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    不同角度深入分析“恒壓半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻系統(tǒng)誤差

    2019-03-05 07:01:26北京市第九中學(xué)高中部100041錢莉莉辛采奕
    關(guān)鍵詞:電阻箱系統(tǒng)誤差恒壓

    北京市第九中學(xué)高中部(100041) 李 學(xué) 錢莉莉 辛采奕

    1 問題的提出

    “恒流半偏法與恒壓半偏法測(cè)電表內(nèi)阻的系統(tǒng)誤差分析”是一個(gè)老生常談的問題,各類文獻(xiàn)對(duì)于“恒流半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻的系統(tǒng)誤差分析的頭頭是道,清晰明了。然而,對(duì)于“恒壓半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻的系統(tǒng)誤差分析卻主要是定性分析,少有的幾篇定量分析文章或語焉不詳,一帶而過;或晦澀難懂,不明所以。

    2 “恒壓半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻的系統(tǒng)誤差分析

    “恒壓半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)原理圖一般如圖1所示。實(shí)驗(yàn)操作步驟為:首先閉合開關(guān)S2,將滑動(dòng)變阻器R0的滑片P滑到最左邊a端。然后閉合開關(guān)S1,調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器R0的滑片P的位置,使電壓表指針滿偏。保持滑動(dòng)變阻器R0的滑片P的位置不變,斷開開關(guān)S2,調(diào)節(jié)電阻箱R的阻值,使電壓表指針半偏。記下此時(shí)電阻箱R的阻值,則認(rèn)為此時(shí)電阻箱的阻值等于電壓表的內(nèi)阻RV。

    圖1 恒壓半偏法實(shí)驗(yàn)原理圖

    實(shí)驗(yàn)中認(rèn)為電壓表先滿偏再半偏是因?yàn)殡娮柘銻分走一半電壓,電阻箱R與電壓表串聯(lián),兩者電壓比1∶1,所以電阻箱R的電阻等于電壓表的內(nèi)阻RV。但是實(shí)際上,斷開開關(guān)S2,將電阻箱R與電壓表串聯(lián)后,滑動(dòng)變阻器aP間的電壓變大,電壓表半偏分得原電壓的一半,電阻箱R分得的電壓大于原電壓的一半,電阻箱R的電阻大于電壓表的內(nèi)阻RV。也就是說,實(shí)驗(yàn)中將電阻箱R與電壓表串聯(lián)后,滑動(dòng)變阻器aP間的電壓發(fā)生了變化,而不是所謂的“恒壓”,由此引入了系統(tǒng)誤差。

    設(shè)滑動(dòng)變阻器aP間的電阻為R1,Pb間的電阻為R2,總電阻R0=R1+R2,電源電動(dòng)勢(shì)為E,內(nèi)阻為r,電壓表滿偏電壓為UV,內(nèi)阻為RV,則根據(jù)閉合電路歐姆定律有:

    滿偏時(shí):

    (1)

    半偏時(shí):

    (R2+r)

    (2)

    由(1)(2)兩式得電阻箱阻值:

    (3)

    相對(duì)誤差:

    (4)

    若是運(yùn)用等效電源法,則此結(jié)果的推導(dǎo)更為簡(jiǎn)單直接,圖1所示電路可以等效為如圖2所示電路,虛線框內(nèi)的等效電源的等效內(nèi)阻為:

    (5)

    滿偏時(shí):

    (6)

    半偏時(shí):

    (7)

    由(6)(7)兩式得電阻箱阻值

    R=RV+r′

    (8)

    相對(duì)誤差:

    (9)

    運(yùn)用等效電源法的分析結(jié)果式(9)與前面分析結(jié)果式(4)保持一致,從運(yùn)算方面看更為簡(jiǎn)單直接,但是需要理解等效電源原理。

    圖2 恒壓半偏法等效電路

    3 “恒壓半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻相對(duì)誤差的不同角度分析

    相對(duì)誤差δ的表達(dá)式(4)較為復(fù)雜,從表達(dá)式可以看出,在RV確定的情況下,相對(duì)誤差δ既與滑動(dòng)變阻器的總電阻R0有關(guān),又與R1、R2有關(guān)(即與滑片P所處的位置有關(guān)),表達(dá)式不能直接顯示出相對(duì)誤差δ與電源電動(dòng)勢(shì)E的關(guān)系,但是滑片P的位置卻跟滿偏電壓UV與電源電動(dòng)勢(shì)E的比例有關(guān)。

    3.1 相對(duì)誤差δ表達(dá)式(4)的均值不等式處理

    對(duì)式(4)采用均值不等式進(jìn)行處理如下:

    (10)

    3.2 用分壓電路的分壓特性曲線分析相對(duì)誤差δ

    圖3 輸出電壓U與R1/R0的關(guān)系

    3.3 對(duì)相對(duì)誤差δ表達(dá)式(4)進(jìn)行函數(shù)處理

    相對(duì)誤差δ的表達(dá)式(4)可以變形為

    (11)

    圖4 δ關(guān)于R1的函數(shù)圖像

    4 分析結(jié)論、拓展性思考與佐證

    4.1 分析結(jié)論

    以上3種分析方法都可以得到相同的結(jié)論:要減小“恒壓半偏法”測(cè)電表內(nèi)阻相對(duì)誤差δ,首先要保證滑動(dòng)變阻器R0盡量小,在R0盡量小的前提下,還需要注意滿偏電壓UV與電源電動(dòng)勢(shì)E的比例關(guān)系,取E?UV,使滑片P趨近a端,R1→0,如圖5(a)所示;或者取E略大于UV,使滑片P趨近b端,R1→R0,如圖5(b)所示。

    (a)取E?UV,R1→0

    (b)取E≈UV,R1→R0圖5 滑動(dòng)變阻器滑片的位置

    4.2 拓展性思考

    圖5(a)與圖5(b)所示的兩種做法雖然都能更好的減小相對(duì)誤差δ,但是從功耗方面看,兩者大不一樣。顯然,圖5(a)所示做法的功耗更大,在實(shí)際實(shí)驗(yàn)時(shí)還需要注意不能超過滑動(dòng)變阻器的額定電流值,在實(shí)驗(yàn)時(shí)R1不能趨于0。

    圖6 P移至b端時(shí)的等效電路

    圖7 不使用滑動(dòng)變阻器

    4.3 高考真題佐證

    以對(duì)中學(xué)一線教學(xué)起“指揮棒”作用的高考真題來說明問題,或許更有說服力。經(jīng)過查閱統(tǒng)計(jì)2014~2018近5年的高考試題,發(fā)現(xiàn)“恒壓半偏法”共出現(xiàn)3次,分別是2014年安徽卷、2015年全國(guó)Ⅱ卷和2016年全國(guó)Ⅱ卷,具體題目如下(部分內(nèi)容有刪減)。

    (2014年安徽卷第21題)某同學(xué)為了測(cè)量一個(gè)量程為3 V的電壓表的內(nèi)阻,進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn):

    圖8 2014年安徽卷第21題電路圖

    (1)他先用多用電表進(jìn)行了正確的測(cè)量,得出電壓表內(nèi)阻為3.00×103Ω。

    (2)為了更準(zhǔn)確地測(cè)量該電壓表的內(nèi)阻RV,該同學(xué)按照正確的“半偏法”實(shí)驗(yàn)步驟,先使電壓表滿偏再半偏,將電阻箱R0的阻值記為電壓表內(nèi)阻RV的測(cè)量值。

    實(shí)驗(yàn)中可供選擇的實(shí)驗(yàn)器材有:

    a.待測(cè)電壓表

    b.滑動(dòng)變阻器:最大阻值2 000 Ω

    c.滑動(dòng)變阻器:最大阻值10 Ω

    d.電阻箱:最大阻值9 999.9 Ω,阻值最小該變量為0.1 Ω

    e.電阻箱:最大阻值999.9 Ω,阻值最小該變量為0.1 Ω

    f.電池組:電動(dòng)勢(shì)約6 V,內(nèi)阻可忽略

    g.開關(guān),導(dǎo)線若干

    按照這位同學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)方案,回答下列問題:

    (1)要使測(cè)量更精確,除了選用電池組、導(dǎo)線、開關(guān)和待測(cè)電壓表外,還應(yīng)從提供的滑動(dòng)變阻器中選用,電阻箱中選用。

    (2015年全國(guó)Ⅱ卷第23題)某同學(xué)用“半偏法”測(cè)量電壓表的內(nèi)阻,實(shí)驗(yàn)器材如下:

    圖9 2015年全國(guó)Ⅱ卷第23題電路圖

    待測(cè)電壓表V(量程3 V,內(nèi)阻約為3 000 Ω),電阻箱R0(最大阻值為99 999.9 Ω),滑動(dòng)變阻器R1(最大阻值100 Ω,額定電壓2 A),電源E(電動(dòng)勢(shì)6 V,內(nèi)阻不計(jì)),開關(guān)2個(gè),導(dǎo)線若干

    (1)將虛線框內(nèi)電路圖補(bǔ)充完整;

    (2)根據(jù)設(shè)計(jì)的電路寫出步驟;

    (3)將這種方法測(cè)出的電壓表內(nèi)阻記為R測(cè)與內(nèi)阻的真實(shí)值RV相比,R測(cè)____RV,理由是______。

    (2016年全國(guó)Ⅱ卷第23題)某同學(xué)用如圖所示電路測(cè)量量程為2.5 V的電壓表V的內(nèi)阻(內(nèi)阻為數(shù)千歐姆),可供選擇的器材有:電阻箱R(最大阻值99 999.9 Ω),滑動(dòng)變阻器R1(最大阻值50 Ω),滑動(dòng)變阻器R2(最大阻值5 kΩ),直流電源E(電動(dòng)勢(shì)3 V),開關(guān)1個(gè),導(dǎo)線若干。

    實(shí)驗(yàn)步驟如下:

    圖10 2016年全國(guó)Ⅱ卷第23題電路圖

    (1)按電路原理圖連接線路;

    (2)將電阻箱阻值調(diào)節(jié)為0,將滑動(dòng)變阻器的滑片移到與圖中最左端所對(duì)應(yīng)的位置,閉合開關(guān)S;

    (3)調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器使電壓表滿偏;

    (4)保持滑動(dòng)變阻器的滑片位置不變,調(diào)節(jié)電阻箱阻值,使電壓表的示數(shù)為2.00 V,記下電阻箱的阻值。

    回答下列問題:

    (1)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)選擇滑動(dòng)變阻器________;

    (2)根據(jù)圖示電路連線實(shí)物圖;

    (3)實(shí)驗(yàn)步驟(4)中記錄的電阻箱阻值為630.0 Ω,若認(rèn)為調(diào)節(jié)電阻箱時(shí)滑動(dòng)變阻器上的分壓不變,計(jì)算可得電壓表的內(nèi)阻為________Ω。

    縱觀以上3道高考真題,2014年安徽卷第21題與2015年全國(guó)Ⅱ卷第23題都通過比較電壓表內(nèi)阻的測(cè)量值R測(cè)和真實(shí)值R真的大小,定性考查了“恒壓半偏法”的系統(tǒng)誤差,2014年安徽卷第21題還通過選擇不同阻值的滑動(dòng)變阻器考查了如何減小“恒壓半偏法”的系統(tǒng)誤差。需要指出的是這兩道題使用的實(shí)驗(yàn)器材都是量程為3 V的電壓表和電動(dòng)勢(shì)約6 V內(nèi)阻可忽略的電源,沒有避開E≈2UV的比例關(guān)系,由前面分析可知,此種情況下的相對(duì)誤差是滑動(dòng)變阻器確定條件下的最大值,兩題的相對(duì)誤差分別為0.08%和0.83%(兩題只有滑動(dòng)變阻器最大阻值相差10倍,最大相對(duì)誤差相差10倍),雖然相對(duì)誤差都比較小,但是兩題給出的電源內(nèi)阻都忽略不計(jì),如果采用“直連法”則兩題相對(duì)誤差都為0。2016年全國(guó)Ⅱ卷第23題改用“恒壓五分之四偏法”,其系統(tǒng)誤差與“恒壓半偏法”保持一致,本題同樣通過選擇不同阻值的滑動(dòng)變阻器考查了如何減小系統(tǒng)誤差。有意思的是,2016年全國(guó)Ⅱ卷第23題使用的實(shí)驗(yàn)器材改為量程2.5 V的電壓表和電動(dòng)勢(shì)3 V的電源,相比前兩題,既避開了E≈2UV的比例關(guān)系,又不提電源內(nèi)電阻,避開了與“直連法”孰優(yōu)孰劣的爭(zhēng)議。

    綜上可知,從實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差的角度看,“直連法”比“恒壓半偏法”的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差更??;從實(shí)驗(yàn)電路的復(fù)雜性看,“直連法”實(shí)驗(yàn)電路更加簡(jiǎn)單,實(shí)驗(yàn)誤差分析更為方便,功耗更小。但是,“恒壓半偏法”因?yàn)榕c“恒流半偏法”相對(duì)應(yīng),能對(duì)比學(xué)習(xí)“恒流半偏法”,能更好的幫助學(xué)生理解“限流”與“分壓”電路,所以在一線教學(xué)中幾乎是必講內(nèi)容,在各類教輔資料中更是頻頻出現(xiàn),而電路簡(jiǎn)單測(cè)量誤差又小的“直連法”反而出現(xiàn)頻次較低,容易被忽視,理應(yīng)引起一線教師的注意。

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