建模競(jìng)賽背景下數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)創(chuàng)新探究

孫 欣, 李曉雪

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

《數(shù)學(xué)建模》是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生于大二下學(xué)期開(kāi)設(shè)的專業(yè)選修課程,是近年來(lái)一項(xiàng)成功的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革實(shí)踐。將數(shù)學(xué)建模引入大學(xué)教育,為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決外部世界問(wèn)題提供了一種新的方式和工具。將數(shù)學(xué)知識(shí)用于實(shí)際生活,使學(xué)生有更多機(jī)會(huì)參與發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程,取得在傳統(tǒng)課堂里和書(shū)本上較難獲得的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和切實(shí)感受。數(shù)學(xué)建模一方面激發(fā)學(xué)生獲得較廣博的數(shù)學(xué)知識(shí)、獨(dú)立研究的主動(dòng)性;另一方面培養(yǎng)學(xué)生想象力、洞察力、深入實(shí)際調(diào)查研究的能力,有助于在知識(shí)、能力及素質(zhì)等方面迅速成長(zhǎng)[1]。有關(guān)《數(shù)學(xué)建?！氛n程研究及相關(guān)活動(dòng)的開(kāi)展取得許多成果[2-6]。大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是高校開(kāi)展的一項(xiàng)學(xué)科競(jìng)賽活動(dòng),為提高學(xué)生用數(shù)學(xué)建模方法分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力搭建了廣闊的平臺(tái),有益于培養(yǎng)創(chuàng)新精神、團(tuán)隊(duì)精神和綜合素質(zhì)人才。

將數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的思想和方法有機(jī)地融入《數(shù)學(xué)建?！氛n程教學(xué)中去,是一種教學(xué)研究與實(shí)踐的探索,已取得相關(guān)的研究成果[7]。2017—2019年,在本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2015級(jí)、2016級(jí)、2017級(jí)分別進(jìn)行了基于建模競(jìng)賽背景下的《數(shù)學(xué)建?！氛n程實(shí)踐教學(xué)創(chuàng)新研究與探索。課程改革(簡(jiǎn)稱課改)的主體目標(biāo)是將數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽內(nèi)容引入數(shù)學(xué)建模課程,使其更具實(shí)效性。

新的教學(xué)模式在教學(xué)體系、課程組織形式及內(nèi)容方法等方面較傳統(tǒng)的教學(xué)模式主要區(qū)別體現(xiàn)在5個(gè)方面:一是在《數(shù)學(xué)建?！氛n程內(nèi)容設(shè)置中增設(shè)《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程中基礎(chǔ)且重要的內(nèi)容,將計(jì)算機(jī)技術(shù)引進(jìn)《數(shù)學(xué)建模》課堂;二是突出學(xué)生實(shí)踐環(huán)節(jié),讓學(xué)生自愿結(jié)合組成學(xué)習(xí)小組,合作完成課程任務(wù),課程評(píng)價(jià)以小組為基礎(chǔ),結(jié)合個(gè)人表現(xiàn);三是課程內(nèi)容與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽緊密聯(lián)系,進(jìn)行歷年建模國(guó)賽真題講評(píng)與競(jìng)賽經(jīng)驗(yàn)交流,理論與實(shí)踐相結(jié)合;四是充分發(fā)揮信息技術(shù)優(yōu)勢(shì),組建課程QQ群,增加課下與學(xué)生互動(dòng),克服時(shí)空帶來(lái)的不便性,保持課程內(nèi)容學(xué)習(xí)的連續(xù)性;五是課程考核評(píng)定取消期末考試,取而代之,采取以小組成績(jī)?yōu)榛A(chǔ)結(jié)合個(gè)人表現(xiàn)、課程學(xué)習(xí)結(jié)合競(jìng)賽實(shí)踐兩結(jié)合原則評(píng)定學(xué)生的期末成績(jī),考核評(píng)定具有開(kāi)放式?？偨Y(jié)3個(gè)年級(jí)的基于建模競(jìng)賽背景下的《數(shù)學(xué)建?！氛n程的實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn),對(duì)于探索研究一種新的課程教學(xué)模式,起到了積極的推動(dòng)作用。

1 課改實(shí)踐創(chuàng)新的必要性

1.1 傳統(tǒng)的《數(shù)學(xué)建模》課程教學(xué)模式存在弊端

1) 教師一言堂。教師授課滿堂灌,學(xué)生被動(dòng)接受新知識(shí)、課堂參與度小、缺少利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)踐機(jī)會(huì)。

2) 學(xué)生一言堂。一堂課只有一個(gè)學(xué)生作主講,缺少以教師為主導(dǎo)的課堂組織調(diào)控。如果主講學(xué)生水平有限或是準(zhǔn)備不足,會(huì)造成大多數(shù)學(xué)生學(xué)無(wú)所獲,浪費(fèi)寶貴的課堂時(shí)間。

1.2 課程內(nèi)容設(shè)置與建模競(jìng)賽無(wú)關(guān)聯(lián)

對(duì)14級(jí)選修《數(shù)學(xué)建?！氛n程的部分學(xué)生做過(guò)調(diào)查,學(xué)生對(duì)課程的反饋意見(jiàn)之一是所學(xué)內(nèi)容與建模競(jìng)賽幾乎無(wú)關(guān)聯(lián),使學(xué)生有學(xué)無(wú)所用的學(xué)習(xí)無(wú)力感。

2 課改實(shí)施方案

2.1 課前充分了解學(xué)生對(duì)課程的心理預(yù)期,及時(shí)調(diào)整課程內(nèi)容設(shè)置

在2018年課程第一節(jié)對(duì)2016級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一個(gè)選課班50名學(xué)生調(diào)查:《數(shù)學(xué)建模》課程期望是什么?課程建議有哪些?調(diào)查結(jié)果如表1所示。

表1 2016級(jí)學(xué)生選修《數(shù)學(xué)建模》課程期待與課程建議Table 1 Expectation and advice on mathematical modeling course of students enrolled in 2016

在2019年課程第一節(jié)對(duì)2017級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一個(gè)選課班47名學(xué)生關(guān)于選修《數(shù)學(xué)建?！氛n程動(dòng)因和期待展開(kāi)調(diào)查,結(jié)果如表2、圖1所示。

通過(guò)對(duì)學(xué)生《數(shù)學(xué)建模》關(guān)于課程期待、選課動(dòng)因及課程建議3個(gè)方面的調(diào)查,利于教師對(duì)課程內(nèi)容的設(shè)置進(jìn)行及時(shí)地整改、優(yōu)化,有利于突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位,發(fā)揮教師教學(xué)的主導(dǎo)地位。

表2 2017級(jí)學(xué)生選修《數(shù)學(xué)建?！穭?dòng)因與課程期待Table 2 Motive and expectation of mathematical modeling course of students enrolled in 2017

圖1 2017級(jí)學(xué)生選修《數(shù)學(xué)建?！穭?dòng)因調(diào)查Fig.1 Motive investigation into mathematical modeling course of students enrolled in 2017

2.2 課程內(nèi)容設(shè)置多元化

《數(shù)學(xué)建?！氛n程共54學(xué)時(shí),4學(xué)時(shí)/周,13周半教學(xué)周。教學(xué)內(nèi)容分成5個(gè)部分:一是基本數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí);二是數(shù)學(xué)建模算法與程序?qū)W習(xí);三是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)基本內(nèi)容學(xué)習(xí);四是建模競(jìng)賽指導(dǎo)與培訓(xùn);五是以學(xué)生為主體的建模經(jīng)驗(yàn)分享與交流。

1)基本數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)。參考姜啟源等編著的《數(shù)學(xué)模型》第四、五版[1,8]。以評(píng)價(jià)類模型(理想解法TOPSIS、主成分分析法PCA、層次分析法AHP、秩和比法RSR)、預(yù)測(cè)類模型(微分方程模型、灰色理論模型、時(shí)間序列模型、馬爾科夫模型)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)模型、規(guī)劃類模型(線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、排隊(duì)論、目標(biāo)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃)為基本學(xué)習(xí)內(nèi)容。具體內(nèi)容如表3所示。

表3 基本數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)內(nèi)容Table 3 Study content of basic mathematical model

2) 數(shù)學(xué)建模算法與程序?qū)W習(xí)。參考司守奎等編著的《數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用》[9-10],掌握基本算法和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的相關(guān)源程序。求解模型實(shí)質(zhì)上就是算法的實(shí)踐,一般是用Matlab,lingo,spss等數(shù)學(xué)軟件來(lái)求解;而有些算法數(shù)學(xué)軟件往往無(wú)能為力,需要用C/C++來(lái)編制程序解決。學(xué)習(xí)往往從模仿開(kāi)始,指導(dǎo)學(xué)生從讀懂算法程序的源代碼開(kāi)始,由淺入深,直至自己能上手編程,達(dá)到求解模型的目的。

3) 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)基本內(nèi)容的學(xué)習(xí)。將Matlab計(jì)算及仿真基礎(chǔ)引入數(shù)學(xué)建模課程,內(nèi)容有Matlab簡(jiǎn)介、Matlab數(shù)值計(jì)算、Matlab圖形功能、Matlab符號(hào)計(jì)算功能、Matlab程序設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)擬合等。掌握建模必備的計(jì)算機(jī)技術(shù),實(shí)現(xiàn)計(jì)算、繪圖、數(shù)據(jù)分析等操作。

三是豐富業(yè)余生活，加強(qiáng)企業(yè)文化建設(shè)。通過(guò)舉辦群眾廣泛參與的讀書(shū)學(xué)習(xí)、健身娛樂(lè)活動(dòng)等，讓單位處處充滿生機(jī)活力，處處洋溢文化氣息。

4) 建模競(jìng)賽指導(dǎo)與培訓(xùn)。梳理整理歷年數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題,統(tǒng)計(jì)分析近10年的國(guó)賽?？紨?shù)學(xué)模型。結(jié)合獲獎(jiǎng)?wù)撐?分析各種模型的應(yīng)用,總結(jié)歸納數(shù)學(xué)建模常用算法及計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。使學(xué)生掌握建模競(jìng)賽必備的論文寫作、模型選擇、算法與程序?qū)崿F(xiàn)等相關(guān)知識(shí)。課程進(jìn)行期間經(jīng)歷每年4月20日—5月10日持續(xù)約20 d的東北三省數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。鼓勵(lì)學(xué)生積極參與競(jìng)賽,增加實(shí)踐機(jī)會(huì)。賽前培訓(xùn)指導(dǎo),賽后總結(jié)交流。結(jié)合數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,深化課程內(nèi)容。

5) 以學(xué)生為主體開(kāi)展建模經(jīng)驗(yàn)分享與交流。建模是一個(gè)積累的過(guò)程,既有學(xué)習(xí)資料、信息檢索收集的積累,又有建模競(jìng)賽實(shí)戰(zhàn)比賽經(jīng)驗(yàn)的積累,缺一不可。開(kāi)課伊始,請(qǐng)有豐富建模經(jīng)驗(yàn)并在各類建模競(jìng)賽中多次獲獎(jiǎng)的學(xué)長(zhǎng)、學(xué)姐做主題為“淺談數(shù)學(xué)建模與經(jīng)驗(yàn)分享”的報(bào)告會(huì),圍繞什么是數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)建模一般步驟、前期知識(shí)儲(chǔ)備、比賽經(jīng)驗(yàn)等方面進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)分享,充分彰顯榜樣的力量。這樣的交流使缺少建模知識(shí)和建模經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生對(duì)建模及競(jìng)賽有一個(gè)全局和概括性的認(rèn)知。課程進(jìn)行中,結(jié)合剛結(jié)束的東北三省數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組織學(xué)生以小組為單位進(jìn)行賽題講解、思路分析,總結(jié)建模寫作經(jīng)驗(yàn),這些實(shí)踐環(huán)節(jié)利于增長(zhǎng)建模的實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)。

2.3 課堂組織形式

克服以教師講解為主,學(xué)生被動(dòng)接受新知識(shí)的傳統(tǒng)教學(xué)模式,建立以教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體的課堂教學(xué)形式。利用QQ群加強(qiáng)師生互動(dòng)與交流,讓學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組協(xié)作學(xué)習(xí),進(jìn)行多模塊教學(xué)模式,采用這些組織形式有效地組織了教學(xué),提高了教學(xué)效果。

1) 建立課程QQ群,以克服由時(shí)空帶來(lái)的與學(xué)生的互動(dòng)不便性,充分發(fā)揮QQ群的便捷性,與學(xué)生增加課程交流,改善互動(dòng)模式,提高學(xué)習(xí)效率。

2) 將50名學(xué)生以自愿結(jié)合原則按照2～4人為單位組成15～17個(gè)學(xué)習(xí)小組,以小組為單位課上討論、完成作業(yè)、考核評(píng)定,增強(qiáng)研討合作的團(tuán)隊(duì)意識(shí),為建模競(jìng)賽做好準(zhǔn)備。

3) 建立多模塊課堂教學(xué)模式。講授與討論相結(jié)合,根據(jù)課程內(nèi)容不同,采取不同的模塊進(jìn)行教學(xué),有效整合教學(xué)資源,對(duì)資源進(jìn)行合理的篩選、組合和利用,起到了事半功倍的教學(xué)效果。

2.4 課改的特色與創(chuàng)新

將建模競(jìng)賽訓(xùn)練與指導(dǎo)引入《數(shù)學(xué)建?！氛n程中,深化了課程內(nèi)容。進(jìn)一步,為滿足建模競(jìng)賽對(duì)計(jì)算機(jī)技術(shù)的要求,將《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程的部分內(nèi)容引入課程。結(jié)合《數(shù)學(xué)建?！氛n程基本教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)要求,將基本數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模算法與程序、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[11]、數(shù)學(xué)建模國(guó)賽真題講解[12-15]幾部分內(nèi)容有機(jī)結(jié)合、整合與優(yōu)化。

1) 適度挑戰(zhàn)學(xué)生能力

如果一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)很簡(jiǎn)單,會(huì)很無(wú)聊;如果一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)很艱巨,會(huì)很令人沮喪。數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)與競(jìng)賽有足夠的難度構(gòu)成一個(gè)挑戰(zhàn),又不至于傷害學(xué)生嘗試的意愿程度,讓學(xué)生在最適當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)下,更有可能投入到學(xué)習(xí)與競(jìng)賽中。

2) 創(chuàng)立學(xué)習(xí)共同體

《數(shù)學(xué)建?！氛n程的學(xué)習(xí)、考核以小組為單位進(jìn)行,增加師生之間、學(xué)生之間互動(dòng)機(jī)會(huì)與交流。讓所有的學(xué)生都參與討論,所有的成員交換信息、想法和觀點(diǎn)。有利于加強(qiáng)合作學(xué)習(xí)、協(xié)作學(xué)習(xí)、團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)和問(wèn)題導(dǎo)向?qū)W習(xí)。

3) 培養(yǎng)批判性、創(chuàng)造性和對(duì)話式思維

建模過(guò)程往往通過(guò)提出問(wèn)題讓學(xué)生認(rèn)識(shí)并改善自己的思維方式,使學(xué)生獲得對(duì)問(wèn)題進(jìn)行批判性思考的能力,培養(yǎng)創(chuàng)造性思維,鼓勵(lì)對(duì)話式思維。

4) 課程動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)

開(kāi)課伊始,以問(wèn)卷調(diào)查的方式了解學(xué)生對(duì)課程的心理需求和期待。根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)目標(biāo)、制定切實(shí)的教學(xué)手段、選擇合理有效的課堂組織形式。課程中期,繼續(xù)問(wèn)卷調(diào)查,征求學(xué)生意見(jiàn),了解課程教學(xué)效果,調(diào)整、優(yōu)化。課程結(jié)束前,無(wú)記名形式征求課程建設(shè)性意見(jiàn),為下次教學(xué)改進(jìn)提供參考依據(jù)。

3 課改成果

講授《數(shù)學(xué)建模》課程的3年中,學(xué)期期末學(xué)生的評(píng)價(jià)反饋良好,滿意度在96%以上。指導(dǎo)學(xué)生參加?xùn)|北三省數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(2018年指導(dǎo)2組獲得美賽二等獎(jiǎng))獲獎(jiǎng)情況如表4～表7所示。

表4 2017年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽指導(dǎo)學(xué)生獲獎(jiǎng)情況Table 4 Guidance for students on award for national university mathematical modeling contest in 2017

表5 2018年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽指導(dǎo)學(xué)生獲獎(jiǎng)情況Table 5 Guidance for students on award for national university mathematical modeling contest in 2018

表6 2019年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽指導(dǎo)學(xué)生獲獎(jiǎng)情況Table 6 Guidance for students on award for national university mathematical modeling contest in 2019

表7 2017—2019年?yáng)|北三省數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽指導(dǎo)學(xué)生獲獎(jiǎng)情況

注: 表7中“占比”指本人指導(dǎo)學(xué)生獲獎(jiǎng)的組數(shù)與全校獲同級(jí)別獎(jiǎng)項(xiàng)的組數(shù)之比。

注: “占比”指本人指導(dǎo)學(xué)生獲獎(jiǎng)的組數(shù)與全校獲同級(jí)別獎(jiǎng)項(xiàng)的組數(shù)之比圖2 2017—2019年指導(dǎo)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽學(xué)生獲獎(jiǎng)所占比Fig.2 Award ratio of guidance for students for national university mathematical modeling contest from 2017 to 2019

注: “占比”指本人指導(dǎo)學(xué)生獲獎(jiǎng)的總組數(shù) 與全校獲獎(jiǎng)總組數(shù)之比。圖3 2017—2019年指導(dǎo)東北三省數(shù)學(xué) 建模競(jìng)賽學(xué)生獲獎(jiǎng)總數(shù)所占比Fig.3 Total award ratio of guidance for students for northeast three provinces mathematical modeling contest from 2017 to 2019

4 結(jié)論與展望

歷經(jīng)3年基于數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽背景下的《數(shù)學(xué)建?！方虒W(xué)實(shí)踐的探究初見(jiàn)成效,體現(xiàn)在學(xué)生對(duì)課程評(píng)價(jià)滿意度和課程對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的指導(dǎo)2方面。結(jié)合每學(xué)期期末學(xué)生對(duì)課程建設(shè)反饋意見(jiàn)的調(diào)查和授課實(shí)踐,今后的課程建設(shè)還有需要提升的空間,具體體現(xiàn)在分層次教學(xué)、整合和優(yōu)化課程資源、計(jì)算機(jī)軟件的應(yīng)用和編程3個(gè)方面。數(shù)學(xué)建模以數(shù)學(xué)作工具與外界世界聯(lián)系起來(lái),用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題,將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)踐的能力與學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有關(guān)。在今后的課程教學(xué)中可以考慮根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的差異實(shí)行分層次教學(xué)。依照教學(xué)大綱,《數(shù)學(xué)建模》課程只有54學(xué)時(shí),而在54課時(shí)中完成實(shí)際教學(xué)內(nèi)容達(dá)到預(yù)期教學(xué)目標(biāo),就必須對(duì)課程各部分資源進(jìn)行調(diào)整、重組與優(yōu)化。計(jì)算機(jī)技術(shù)的實(shí)現(xiàn)為數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容和方法帶來(lái)新啟示,各種計(jì)算機(jī)軟件和編程對(duì)于模型求解、算法實(shí)現(xiàn)等方面起到了關(guān)鍵作用,同時(shí)對(duì)教學(xué)也提出新的挑戰(zhàn)。