嗅味、呼吸皆與宗氣有關(guān)。同時還有維持氣血運行、維持心臟運動、維持肢體體溫與活動能力的作用。經(jīng)過研究，通過可穿戴式技術(shù)、受試者自測獲得的理化指標，則從心率、血氧、體溫、呼吸四個方面完成對中醫(yī)宗氣模型的設計。圖1是經(jīng)過可測變量篩選后的結(jié)果，當用這些可測變量時，可測變量與一階因子間系數(shù)（載荷系數(shù)）較為顯著且符合醫(yī)學常識。為了方便后續(xù)表述，表1給出模型中涉及變量及符號說明。

圖1 理化指標評估中醫(yī)宗氣模型

表1 中醫(yī)宗氣模型的變量對應表

3 基于分位回歸的PLS算法識別中醫(yī)宗氣模型

與原PLS相同，基于分位回歸的PLS算法包括可測變量與一階因子、一階因子與二階因子間相關(guān)系數(shù)的計算部分，通過相關(guān)系數(shù)的計算及符號的判斷，確定每一步迭代中的一階因子和二階因子的外部估計。經(jīng)過不斷的內(nèi)部調(diào)整和外部調(diào)整，更新內(nèi)生權(quán)重和外生權(quán)重，反復迭代，得到收斂的數(shù)值計算結(jié)果（路徑系數(shù)、載荷系數(shù)和因子得分）。作為重要的數(shù)值計算結(jié)果之一，路徑系數(shù)明確量化相應結(jié)構(gòu)內(nèi)部二階因子與一階因子間的關(guān)系，突顯結(jié)構(gòu)關(guān)系的全貌。通過不同階因子的排列和單向箭頭的連接，圖2展示了原PLS算法和基于分位回歸的PLS算法對中醫(yī)宗氣模型的路徑系數(shù)估計結(jié)果。

圖2 中醫(yī)宗氣模型路徑圖

基于分位回歸的PLS估計所得路徑系數(shù)在一定程度上并沒有違背原PLS揭示的規(guī)律。（1）路徑系數(shù)的正負揭示了不同模型中二階因子宗氣與一階因子間關(guān)系的正（負）向性?；诜治换貧w的PLS算法依然反映二階因子宗氣與一階因子心率、體溫和呼吸存在正向關(guān)系，與一階因子血氧存在負向關(guān)系，說明除血氧對宗氣評估的效應為負外，其余一階因子對宗氣評估的效應均表現(xiàn)為正向。（2）路徑系數(shù)的大小刻畫一階因子與二階因子間不同程度的數(shù)量關(guān)系。所有估計結(jié)果中，心率的路徑系數(shù)基本均為最大，呼吸次之，體溫次之，血氧的路徑系數(shù)為負。

不同的是，基于分位回歸的算法展示不同分位數(shù)下路徑系數(shù)的估計結(jié)果，反映數(shù)據(jù)信息全貌。（1）從低分位數(shù)到高分位數(shù)，血氧（從-0.84到-0.44）和呼吸（從0.73到1.03）的絕對路徑系數(shù)逐漸增加。（2）當分位數(shù)為0.10時，體溫的路徑系數(shù)（0.02）達到最小。說明低分位數(shù)時體溫對宗氣評估方面及在判斷受試者是否宗氣不足方面的貢獻最小。（3）當分位數(shù)為0.75時，呼吸的路徑系數(shù)（0.95）出現(xiàn)大于心率（0.92）的情況。說明下四分位數(shù)時呼吸對宗氣評估方面具有最為重要的作用，在判斷受試者是否宗氣不足方面的貢獻最大。由此可推知，在宗氣評估方面，心肺功能（心率和呼吸）起著至關(guān)重要的作用，最能反映受試者宗氣足與不足的表征規(guī)律。表2（見下頁）從中醫(yī)宗氣模型中的載荷系數(shù)進一步揭示不同分位數(shù)下變量間結(jié)構(gòu)關(guān)系全貌。

4 結(jié)論與評價

作為一種參數(shù)估計方法，基于分位回歸的PLS算法，在保留原PLS突破強獨立性假定、無數(shù)據(jù)分布要求、主觀賦權(quán)等優(yōu)點的同時，不必考慮數(shù)據(jù)是否具有異質(zhì)性，是否存在異常點的問題。在兼顧變量間的相關(guān)關(guān)系的前提下，反映不同分位點下的數(shù)據(jù)全貌和結(jié)構(gòu)關(guān)系，完整詮釋所評估主題的多層次內(nèi)涵。作為一種新的分析工具，基于分位回歸的PLS算法為用理化指標評估中醫(yī)宗氣提供可能。至此，受試者可以通過可穿戴式檢測儀器、由民眾自主測量的模式，評估一部分中醫(yī)疑難雜癥。在減輕大夫診治負擔的同時，也節(jié)約了醫(yī)療資源，提高了醫(yī)學研究效率。這種操作上的便捷性，實現(xiàn)正常民眾的提前檢測和患者的定期檢測，可以隨時跟蹤自身的健康狀況和變化趨勢，起到疾病預防和警示的作用。

表2 中醫(yī)宗氣模型的載荷系數(shù)

但是，并不是所有適用于原PLS估計的數(shù)據(jù)均可以用基于分位回歸的PLS算法來解決。當數(shù)據(jù)為分類或等級數(shù)據(jù)時，基于分位回歸的PLS算法可能出現(xiàn)無法識別的問題。經(jīng)嘗試，當變量為1～5的量表數(shù)據(jù)時，該算法無法識別低分位（分位數(shù)小于0.3）模型的參數(shù)估計?；诜治换貧w的PLS算法對數(shù)據(jù)類型的要求，是分位回歸帶來的不可避免的方法局限。