具有初始熱變形的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)分析

馬艷紅， 劉海舟， 鄧旺群， 楊海， 洪杰,*

(1. 北京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 北京 100083； 2. 先進(jìn)航空發(fā)動(dòng)機(jī)協(xié)同創(chuàng)新中心， 北京 100083；3. 中國航發(fā)湖南航空動(dòng)力機(jī)械研究所， 株洲 412002； 4. 航空發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)技術(shù)航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 株洲 412002)

隨著航空發(fā)動(dòng)機(jī)向高負(fù)荷、輕質(zhì)化的方向發(fā)展，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)問題越來越突出。當(dāng)這類發(fā)動(dòng)機(jī)停車后再次起動(dòng)(即熱起動(dòng))時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)的溫度分布不均會(huì)使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生初始熱變形，進(jìn)而使轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)一步惡化，甚至導(dǎo)致發(fā)動(dòng)機(jī)起動(dòng)失敗。事實(shí)上，國內(nèi)外對發(fā)動(dòng)機(jī)在熱起動(dòng)過程中由初始熱變形引起的振動(dòng)過大的故障屢有報(bào)道。朱梓根和晏礪堂[1]對某渦槳發(fā)動(dòng)機(jī)在熱起動(dòng)過程中出現(xiàn)較大的振動(dòng)響應(yīng)，甚至引起轉(zhuǎn)靜子碰摩故障的現(xiàn)象進(jìn)行了研究。張連祥等[2-3]對某渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)在熱起動(dòng)過程中振動(dòng)過大的原因進(jìn)行了分析。Marinescu[4]與Baldassarre[5]等發(fā)現(xiàn)，當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)熱起動(dòng)時(shí)，軸承上會(huì)出現(xiàn)較大的動(dòng)載荷。因此，準(zhǔn)確描述和分析初始熱變形對轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的影響具有重要的工程意義。

在早期研究中，關(guān)于初始熱變形對轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)影響的研究多以轉(zhuǎn)軸初始熱彎曲為重點(diǎn)，并以簡單轉(zhuǎn)子模型為對象開展理論分析。Nicholas等[6-7]通過Jeffcott轉(zhuǎn)子模型，從幅值和相位的角度詳細(xì)分析了轉(zhuǎn)軸初始彎曲對其不平衡響應(yīng)的影響規(guī)律，并提出了相應(yīng)的平衡方法。Shiau和Lee[8]在Nicholas等[6-7]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善，考慮了轉(zhuǎn)軸初始彎曲對轉(zhuǎn)子在初始不平衡和輪盤初始傾斜下響應(yīng)的影響。近年來，研究對象逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)際的、較為復(fù)雜的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，但對初始熱變形影響的研究仍以轉(zhuǎn)軸初始熱彎曲為主。Pennacchi等[9-10]通過對轉(zhuǎn)子施加與轉(zhuǎn)速同步旋轉(zhuǎn)的彎曲力矩，研究了帶有初始熱彎曲的轉(zhuǎn)子的故障診斷方法，并以實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)故障為例，驗(yàn)證了診斷方法的可行性。Sanches和Pederiva[11]也進(jìn)行了相似的研究，他們對同時(shí)帶有不平衡量和初始彎曲的轉(zhuǎn)子的診斷方法進(jìn)行了研究，認(rèn)為初始彎曲對轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性的影響可通過與轉(zhuǎn)速同步旋轉(zhuǎn)的激振力來等效。任平珍等[12-13]利用傳遞矩陣的方法推導(dǎo)了具有熱彎曲的轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算方法，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比分析。袁慧群等[14-15]通過有限元法，計(jì)算了某高壓轉(zhuǎn)子停車后不同時(shí)刻的溫度分布、熱應(yīng)力及熱變形，并據(jù)此計(jì)算轉(zhuǎn)子的等效熱彎矩來模擬熱彎曲對轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的影響。

上述文獻(xiàn)針對初始熱變形引起的轉(zhuǎn)軸初始彎曲對轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的影響進(jìn)行了深入的研究，但這些研究沒有考慮轉(zhuǎn)子初始熱變形引起的構(gòu)件質(zhì)心變化。此外，針對初始熱變形對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律也缺乏詳細(xì)研究。本文考慮了初始熱變形引起的轉(zhuǎn)子構(gòu)件的質(zhì)心變化，并根據(jù)初始熱變形對轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的作用效果，建立了相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程。通過對方程進(jìn)行模態(tài)坐標(biāo)變換，分析了初始熱變形對轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律。

1 初始熱變形轉(zhuǎn)子及其動(dòng)力學(xué)方程

1.1 熱狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子變形

航空發(fā)動(dòng)機(jī)停車后，雖然在流道內(nèi)可以采取強(qiáng)制換熱措施，但是在轉(zhuǎn)子盤-軸結(jié)構(gòu)上仍會(huì)有不均勻的溫度分布，其典型分布如圖1所示。圖中以轉(zhuǎn)子左端下表面的溫度為基準(zhǔn)，對溫度分布進(jìn)行了無量綱化。轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的溫度分布為渦輪段高于壓氣機(jī)段，截面上下兩端的溫度梯度由于與實(shí)際的材料、構(gòu)形和連接界面等因素有關(guān)，并無顯著規(guī)律。

圖1 發(fā)動(dòng)機(jī)停車后轉(zhuǎn)子溫度分布示意圖Fig.1 Schematic of rotor temperature distribution after engine shutdown

圖2 轉(zhuǎn)子微元體熱彎曲Fig.2 Thermal bow of a rotor element

假設(shè)轉(zhuǎn)子完全冷卻后的溫度為T0，當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行熱起動(dòng)時(shí)，由于溫度在徑向上分布不均，轉(zhuǎn)子截面上端的溫度T1與下端的溫度T2并不相同，如圖2所示。假設(shè)截面溫度在豎直方向上滿足線性分布(線性分布假設(shè)只是為了便于說明溫度分布對轉(zhuǎn)子彎曲變形的影響，并不一定與實(shí)際情況相同)，并設(shè)轉(zhuǎn)子微元體的轉(zhuǎn)角為φ，則由幾何關(guān)系可得

hdφ=α(T2-T0)dx-α(T1-T0)dx

(1)

移項(xiàng)得

(2)

式中：α為材料線膨脹系數(shù)；h為轉(zhuǎn)子截面高度。式(2)說明，轉(zhuǎn)子截面徑向的溫度梯度通過影響截面的軸向變形使轉(zhuǎn)子發(fā)生彎曲變形，且溫度梯度越大，轉(zhuǎn)子的彎曲變形越嚴(yán)重。此外，變形還與結(jié)構(gòu)的材料、尺寸等因素有關(guān)。

轉(zhuǎn)子截面上的溫度梯度還會(huì)使截面的徑向變形產(chǎn)生差異，進(jìn)而使其形心偏移。如圖3所示，由于轉(zhuǎn)軸和輪盤的結(jié)構(gòu)特征、材料熱膨脹系數(shù)以及連接界面的影響，當(dāng)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生初始熱變形后，輪盤的質(zhì)心不一定與轉(zhuǎn)軸形心線重合，因此，初始熱變形后的輪盤會(huì)產(chǎn)生附加質(zhì)心偏移量δ。

設(shè)輪盤截面上、下端的位移分別為yd,u、yd,l，轉(zhuǎn)軸截面上、下端的位移分別為ys,u、ys,l，則輪盤和轉(zhuǎn)軸的中心近似為(yd,u+yd,l)/2和(ys,u+ys,l)/2，因此，輪盤的質(zhì)心偏移量近似為

(3)

圖3 輪盤質(zhì)心偏移Fig.3 Eccentricity of center of mass of a disk

同樣，由于轉(zhuǎn)軸和輪盤的結(jié)構(gòu)特征、材料熱膨脹系數(shù)以及連接界面的影響，當(dāng)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生初始熱變形后，輪盤中心線不一定與轉(zhuǎn)軸形心線在輪盤處的切線重合，因此，初始熱變形后的輪盤還將產(chǎn)生初始傾斜量τ，如圖4所示。

由上述分析可知，轉(zhuǎn)子溫度分布不均引起的轉(zhuǎn)子初始熱變形主要有3類：轉(zhuǎn)軸彎曲變形、輪盤質(zhì)心相對旋轉(zhuǎn)中心線偏移、輪盤中心線相對旋轉(zhuǎn)中心線偏移。

圖4 輪盤初始傾斜Fig.4 Initial skewness of a disk

1.2 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程

通過有限元法對轉(zhuǎn)子進(jìn)行振動(dòng)分析，并采用復(fù)數(shù)坐標(biāo)建立動(dòng)力學(xué)方程[16]：

(4)

式中：M為質(zhì)量矩陣；G為陀螺矩陣；K為剛度矩陣；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；q為轉(zhuǎn)子各節(jié)點(diǎn)位移向量，q=[x1+iy1,θy1+iθx1,…,xk+iyk,θyk+iθxk]T；F為作用于轉(zhuǎn)子上的激勵(lì)。

設(shè)轉(zhuǎn)子由初始熱變形引起的轉(zhuǎn)軸初始彎曲、輪盤質(zhì)心偏移和輪盤初始傾斜分別為b、δ和τ。式(4)的物理意義是各節(jié)點(diǎn)處滿足力的平衡方程。轉(zhuǎn)軸初始彎曲b等效于對轉(zhuǎn)子作用了與轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)的外力Kbeiωt。輪盤質(zhì)心偏移δ等效于對轉(zhuǎn)子作用了附加不平衡量ε=m°δ(“°”為Hadamard乘積，表示向量各分量相乘)，進(jìn)而引起附加不平衡激勵(lì)εω2eiωt，其中，m=[…,mk,0,…]T為輪盤質(zhì)量列陣，mk表示位于節(jié)點(diǎn)k的輪盤的質(zhì)量，δ=[…,δk,0,…]T為輪盤質(zhì)心偏移列陣，δk表示位于節(jié)點(diǎn)k的輪盤的質(zhì)心偏移量。輪盤初始傾斜會(huì)產(chǎn)生陀螺力矩(Ip-Id)°τω2eiωt，Ip=[…,0,Ip,k,…]T為輪盤極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量列陣，Ip,k表示位于節(jié)點(diǎn)k的輪盤的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Id=[…,0,Id,k,…]T為輪盤直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量列陣，Id,k表示位于節(jié)點(diǎn)k的輪盤的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，τ=[0,…,0,τk,…]T為輪盤初始傾斜角列陣，τk表示位于節(jié)點(diǎn)k的輪盤的初始傾斜角。將上述表達(dá)式代入式(4)可得

(Ip-Id)°τω2]eiωt

(5)

由式(5)可知，轉(zhuǎn)子的3種初始熱變形形式相當(dāng)于在轉(zhuǎn)子上作用了3種附加激勵(lì)，且這3種激勵(lì)均與轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)。其中，轉(zhuǎn)軸初始彎曲激勵(lì)Kbeiωt的大小與轉(zhuǎn)速無關(guān)，附加不平衡激勵(lì)εω2eiωt和附加陀螺力矩激勵(lì)(Ip-Id)°τω2eiωt均與輪盤的慣性有關(guān)，其大小正比于轉(zhuǎn)速的平方。

需要注意的是，對于實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)，輪盤的質(zhì)心偏移和初始傾斜與轉(zhuǎn)軸和輪盤的結(jié)構(gòu)特征、材料熱膨脹系數(shù)以及連接界面的影響有關(guān)，其沿軸向的分布特征難以準(zhǔn)確確定。因此，最好通過區(qū)間數(shù)來描述，即εω2eiωt和(Ip-Id)°τω2eiωt更準(zhǔn)確的表達(dá)形式應(yīng)為εIω2eiωt和(Ip-Id)°τIω2eiωt，εI和τI表示向量中各元素以區(qū)間數(shù)表示。

2 初始熱變形對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響

2.1 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程模態(tài)坐標(biāo)變換

轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)速為ω時(shí)的自由振動(dòng)方程為

(6)

假設(shè)解的形式為q=φeiΩt，Ω為轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)角速度，φ為待求的常數(shù)列向量，則轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)速為ω時(shí)的特征方程為

[-Ω2M+ωΩG+K]φ=0

(7)

令Ω=ω，即可求得轉(zhuǎn)子第i階臨界轉(zhuǎn)速ωcr,i及其對應(yīng)振型φi。對于ωcr,i和φi，顯然成立

(8)

由于采用復(fù)數(shù)坐標(biāo)時(shí)，陀螺矩陣G為對稱矩陣，則M-G和K均為對稱矩陣。設(shè)Φ=[φ1,φ2,…,φn]T，則由振動(dòng)力學(xué)可知，Φ使得式(9)成立：

(9)

(10)

當(dāng)轉(zhuǎn)子存在轉(zhuǎn)軸初始彎曲激勵(lì)、附加不平衡激勵(lì)和附加陀螺力矩激勵(lì)時(shí)，其動(dòng)力學(xué)方程為

εIω2eiωt+(Ip-Id)°τIω2eiωt

(11)

[-ω2ΦT(M-G)Φ+ΦTKΦ)η=

ΦT[Kb+εIω2+(Ip-Id)°τIω2]

(12)

即

(13)

因此

(14)

式中：f=[f1,f2,…,fn]T為節(jié)點(diǎn)載荷列陣；λi=ω/ωcr,i為第i階頻率比。

因此，轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)可寫為

(15)

將具體的熱變形激勵(lì)的表達(dá)式代入式(15)即可分析其對轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的影響。

2.2 轉(zhuǎn)子初始熱變形對振動(dòng)響應(yīng)的影響

圖5為航空發(fā)動(dòng)機(jī)中的典型轉(zhuǎn)子。其臨界轉(zhuǎn)速對應(yīng)的振型分別為平動(dòng)振型、俯仰振型(統(tǒng)稱剛體振型)和一彎振型，且工作轉(zhuǎn)速一般位于剛體振型臨界轉(zhuǎn)速以上，靠近一彎振型臨界轉(zhuǎn)速。由式(15)可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子分別通過各階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，其振動(dòng)響應(yīng)近似為

(16)

相應(yīng)的轉(zhuǎn)子位移和支承反力分別為

(17)

(18)

圖5 典型航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子模型Fig.5 A model of typical aeroengine rotors

式中：xi,brg為支點(diǎn)在第i階振型中的位移；kbrg為支點(diǎn)支承剛度。

3) 附加不平衡激勵(lì)εIω2和附加陀螺力矩激勵(lì)(Ip-Id)°τIω2沿軸向分布具有非確定性，使得振動(dòng)響應(yīng)也具有區(qū)間分布的特點(diǎn)，振動(dòng)響應(yīng)的這種非確定性可能使轉(zhuǎn)子的支承反力進(jìn)一步加大。因此，如何更準(zhǔn)確地確定附加不平衡激勵(lì)和附加陀螺力矩激勵(lì)的分布需要進(jìn)一步的研究，如在實(shí)際工程應(yīng)用中通過統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行分析等。

3 典型航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)分析

如圖6所示，燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子為兩支點(diǎn)支承的大長徑比轉(zhuǎn)子，且工作轉(zhuǎn)速靠近彎曲臨界轉(zhuǎn)速，是航空發(fā)動(dòng)機(jī)中典型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。以該實(shí)際轉(zhuǎn)子為例，分析其存在初始熱變形時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)。

該轉(zhuǎn)子支點(diǎn)跨度為600 mm，最大直徑為200 mm，軸承直徑為50 mm，壓氣機(jī)材料為TC11，渦輪材料為GH4169。在ANSYS中，采用梁單元BEAM188模擬轉(zhuǎn)子，質(zhì)量單元MASS21模擬輪盤，彈簧單元COMBIN14模擬支點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為14，單元數(shù)為16。

圖6 典型航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子Fig.6 A typical aeroengine rotor

按照1.2節(jié)中的熱變形轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程(式(5))，根據(jù)轉(zhuǎn)子在給定溫度場下初始熱變形的有限元計(jì)算結(jié)果，轉(zhuǎn)軸初始彎曲激勵(lì)可通過作用于轉(zhuǎn)子軸段中部的徑向同步激振力(約5 750 N)來模擬。對于附加不平衡激勵(lì)和附加陀螺力矩激勵(lì)，這里僅考慮第一級(jí)渦輪盤。根據(jù)初始熱變形的計(jì)算結(jié)果，渦輪盤的附加不平衡量約為45 g·mm，考慮連接結(jié)構(gòu)界面接觸等不確定因素的影響，以區(qū)間數(shù)表示不平衡量變化范圍[36,54] g·mm(偏差范圍取為20%)。同樣地，對于渦輪盤的附加陀螺力矩激勵(lì)，由于難以準(zhǔn)確確定數(shù)值，根據(jù)計(jì)算和統(tǒng)計(jì)分析取為[0.000 8,0.001 2] rad(偏差范圍取為20%)。上述激勵(lì)的相位均相同。按照上述激勵(lì)，計(jì)算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)響應(yīng)，如圖7～圖9所示。需要說明的是，由于僅是3種激勵(lì)的幅值存在區(qū)間分布，且3種激勵(lì)作用的節(jié)點(diǎn)均只有1個(gè)，因此，轉(zhuǎn)子分別在這3種激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)為激勵(lì)幅值的單調(diào)函數(shù)，其區(qū)間的上/下界可直接由激勵(lì)幅值的上/下界確定。

圖7 轉(zhuǎn)子在初始彎曲激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)Fig.7 Vibration response of rotor under initial bow excitation

圖8 轉(zhuǎn)子在附加不平衡激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)Fig.8 Vibration response of rotor under additional unbalance excitation

圖9 轉(zhuǎn)子在附加陀螺力矩激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)Fig.9 Vibration response of rotor under additional gyroscopic moment excitation

4 結(jié) 論

基于理論和仿真，本文主要結(jié)論如下：

1) 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)溫度分布不均產(chǎn)生的初始熱變形會(huì)對轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生影響，根據(jù)力學(xué)特征可分為：轉(zhuǎn)軸初始彎曲、輪盤質(zhì)心偏移和輪盤初始傾斜，分別使轉(zhuǎn)子產(chǎn)生轉(zhuǎn)軸初始彎曲激勵(lì)、附加不平衡激勵(lì)和附加陀螺力矩激勵(lì)。

2) 當(dāng)附加不平衡激勵(lì)和附加陀螺力矩激勵(lì)的幅值和方向滿足一定的條件時(shí)，其與轉(zhuǎn)軸初始彎曲激勵(lì)在支點(diǎn)處引起的振動(dòng)響應(yīng)之和大于僅由初始彎曲激勵(lì)在支點(diǎn)處引起的振動(dòng)響應(yīng)，即與僅考慮轉(zhuǎn)軸初始彎曲的轉(zhuǎn)子相比，附加不平衡激勵(lì)和附加陀螺力矩激勵(lì)可能加大支點(diǎn)支承反力的振動(dòng)響應(yīng)。

3) 附加不平衡激勵(lì)和附加陀螺力矩激勵(lì)的大小正比于轉(zhuǎn)速的平方，其對轉(zhuǎn)子通過頻率較低和較高的臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的支承反力均可能有較大的影響，具體影響程度與轉(zhuǎn)子的振型及激勵(lì)的分布特征有關(guān)。而轉(zhuǎn)軸初始彎曲激勵(lì)大小與轉(zhuǎn)速無關(guān)，其主要影響轉(zhuǎn)子通過頻率較低的臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的支承反力。

4) 由于航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)材料不同且存在連接界面和幾何結(jié)構(gòu)突變，其盤-軸結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的初始熱變形難以確定，使得附加不平衡激勵(lì)和附加陀螺力矩激勵(lì)的大小與相位具有非確定性，進(jìn)而，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)表現(xiàn)出分散性和區(qū)間分布特點(diǎn)。因此，在工程應(yīng)用中可以對具體結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)分析其熱變形特征。