基于AVSIMM算法的高超聲速再入滑翔目標(biāo)跟蹤

肖楚晗， 李炯， 雷虎民， 王華吉

(1. 空軍工程大學(xué) 研究生學(xué)院， 西安 710051; 2. 空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院， 西安 710051)

近年來，臨近空間高超聲速飛行器的快速發(fā)展對中國的空天防御安全構(gòu)成了極大的威脅，開展針對此類高速目標(biāo)的攔截策略研究迫在眉睫[1]。與傳統(tǒng)的飛機(jī)類目標(biāo)以及彈道類目標(biāo)不同，高超聲速再入滑翔式飛行器(Hypersonic Reentry-Glide Vehicle, HRGV)具有高機(jī)動、高速、打擊范圍廣等特點，現(xiàn)階段幾乎無防御系統(tǒng)能夠完成對其的攔截任務(wù)，故研究HRGV對中國的國防事業(yè)有著重大意義。

HRGV的機(jī)動范圍在距地面20～60 km、空氣稀薄的臨近空間內(nèi)，飛行速度極快，與大氣相互作用形成等離子鞘套并產(chǎn)生湍流尾跡等特殊的電磁/光學(xué)現(xiàn)象，對攔截方的探測預(yù)警系統(tǒng)的要求極高[1-2]，高超聲速目標(biāo)的跟蹤難度大。但同時熱流、動壓、過載等硬性條件將高超目標(biāo)的機(jī)動限制在一定范圍內(nèi)[3-5]，且高超聲速滑翔式目標(biāo)的機(jī)動能力有限。這些限制都為高超聲速目標(biāo)的跟蹤提供了基礎(chǔ)。HRGV的典型代表是美國軍隊研制的高超聲速技術(shù)飛行器(Hypersonic Technology Vehicle,HTV-2)和先進(jìn)高超聲速武器(Advanced Hypersonic Weapon, AHW)，其中AHW因其外形結(jié)構(gòu)更適合有效負(fù)載，實用性更高。本文以AHW為研究對象展開討論。

高超聲速目標(biāo)的運(yùn)動模式多變，運(yùn)動模式與跟蹤模型難以匹配，且目標(biāo)運(yùn)動速度快、范圍大，因此對目標(biāo)的跟蹤精度難以滿足攔截方的要求。為了提高跟蹤精度，國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)主要圍繞跟蹤方法與目標(biāo)運(yùn)動模型展開研究。

在目標(biāo)運(yùn)動模型方面，文獻(xiàn)[6]針對作周期性的滑躍機(jī)動的臨近空間高超聲速目標(biāo)，設(shè)計了一種運(yùn)動學(xué)模型，該模型將加速度建模為正弦波自相關(guān)的零均值隨機(jī)過程。文獻(xiàn)[7]基于“當(dāng)前”統(tǒng)計模型的思想，提出了一種可實時修正轉(zhuǎn)彎角速度的交互式多模型(IMM)算法，用于高超聲速目標(biāo)跟蹤。但以上研究采用了較為單一的模型進(jìn)行目標(biāo)跟蹤，無法完全覆蓋高超聲速目標(biāo)的機(jī)動模式，故多采用多模型對高超目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。文獻(xiàn)[8-9]將白噪聲模型(如常速(CV)模型、常加速度(CA)模型)與Morkov過程模型(如Singer模型)相結(jié)合，提出了基于CV-CA-Singer的IMM算法，分別對X-51飛行器的平飛加速巡航和俯沖攻擊段以及滑躍式機(jī)動飛行的高超聲速目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。文獻(xiàn)[10]則在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上針對滑躍式機(jī)動的高超聲速目標(biāo)，將正弦波模型與CV[11]、CA[12-13]模型組成IMM算法。

然而若采用固定結(jié)構(gòu)的交互式多模型(FSIMM)算法，模型集中很多模型在特定的時間內(nèi)與系統(tǒng)的有效模式差別較大，且這些“多余”模型的不必要的競爭降低了跟蹤精度[14]，對跟蹤模型數(shù)量和類型的綜合選取限制了FSIMM算法的應(yīng)用。為此，國外學(xué)者提出了基于變結(jié)構(gòu)的多模型估計(VSMM)理論的跟蹤方法，以突破FSIMM算法的局限性并提高了跟蹤算法的精度。其中，文獻(xiàn)[15]提出了3種模型集自適應(yīng)方法：激活有向圖(AD)方法，自適應(yīng)網(wǎng)格(AG)方法，有向圖切換(DS)方法。文獻(xiàn)[16]基于DS方法利用加速度與角速度為模型的參數(shù)，同時依據(jù)模型的后驗概率對子模型實時地進(jìn)行調(diào)整，從而實現(xiàn)模型集自適應(yīng)的變結(jié)構(gòu)算法。但模型可跳轉(zhuǎn)的模式是有限的，即有向圖結(jié)構(gòu)是固定，算法的自適應(yīng)程度受限于有向圖結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度。與文獻(xiàn)[16]相比，文獻(xiàn)[17-19]均增強(qiáng)了算法的自適應(yīng)性，并選取角速度為模型參數(shù)。其中，文獻(xiàn)[17]提出了利用自適應(yīng)網(wǎng)格交互式多模型(AGIMM)算法跟蹤高機(jī)動模型。文獻(xiàn)[18]則借鑒了文獻(xiàn)[17]的思想，將AGIMM算法運(yùn)用到對臨近空間高超聲速目標(biāo)的跟蹤，通過轉(zhuǎn)彎角速度自適應(yīng)，結(jié)合了多模型粒子濾波算法，調(diào)整模型集中3個模型的參數(shù)，從而完成濾波跟蹤算法的自適應(yīng)。文獻(xiàn)[19]基于有向圖的切換，根據(jù)卡爾曼濾波公式，提出了一種角速度濾波方法，并根據(jù)角速度的估計值修正有向圖。但文獻(xiàn)[17-19]的算法中均存在運(yùn)動學(xué)濾波模型較為單一，無法完全覆蓋所有機(jī)動模式的不足。AGIMM算法中每個模型的運(yùn)動學(xué)跟蹤模型始終采用的是勻速轉(zhuǎn)彎(CT[20])模型，然而當(dāng)轉(zhuǎn)彎角速率很小，接近于0時，可將目標(biāo)運(yùn)動近似為直線運(yùn)動，此時，若仍然只采用CT模型為跟蹤系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)模型進(jìn)行濾波，則會對濾波精度造成影響。針對上述AGIMM算法運(yùn)動學(xué)模型單一，無法適用于所有運(yùn)動模式的問題，本文提出了一種自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)交互多式模型(AVSIMM)算法跟蹤高超聲速目標(biāo)，同時選擇更優(yōu)的跟蹤運(yùn)動模型并進(jìn)行比較，通過對濾波算法與跟蹤模型的雙重自適應(yīng)調(diào)整，最終改善了目標(biāo)跟蹤算法的跟蹤性能。

1 高超聲速目標(biāo)運(yùn)動學(xué)模型

高超聲速飛行器在縱向平面內(nèi)發(fā)生機(jī)動時，描述其運(yùn)動的狀態(tài)方程的形式為

X(k+1)=F(k)X(k)+Γ(k)w(k)

(1)

此時當(dāng)系統(tǒng)采用常速(CV)模型和勻速轉(zhuǎn)彎(CT)模型進(jìn)行目標(biāo)跟蹤時，假設(shè)系統(tǒng)的采樣時間間隔為T，目標(biāo)的轉(zhuǎn)彎角速度為ω，則系統(tǒng)的離散化狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(2)

FCT2=

(3)

(4)

(5)

式中：α為機(jī)動時間常數(shù)的倒數(shù)，而機(jī)動時間常數(shù)又與目標(biāo)的機(jī)動時間持續(xù)的長短有關(guān)。

2 AVSIMM算法

為解決AGIMM算法中運(yùn)動學(xué)濾波模型單一的問題，考慮添加CV、CA、Singer等運(yùn)動學(xué)模型，用于描述直線運(yùn)動的模型作為系統(tǒng)的。但在直接增添運(yùn)動學(xué)模型的同時，會增加模型集中的模型數(shù)量，進(jìn)而加強(qiáng)模型之間的競爭關(guān)系，降低跟蹤精度，故設(shè)計了一種AVSIMM算法：設(shè)置一個合適的門限值，當(dāng)濾波更新得到的角速度值小于門限值時，自適應(yīng)選擇跟蹤系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)模型為CV、CA或Singer模型。至此，在模型集參數(shù)自適應(yīng)的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)了算法結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)。

(6)

在每個循環(huán)時間步長(k→k+1)內(nèi)，模型集按照以下步驟進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：t2為檢測閾值。

(12)

(13)

步驟3k時刻誤差協(xié)方差矩陣與狀態(tài)估計值融合。

狀態(tài)與誤差協(xié)方差矩陣采用的是交互式多模型算法，具體過程如下：

(14)

2)k時刻每個模型的狀態(tài)估計和誤差協(xié)方差矩陣初始化

(15)

(16)

步驟4更新狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Fk+1。

步驟5擴(kuò)展卡爾曼濾波。

系統(tǒng)的狀態(tài)與誤差協(xié)方差估計為

(17)

(18)

系統(tǒng)的量測預(yù)測為

(19)

量測矩陣的雅可比矩陣為

(20)

新息協(xié)方差矩陣為

(21)

量測一步預(yù)測為

(22)

狀態(tài)與誤差協(xié)方差估計為

(23)

(24)

式中：i=1,2,…,r，代表模型集中的第i個模型。

步驟6k+1時刻誤差協(xié)方差矩陣與狀態(tài)估計值融合。

1) 模型似然函數(shù)更新：

i=1,2,…,r

(25)

2) 模型概率更新：

(26)

3) 誤差協(xié)方差矩陣與狀態(tài)估計值融合：

(27)

(28)

AVSIMM算法采用了直線運(yùn)動模型與協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎模型自適應(yīng)，與AGIMM算法相比，轉(zhuǎn)彎協(xié)調(diào)模型仍采用CT模型，而在描述直線運(yùn)動時，可選擇CV、CA、Singer模型。

Singer模型是一個Markov過程模型，通過選擇Singer模型中的參數(shù)0<αT<∞，能夠使Singer模型介于CV模型和CA模型之間，較之二者，Singer模型具有更寬的覆蓋面[14]。同時，在關(guān)于目標(biāo)機(jī)動的在線信息不足或不準(zhǔn)確的情況下，相比較CV、CA模型，Singer模型是最理想的模型。

下文將把基于CT、Singer模型的AVSIMMⅠ算法與基于CT、CV模型的AVSIMMⅡ算法以及文獻(xiàn)[18]中只基于CT模型的AGIMM算法的仿真結(jié)果進(jìn)行比較。同時，考慮到臨近空間高超聲速目標(biāo)與普通高機(jī)動目標(biāo)存在一定的差異性，而本文設(shè)計的方法的理論基礎(chǔ)不是針對的臨近空間目標(biāo)的，故為了體現(xiàn)設(shè)計方法的性能，還將與文獻(xiàn)[10]中針對臨近空間高超聲速目標(biāo)提出的IMM算法作比較。

3 算法對比與仿真

本文以跟蹤臨近空間高超聲速再入滑翔彈AHW為研究背景。因現(xiàn)階段無AHW的真實實驗數(shù)據(jù)，故利用通用飛行器(Common Aerial Vehicle, CAV)模型[22]作為參考，結(jié)合基本的動力學(xué)方程，利用GPOPS[23]軟件近似模擬為AHW的機(jī)動軌跡?？紤]到AHW主要是在縱向平面內(nèi)大范圍的跳躍機(jī)動，本文針對該機(jī)動方式研究平面內(nèi)的目標(biāo)跟蹤問題[16,24-25]。同時考慮到假設(shè)在縱向二維平面內(nèi)對高超聲速飛行器進(jìn)行跟蹤，設(shè)目標(biāo)在(1 500,60) km處開始機(jī)動，仿真得到目標(biāo)的真實軌跡如圖1所示。

在二維平面內(nèi)，設(shè)機(jī)動目標(biāo)與基站的相對位置關(guān)系如圖1所示。圖中d為目標(biāo)與基站之間的相對距離，φ為目標(biāo)俯仰角，規(guī)定逆時針為正。故可得高超聲速模型的量測方程為

(29)

離散化得

zk=h(xk+1)+Vk+1

(30)

式中：

(31)

(32)

目標(biāo)在(1 500,60) km處開始機(jī)動，其真實軌跡如圖2所示。

圖1 AHW目標(biāo)與基站相對位置示意圖Fig.1 Schematic diagram of relative position of AHW target to base station

圖2 目標(biāo)運(yùn)動真實軌跡Fig.2 True trajectory of target moving

設(shè)定觀測基站坐標(biāo)為(0,0)，跟蹤時間為277 s，采樣周期為T=0.5 s，量測距離標(biāo)準(zhǔn)差為50 m，俯仰角的標(biāo)準(zhǔn)差為0.05°，即量測協(xié)方差矩陣為diag(0.05 km,0.05π/180 rad)。同時，考慮到EKF算法的局限性，所有的位置、速度、加速度單位均為km、km/s、km/s2。

4種算法中，每個模型集包含3個模型，設(shè)定初始時刻3個模型的初始概率為[0.01,0.98,0.01]T。初始模型轉(zhuǎn)移概率矩陣為

(33)

跟蹤目標(biāo)的位置和速度的均方根誤差(RMSE)的計算公式為

(34)

(35)

3.1 跟蹤軌跡對比

根據(jù)以上設(shè)定的仿真條件，考慮到觀測矩陣的非線性性，利用EKF算法得到基于AVSIMMⅠ算法、AVSIMMⅡ算法、AGIMM算法、IMM算法的目標(biāo)跟蹤軌跡。進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真，結(jié)合跟蹤目標(biāo)的真實運(yùn)動軌跡，得到對比如圖3所示。

由圖3易知，4種算法都能夠?qū)崿F(xiàn)對臨近空間高超聲速目標(biāo)的有效跟蹤。為了完成對4種算法的進(jìn)一步比較，下面將對4種算法的速度誤差、位置誤差、速度均方根誤差以及位置均方根誤差的比較進(jìn)行具體討論與分析。

圖3 目標(biāo)真實軌跡與4種算法估計軌跡Fig.3 True trajectory of target and estimation trajectories in four algorithms

3.2 位置與速度的估計誤差結(jié)果對比

基于AVSIMMⅠ算法、AVSIMMⅡ算法、AGIMM算法以及IMM算法對目標(biāo)位置的估計誤差如圖4所示，速度誤差估計如圖5所示。

結(jié)合表1和圖4可知，AVSIMM算法中x方向與y方向的位置誤差要小于AGIMM算法與IMM算法中x方向與y方向的位置誤差。由表1與圖5可知，AVSIMM算法x方向與y方向的速度誤差要小于AGIMM算法的x方向與y方向的速度誤差，而AGIMM算法在x方向上的速度誤差大于IMM算法，而其在y方向上的速度誤差則小于IMM算法。而結(jié)合表1與圖4、圖5比較AVSIMMⅠ算法與AVSIMMⅡ算法的位置與速度誤差可知，前者的速度與位置誤差均小于后者。綜上，AVSIMMⅠ算法的速度與位置誤差最小，跟蹤性能最優(yōu)。

根據(jù)式(34)，可以得到基于AVSIMMⅠ、AVSIMMⅡ、AGIMM算法以及IMM算法的目標(biāo)位置跟蹤的均方根誤差(RMSE)，如圖6所示。

根據(jù)式(35)，可以得到基于AVSIMMⅠ、AVSIMMⅡ、AGIMM算法、IMM算法的目標(biāo)速度跟蹤的RMSE，如圖7所示。

圖4 目標(biāo)跟蹤位置誤差Fig.4 Position error of target tracking

圖5 目標(biāo)速度誤差Fig.5 Velocity error of target tracking

表1 位置、速度估計誤差絕對值之和Table 1 Sum of absolute value of position and velocity estimation error

圖6 位置均方根誤差Fig.6 Root mean square error of position

結(jié)合表2與圖6可知，AVSIMM算法的位置均方根誤差要小于AGIMM算法，而AGIMM算法的位置均方根誤差則小于IMM算法，結(jié)合表2與圖7可知，AVSIMM算法與AGIMM算法、IMM算法相比，AVSIMM算法的速度均方根誤差更小。同時由表2與圖6、圖7可知，AVSIMMⅠ算法的位置均方根誤差與速度均方根誤差均小于與AVSIMMⅡ算法。同時由表2易知，AVSIMM算法仿真的時長雖略長于AGIMM算法，但AVSIMM算法的速度與位置均方根誤差更小，且IMM算法的仿真時間最長，故AVSIMM算法在單位時間內(nèi)的跟蹤效率更高,實用性更強(qiáng)。同樣的，AVSIMMⅠ算法的跟蹤效率高于AVSIMMⅡ算法。

圖7 速度均方根誤差Fig.7 Root mean square error of velocity

表2 位置、速度均方根誤差之和及仿真時間Table 2 Sum of root mean square error of position and velocity and simulation time

4 結(jié) 論

本文設(shè)計了一種同時具有結(jié)構(gòu)與參數(shù)自適應(yīng)的交互式多模型的高精度濾波算法，研究了對臨近空間高超聲速再入滑翔目標(biāo)的跟蹤問題。

通過仿真結(jié)果可以得到如下結(jié)論：

1) AVSIMM算法在算法結(jié)構(gòu)上明顯優(yōu)于AGIMM算法與文獻(xiàn)[10]中設(shè)計的針對臨近空間高超聲速目標(biāo)的IMM算法。

2) AVSIMMⅠ算法在運(yùn)動學(xué)模型上明顯優(yōu)于AVSIMMⅡ算法。故設(shè)計的2種AVSIMM算法中，AVSIMMⅠ算法的跟蹤效果最佳。

本文算法重點討論了對高超聲速目標(biāo)的跟蹤情況，但考慮到目標(biāo)的加速度氣動參數(shù)信息也與目標(biāo)機(jī)動情況緊密相關(guān)，故下一步工作考慮將加速度與氣動參數(shù)擴(kuò)維到狀態(tài)向量中進(jìn)行濾波算法設(shè)計。