民用飛機(jī)商載航程圖解析方程的建立及應(yīng)用

陳名乾

中國商飛上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院，上海 201210

民用飛機(jī)的商載航程性能是客戶在考察評(píng)估機(jī)型、規(guī)劃機(jī)隊(duì)以及運(yùn)營機(jī)型時(shí)最為關(guān)注的性能之一[1]。商載航程性能與目標(biāo)市場(chǎng)客戶使用需求的符合程度直接關(guān)系到機(jī)型的市場(chǎng)表現(xiàn)[2]。傳統(tǒng)的飛機(jī)設(shè)計(jì)指標(biāo)往往只對(duì)標(biāo)準(zhǔn)商載下的航程能力有所要求，但在飛機(jī)運(yùn)營中，實(shí)際航線的商載和航程可能是商載航程圖內(nèi)的任意點(diǎn)。在設(shè)計(jì)指標(biāo)制定時(shí)，需要對(duì)飛機(jī)整體的商載航程能力在目標(biāo)市場(chǎng)范圍內(nèi)進(jìn)行評(píng)估，才能確保指標(biāo)制定的合理性[3]。但是在方案初期，對(duì)商載航程性能進(jìn)行仿真計(jì)算求解較為困難，目前多采用工程估算方法[4-5]，求解準(zhǔn)確度有限，因此在工程中商載航程圖也僅作為方案后期性能評(píng)估時(shí)的項(xiàng)目給出，在指標(biāo)制定中的參與程度有限，這也制約了指標(biāo)制定時(shí)對(duì)目標(biāo)市場(chǎng)需求的性能匹配程度檢查的全面性。因此需要一種能將設(shè)計(jì)指標(biāo)和飛機(jī)商載航程能力迅速建立對(duì)應(yīng)關(guān)系的有效方法，形成方案初期的商載航程能力設(shè)計(jì)。

由于飛機(jī)飛行性能的計(jì)算方法較為成熟，對(duì)于往往作為性能計(jì)算結(jié)果的商載航程圖的相關(guān)研究較少。蒙文鞏等[6]從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度對(duì)客機(jī)系列化的商載航程性能進(jìn)行了優(yōu)化匹配，Shannon[7]對(duì)總體參數(shù)對(duì)商載航程圖的影響進(jìn)行了分析，表明飛機(jī)的起飛重量、使用空機(jī)重量(OEW)、最大燃油重量(MFW)等重量參數(shù)變化時(shí)，商載航程圖都會(huì)做出具有特征性的變化，但是目前對(duì)商載航程圖邊界線與飛機(jī)總體參數(shù)之間的具體關(guān)系還缺少更為深入的研究。

1 商載航程圖的邊界線與求解

1.1 商載航程圖邊界線的定義

典型民用飛機(jī)的商載航程圖如圖1所示，商載航程圖的邊界線主要由最大零油重量(MZFW)限制線、最大起飛重量(MTOW)限制線和最大燃油重量限制線組成。在MZFW限制線上從左往右，飛機(jī)在最大商載下起飛重量逐漸增大至最大起飛重量，航程達(dá)到最大商載下的最大航程；在MTOW限制線上從左往右，飛機(jī)保持最大起飛重量不變，商載逐漸降低替換為燃油的增加，航程逐漸增大直至燃油量達(dá)到飛機(jī)的MFW；在MFW限制線上從左往右，飛機(jī)保持滿油狀態(tài)，商載和起飛重量逐漸降低，直至商載為零，此時(shí)對(duì)應(yīng)的航程為飛機(jī)可能達(dá)到的最大航程。部分飛機(jī)的商載航程圖還有受最大著陸重量(MLW)限制的邊界線[8]，但該情況主要由設(shè)計(jì)的最大著陸重量不足造成，并非常規(guī)飛機(jī)的設(shè)計(jì)狀態(tài)，本文不做考慮。

圖1 典型民用飛機(jī)商載航程圖Fig.1 Typical payload-range diagram of a commercial aircraft

另外，由于飛機(jī)運(yùn)行時(shí)的商載在設(shè)計(jì)商載附近的比例較高，若設(shè)計(jì)商載對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于MFW限制線，則較多數(shù)情況飛機(jī)無法使用MTOW起飛，造成設(shè)計(jì)冗余，因此民用飛機(jī)的標(biāo)準(zhǔn)商載和設(shè)計(jì)航程對(duì)應(yīng)點(diǎn)往往位于MTOW限制線上。

1.2 商載航程圖的求解

工程上一般采用計(jì)算幾條限制線交點(diǎn)處的商載對(duì)應(yīng)的航程后再使用線段連接繪制商載航程圖。對(duì)航程的計(jì)算，在方案初期，往往采用Breguet航程公式衍生的方法估算[9]；在方案后期，具備詳細(xì)的發(fā)動(dòng)機(jī)和氣動(dòng)力數(shù)據(jù)后采用高精度迭代的方法對(duì)整個(gè)飛行剖面進(jìn)行求解獲得航程[10]。前者屬于工程估算方法，對(duì)航程的計(jì)算準(zhǔn)確度有限并且需要不同工況飛行的升阻比和單位耗油率(SFC)作為輸入，對(duì)二者預(yù)估的準(zhǔn)確程度較為依賴。后者屬于仿真計(jì)算方法，要求的輸入數(shù)據(jù)量大，在方案初期不易使用。因此在方案初期很難對(duì)飛機(jī)整體的商載航程能力有準(zhǔn)確的預(yù)估，飛機(jī)的商載航程指標(biāo)也往往僅限定在單一標(biāo)準(zhǔn)商載點(diǎn)的航程，無法將整個(gè)商載航程圖作為設(shè)計(jì)指標(biāo)提出。本文提出一種新的商載航程圖求解方法，通過建立飛機(jī)總體參數(shù)與商載航程圖邊界線的關(guān)系，當(dāng)方案階段確定飛機(jī)的標(biāo)準(zhǔn)商載和設(shè)計(jì)航程后，即可根據(jù)飛機(jī)的特征重量將整個(gè)商載航程圖擴(kuò)充，并且具備較好的準(zhǔn)確度。

2 商載航程圖邊界線的解析表達(dá)

飛機(jī)的巡航性能可由燃油里程反映[11]，燃油里程FM可表示為

(1)

式中：TAS為真空速，km/h；FF為燃油流量，kg/h。燃油流量FF可表示為推力與SFC的乘積，認(rèn)為巡航時(shí)推力等于阻力，則有

(2)

式中：m為飛機(jī)重量。

將式(2)代入式(1)有

(3)

考慮給定的任務(wù)剖面，巡航高度和巡航速度已知，則式(3)中TAS為定值，巡航段的距離DCRZ可表示為燃油里程FM關(guān)于飛機(jī)重量的積分：

(4)

式中：K為升阻比；WCS和WCE分別為巡航段起始與結(jié)束時(shí)的重量。

對(duì)于民用飛機(jī)，在相同高度速度下，燃油里程隨飛行重量的變化呈近似線性關(guān)系。例如對(duì)某型客機(jī)，在標(biāo)準(zhǔn)大氣，Ma=0.85下，不同重量、不同飛行高度層(FL)對(duì)應(yīng)的燃油里程如圖2所示,FL 350即為35 000 ft，1 ft=0.304 8 m。

圖2 某型客機(jī)的燃油里程隨重量的變化Fig.2 Variation of fuel mileage change with aircraft weight for a jetliner

(5)

(6)

忽略下降段和進(jìn)場(chǎng)著陸段的耗油，則WCE等于使用空機(jī)重量WOEW、商載WPLD、備用油重量WRES之和，即

WCE=WOEW+WPLD+WRES

(7)

巡航段起始重量WCS為起飛重量WTOW減去起飛與爬升段的用油WCLB，即

WCS=WTOW-WCLB

(8)

設(shè)爬升下降段的距離之和為DC&D，則航程D可表示為

(9)

整理后可得商載航程圖右邊界線的解析方程為

WTOW-WCLB-WOEW-WRES

(10)

EC=

(11)

對(duì)于商載航程圖的MFW限制線，燃油重量WF保持不變，WF=WMFW=WTOW-WOEW-WPLD，將其代入式(10)可得MFW限制線的解析方程為

(12)

以上獲得了商載航程圖MTOW限制線和MFW限制線的解析表達(dá)式分別為式(10)和式(12)， 建立了效率因子EC和飛機(jī)特征重量參數(shù)與商載航程圖邊界線的關(guān)系。

3 飛機(jī)總體參數(shù)與商載航程圖的關(guān)系

通過式(10)和式(12)可得出當(dāng)飛機(jī)總體參數(shù)變化時(shí)，商載航程圖相應(yīng)的變化規(guī)律。

3.1 最大起飛重量的影響

MTOW并不出現(xiàn)在MFW限制線的解析方程式(12)中，而在MTOW限制線上，起飛重量始終等于MTOW，即WTOW=WMTOW，對(duì)式(10)求導(dǎo)可得

(13)

在其中忽略DC&D和WCLB，可得

(14)

從式(14)可知，商載航程圖的MTOW限制線并非線性，隨著航程D的增大，限制線的斜率值變小。當(dāng)MTOW增大，相同航程下的MTOW限制線斜率值增大，同時(shí)式(10)的截距WTOW-WCLB-WOEW-WRES也會(huì)增大，商載航程圖的MTOW限制線會(huì)上移。圖3給出了MTOW變化時(shí)的商載航程圖變化情況?？梢奙TOW的影響主要體現(xiàn)在MTOW限制線的移動(dòng)上，對(duì)其斜率的影響較小，同時(shí)由于MTOW并不影響MFW限制線，當(dāng)飛機(jī)的MTOW增大，MTOW限制線的長(zhǎng)度縮短。

3.2 使用空機(jī)重量的影響

圖3 最大起飛重量對(duì)商載航程圖的影響Fig.3 Effect of MTOW on payload-range diagram

圖4 使用空機(jī)重量對(duì)商載航程圖的影響Fig.4 Effect of OEW on payload-range diagram

3.3 最大燃油重量的影響

MFW并不出現(xiàn)在MTOW限制線的解析方程式(10)中。在MFW限制線上，對(duì)式(12)求導(dǎo)，忽略DC&D并且不考慮相對(duì)小量WCLB和WRES與航程關(guān)系，可得

(15)

可知當(dāng)MFW增大，MFW限制線的斜率值增大。

圖5 最大燃油重量對(duì)商載航程圖的影響Fig.5 Effect of MFW on payload-range diagram

3.4 單位耗油率和升阻比的影響

單位耗油率(SFC)和升阻比對(duì)商載航程圖的影響體現(xiàn)對(duì)效率因子的影響上，升阻比越大，SFC越小，效率因子越小，巡航效率越高。在MTOW限制線上，斜率為式(14)，在效率因子的數(shù)量級(jí)范圍內(nèi)，效率因子越小，則MTOW限制線的斜率值越小。在MFW限制線上，斜率為式(15)，效率因子與斜率值大小成反比。效率因子對(duì)商載航程圖的影響效果見圖6。

圖6 效率因子對(duì)商載航程圖的影響Fig.6 Effect of cruise efficiency factor on payload-range diagram

4 商載航程圖解析表達(dá)式的應(yīng)用

通過式(10)和式(12)，若已知效率因子EC和特征重量則可以直接求解商載航程圖。但是EC一般很難直接給出，因此更為有效的方法是在方案階段確定飛機(jī)標(biāo)準(zhǔn)商載、設(shè)計(jì)航程和特征重量后，即可根據(jù)式(11)反算出EC，再使用式(10)和式(12)獲得整個(gè)商載航程圖。

4.1 解析表達(dá)式的應(yīng)用方程

若要直接應(yīng)用式(10)～式(12)，還需明確若干變量WCLB、WRES和DC&D的數(shù)值。這些變量在重量和距離中的占比均較小，并且直接求解較為復(fù)雜，因此采用擬合式的方式估算WCLB和WRES，DC&D直接采用固定值。

爬升用油WCLB與起飛重量關(guān)系較大，且呈近似線性關(guān)系，可假設(shè)：

WCLB=k1WTOW+d1

(16)

備用油重量WRES與航程關(guān)系較大，也可近似為線性關(guān)系，可假設(shè)：

WRES=k2D+d2

(17)

將式(16)和式(17)代入式(10)和式(12)中，令D′=D-DC&D，可得MTOW限制線的應(yīng)用方程為

(1-k1)WTOW-d1-WOEW-k2D-d2

(18)

MFW限制線的應(yīng)用方程為

(19)

其中：

根據(jù)相關(guān)機(jī)型的統(tǒng)計(jì)值，可按表1選取各項(xiàng)參數(shù)的數(shù)值，對(duì)窄體客機(jī)和寬體客機(jī)有不同的推薦數(shù)值。

以上備用油重量WRES的相關(guān)參數(shù)基于10%航路備份油、200 nm備降和目的地機(jī)場(chǎng)上空1 500 ft(457 m)等待30 min的國際航線常用備用油規(guī)則給出[12]。這一備用油規(guī)則也是制定商載航程圖時(shí)最常用的。

表1 各項(xiàng)參數(shù)的推薦數(shù)值Table 1 Recommended values of the remaining factors

4.2 從標(biāo)準(zhǔn)商載點(diǎn)擴(kuò)充商載航程圖

對(duì)式(18)和式(19)計(jì)算商載航程圖的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。選用以下幾個(gè)機(jī)型，獲取標(biāo)準(zhǔn)商載(SPL)及其對(duì)應(yīng)的航程(DR)、最大起飛重量、最大商載(MPL)、使用空機(jī)重量和最大燃油重量后，通過式(11)計(jì)算得到效率因子，擴(kuò)充出飛機(jī)的商載航程圖，并與官方手冊(cè)中的商載航程圖進(jìn)行對(duì)比，其中數(shù)據(jù)來源于波音的飛機(jī)特性與機(jī)場(chǎng)計(jì)劃手冊(cè)(ACAP)[13-14]和空客的飛機(jī)特性手冊(cè)(AC)[15-16]。輸入?yún)?shù)列在表2中，計(jì)算得到的效率因子列在表3中，商載航程圖對(duì)比見圖7。

表2 各機(jī)型的基本輸入?yún)?shù)Table 2 Basic input parameters of each aircraft

表3 通過標(biāo)準(zhǔn)商載點(diǎn)計(jì)算的巡航效率因子Table 3 Cruise efficiency factors calculated from SPL point

圖7 擴(kuò)充得到的SPL商載航程圖與飛機(jī)ACAP手冊(cè)中商載航程圖的對(duì)比Fig.7 Comparison between payload-range diagram expanded from SPL point and extracted from ACAP manual

可見，通過標(biāo)準(zhǔn)商載點(diǎn)反算出效率因子后，采用式(18)和式(19)擴(kuò)充出的商載航程圖對(duì)窄體客機(jī)和寬體客機(jī)都具有較好的準(zhǔn)確度，右邊界線各拐點(diǎn)的航程誤差在2%以內(nèi)。對(duì)航程較遠(yuǎn)的機(jī)型，該方法的準(zhǔn)確度會(huì)更高。

5 本文方法在飛機(jī)方案設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

經(jīng)過以上推導(dǎo)、分析和驗(yàn)證，本文建立了一種通過極少量的輸入?yún)?shù)即可求解出飛機(jī)商載航程圖的方法，在方案初期就能對(duì)飛機(jī)整體的商載航程能力進(jìn)行快速計(jì)算、評(píng)估，優(yōu)化航程指標(biāo)。

在方案設(shè)計(jì)中，尤其在設(shè)計(jì)航程指標(biāo)還未確定時(shí)，飛機(jī)整體的商載航程能力較為模糊。在飛機(jī)的運(yùn)營使用中，商載和執(zhí)飛航線的航程實(shí)際表現(xiàn)為以商載航程圖為包線的離散點(diǎn)，飛機(jī)的商載航程圖整體能否比競(jìng)爭(zhēng)機(jī)型更滿足客戶需求或者更適合目標(biāo)市場(chǎng)并不能單從設(shè)計(jì)航程指標(biāo)反映。

在指標(biāo)制定過程中，當(dāng)選定某一設(shè)計(jì)航程時(shí)，通過方案設(shè)計(jì)估算方法確定最大起飛重量和使用空機(jī)重量后，只需輸入標(biāo)準(zhǔn)商載、設(shè)計(jì)航程、最大起飛重量、使用空機(jī)重量、最大商載和最大燃油重量，即可使用本文方法快速求解出商載航程圖。將商載航程圖與競(jìng)爭(zhēng)機(jī)型在目標(biāo)市場(chǎng)的實(shí)際運(yùn)營數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，通過數(shù)據(jù)分析手段可以評(píng)估飛機(jī)的商載航程能力對(duì)競(jìng)爭(zhēng)機(jī)型及目標(biāo)市場(chǎng)區(qū)域的覆蓋情況，如圖8所示，其中運(yùn)營數(shù)據(jù)點(diǎn)來自2015年的美國BTS T100數(shù)據(jù)，每點(diǎn)代表月平均值，僅供示例。根據(jù)飛機(jī)的設(shè)計(jì)定位和市場(chǎng)需求，調(diào)整商載航程圖邊界線的位置。圖8示意的調(diào)整最大商載和最大燃油重量限制線，用以檢驗(yàn)飛機(jī)的最大商載、最大商載航程和最大燃油重量是否滿足客戶需求，根據(jù)本文建立的飛機(jī)總體參數(shù)與商載航程圖的關(guān)系，即可通過解析式得出優(yōu)化后的最大商載航程和最大燃油重量。本文方法還可用于最大起飛重量、使用空機(jī)重量、SFC和升阻比的敏感性分析。采用本文方法，可實(shí)現(xiàn)基于目標(biāo)市場(chǎng)需求的飛機(jī)商載航程能力設(shè)計(jì)和指標(biāo)制定，有助于設(shè)計(jì)方案以市場(chǎng)需求為導(dǎo)向的快速迭代和設(shè)計(jì)指標(biāo)的合理優(yōu)化。

圖8 基于市場(chǎng)運(yùn)營點(diǎn)優(yōu)化商載航程能力設(shè)計(jì)示例Fig.8 Optimization of payload-range capability using market operation points

6 結(jié) 論

1) 推導(dǎo)了商載航程圖邊界線的解析方程，建立了飛機(jī)總體參數(shù)與商載航程圖的數(shù)學(xué)關(guān)系。

2) MTOW不影響商載航程圖MFW限制線，僅影響MTOW限制線；OEW不影響商載航程圖MTOW限制線和MFW限制線的斜率值，OEW變化只造成2條限制線的平移；MFW不影響MTOW限制線，只改變MFW限制線的位置和斜率。

3) 升阻比和SFC通過巡航效率因子影響商載航程圖，升阻比越大，SFC越小，巡航效率因子越小，相同重量條件下的商載航程圖MTOW限制線斜率值越小。

4) 建立了商載航程圖解析表達(dá)式的應(yīng)用方程，提出一種應(yīng)用于飛機(jī)方案階段初期，通過少量總體參數(shù)即可從標(biāo)準(zhǔn)商載點(diǎn)出發(fā)求解飛機(jī)商載航程圖的方法，并經(jīng)驗(yàn)證求解結(jié)果準(zhǔn)確度較好。

5) 本文方法可應(yīng)用于飛機(jī)方案階段MTOW、OEW、MFW等特征重量指標(biāo)和航程指標(biāo)的評(píng)估和制定，并在方案早期實(shí)現(xiàn)飛機(jī)商載航程能力的設(shè)計(jì)。