關(guān)于3個映射的公共重合點定理

郝 妍, 關(guān)洪巖

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

度量空間中的不動點理論是非線性泛函分析研究的重點問題之一,而巴拿赫壓縮映像原理是度量空間中關(guān)于不動點理論研究的最主要成果之一。從1922年巴拿赫在文獻(xiàn)[1]中提出并證明壓縮映像原理后,許多學(xué)者將此結(jié)果作了大量的推廣并將其應(yīng)用,得到了許多優(yōu)秀的成果。其中,Czerwik[2]引入了b-度量空間的概念,并在該類空間中得到了新的不動點結(jié)果。隨后,許多學(xué)者得到了關(guān)于b-度量空間中各式各樣的單值和多值映射的不動點定理。Aydi等[3]證明了滿足弱φ-壓縮條件的單值和多值映射的公共不動點的結(jié)果。受文獻(xiàn)[4]啟發(fā),Pacurar[5]給出了φ-壓縮映射具有公共不動點的存在性和唯一性條件。利用相容映射給出壓縮條件,文獻(xiàn)[6]得到了2個映射具有公共不動點的結(jié)果。關(guān)于b-度量空間的一些新結(jié)果見參考文獻(xiàn)[7-10]。

重合點問題是不動點理論研究中的另一類重要問題。在度量空間中,Machuca[11]得到了一對真映射具有公共重合點的條件。隨后,Khan[12]和Liu[13]將上述結(jié)果進(jìn)行了推廣,證明了3個真映射在特定的條件下具有公共重合點。在文獻(xiàn)[14]中,Liu等討論了4個映射具有公共重合點問題。

受上述文獻(xiàn)中結(jié)果的啟發(fā),本文主要討論從T1拓?fù)淇臻g到b-度量空間上的3個映射具有公共重合點的條件。首先,給出了從T1拓?fù)淇臻g到b-度量空間上的關(guān)于3個映射的新型φ-壓縮條件,在特定條件下,證明了3個映射具有公共重合點的定理。然后,針對所得結(jié)論,給出相應(yīng)的例子說明其應(yīng)用。

1 預(yù)備知識

為了得到主要結(jié)論,首先引入一些基本概念和引理。

定義1[2]設(shè)X是非空集合,映射d:X×X→R+。若?x,y,z∈X滿足條件:

1)d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

2)d(x,y)=d(y,x);

3)d(x,y)≤s(d(x,z)+d(y,z))。

其中s≥1為常數(shù)。則稱(X,d)為b-度量空間,s為b-度量空間的系數(shù)。

注1: 當(dāng)s=1時,b-度量空間為通常的度量空間。

注2: 在文獻(xiàn)[6]中作者舉例說明了當(dāng)s>1時b-度量空間不是度量空間。

定義2[6]設(shè){xn}是b-度量空間(X,d)中的一個點列。

1) {xn}稱為是收斂的是指存在x∈X滿足當(dāng)n→∞時,d(xn,x)→0;

2) {xn}稱為是柯西列是指當(dāng)n,m→∞時,d(xn,xm)→0。

b-度量空間(X,d)是完備的,是指該空間中的柯西列都收斂。

引理1[15]設(shè)φ:R+→R+為上半連續(xù)且遞增函數(shù),則對t>0,φ(t)

2 主要結(jié)果

本節(jié)中主要討論3個映射具有公共重合點的條件。

定理設(shè)X是滿足第一分離公理的T1拓?fù)淇臻g,(Y,d)是完備的系數(shù)為s≥1的b-度量空間。映射A,B,S:X→Y滿足AX∪BX?SX,且下列條件之一成立:

(a1) 映射A和S是連續(xù)的,同時A是真映射,AX是閉的;

(a2) 映射A和S是連續(xù)的,同時S是真映射,SX是閉的;

(a3) 映射B和S是連續(xù)的,同時B是真映射,BX是閉的;

(a4) 映射B和S是連續(xù)的,同時S是真映射,SX是閉的。

若對任何的x,y∈X,存在φ∈Φ滿足

則存在X中的一點u,使得Au=Bu=Su。

證明 任取X中的點x0,由于AX∪BX?SX,從而存在X中的點列{xn}及Y中的點列{yn}使得

y2n+1=Sx2n+1=Ax2n,y2n=Sx2n=Bx2n-1,n≥1

對點列{yn},若存在某個n∈N使得yn=yn+1,則可以得到公共重合點。事實上,當(dāng)n=2k時,由壓縮條件(1),可以得到

假設(shè)d(y2k+1,y2k+2)>d(y2k,y2k+1)=0,由φ的單調(diào)性及b-度量的三角不等式性質(zhì),有

矛盾。故d(y2k+1,y2k+2)=0,于是y2k=y2k+1=y2k+2。結(jié)合{yn}的定義,可以得到Ax2k=Bx2k=Sx2k,即有x2k為公共重合點。 當(dāng)n=2k+1時,即y2k+1=y2k+2,利用類似的討論可知x2k+1是映射A,B,S的公共重合點。

下面設(shè)d(yn,yn+1)>0,?n∈N,去證明

(2)

分2種情形:

情形1n=2k,k∈N。

在壓縮條件(1)中令x=x2k,y=x2k-1,有

假設(shè)d(y2k,y2k+1)>d(y2k,y2k-1)。由上式可知

矛盾。從而可得d(y2k,y2k+1)≤d(y2k,y2k-1)。利用式(3),可以得到

情形2n=2k+1,k∈N。類似于情形1的討論,可以推出

(4)

下面將證明點列{yn}是Y中的一個柯西列。為此,只需證明子列{y2n}是Y中的柯西列。假設(shè){y2n}不是柯西列,則存在ε>0,?k∈N,存在2mk>2nk>k,且2mk為超過2nk的最小正整數(shù),使得

d(y2mk,y2nk)≥ε

(5)

和

d(y2mk-2,y2nk)<ε

(6)

利用b-度量的三角不等式性質(zhì)和不等式(6),可以推出

ε≤d(y2mk,y2nk)≤sd(y2mk-2,y2nk)+s2d(y2mk-2,y2mk-1)+s2d(y2mk-1,y2mk) 。

根據(jù)不等式(4),在上式中取k→∞的上極限

(7)

類似的,由ε≤d(y2mk,y2nk)≤sd(y2mk,y2mk-1)+sd(y2mk-1,y2nk)可知

另一方面,由d(y2mk-1,y2nk)≤sd(y2mk-1,y2mk)+sd(y2mk,y2nk)及不等式(4)可知

于是

(8)

經(jīng)過類似的計算,可以推出

(9)

根據(jù)壓縮條件(1),可以得到

利用不等式(5)、(8)和(9),在上式兩邊取k→∞的上極限,有

這是矛盾的。從而有Au=Bu=Su,即u為A,B,S的公共重合點。同理可證在條件(a2)、(a3)、(a4)其一成立時,映射A,B,S具有公共重合點。證畢。

3 應(yīng)用舉例

在本節(jié)中給出一個例子來說明定理1的應(yīng)用。

例設(shè)X=[0,1],定義其上的度量為d*:X×X→[0,+∞),d*(x,y)=|x-y|。設(shè)Y=[0,1],定義其上的b-度量為d:Y×Y→[0,+∞),d(x,y)=|x-y|2,系數(shù)為s=2。定義X到Y(jié)上的映射A,B,S分別為

即壓縮條件(1)成立。