指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)量估算教學(xué)設(shè)計(jì)

周月霞

核心素養(yǎng)著力于人的發(fā)展，是學(xué)生應(yīng)具備的，為其終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所需的必備品格和關(guān)鍵能力。在這些關(guān)鍵能力中，估計(jì)是重要的數(shù)學(xué)能力之一，也被認(rèn)為是數(shù)感的重要組成部分。Beishuizen認(rèn)為，快速而相對(duì)準(zhǔn)確的估計(jì)能力有兩個(gè)重要作用：一是可以讓學(xué)生通過(guò)其他方式檢查自己答案的合理性；二是可以幫助學(xué)生發(fā)展較好的位值理解、數(shù)學(xué)操作和一般數(shù)感。數(shù)量估算是一種有關(guān)數(shù)字判斷的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決形式，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的一種適應(yīng)性問(wèn)題解決方式。數(shù)量估算是在沒(méi)有足夠時(shí)間數(shù)出物體的數(shù)量，或要數(shù)的物體數(shù)量過(guò)大，或?qū)Ψ庆o止的物體根本無(wú)法做出計(jì)數(shù)的情況下做出的一種粗略估計(jì)，是一種高層次的認(rèn)知加工過(guò)程。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》只提到估算與估測(cè)，而沒(méi)有提及估數(shù)，對(duì)于與學(xué)生對(duì)數(shù)和量的理解及其數(shù)感的發(fā)展密切相關(guān)的量的估算，包括測(cè)量估算和數(shù)量估算也強(qiáng)調(diào)得不夠。然而，在整個(gè)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域正從強(qiáng)調(diào)計(jì)算走向強(qiáng)調(diào)問(wèn)題解決和推理能力的今天，量化估算能力的發(fā)展更能有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的發(fā)展。

一、內(nèi)容梳理

數(shù)量估算是數(shù)值估算的一種形式，是在不數(shù)數(shù)的情況下采取某種策略對(duì)所呈現(xiàn)的集合給出一個(gè)近似的基數(shù)值的能力，其本質(zhì)是通過(guò)數(shù)字判斷解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，人們通常所說(shuō)的“大約是多少”就屬于數(shù)量估算。小學(xué)階段的數(shù)量估算主要涉及如下頁(yè)圖1所示的教學(xué)內(nèi)容。

這些數(shù)量估算一般安排在數(shù)的認(rèn)識(shí)之后的練習(xí)或?qū)嵺`活動(dòng)中，往往需要借助基本的計(jì)數(shù)單位“十”“百”“萬(wàn)”等來(lái)進(jìn)行翻倍估計(jì)，或借助已有的長(zhǎng)度單位、質(zhì)量單位、時(shí)間單位等“第三方”來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)換估計(jì)，或借助生活中學(xué)生熟悉的參照物“一把”“一杯”等來(lái)進(jìn)行比對(duì)估計(jì)，呈現(xiàn)出如下圖2所示的認(rèn)知建構(gòu)過(guò)程。

圖1 小學(xué)階段數(shù)量估算主要內(nèi)容

圖2 數(shù)量估算認(rèn)知建構(gòu)過(guò)程

二、目標(biāo)架構(gòu)

從學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)和估數(shù)方法提升的角度，上述數(shù)量估算內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定如下表1所示。

表1 小學(xué)階段數(shù)量估算教學(xué)目標(biāo)

三、過(guò)程推進(jìn)

數(shù)量估算被看作靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的一種適應(yīng)性問(wèn)題解決方式。根據(jù)這一界定，如果僅僅只是數(shù)學(xué)知識(shí)掌握得好而不懂得靈活運(yùn)用，在完成數(shù)量估算任務(wù)時(shí)也會(huì)感到困難。估數(shù)過(guò)程中學(xué)生注意力的集中度與持久性也會(huì)對(duì)估數(shù)的結(jié)果產(chǎn)生直接影響，這就要求教學(xué)活動(dòng)要能激發(fā)和調(diào)動(dòng)學(xué)生的多感官參與，并關(guān)注方法的選擇和策略的生成。

（一）借助計(jì)數(shù)單位，在操作中感受估數(shù)的樂(lè)趣

低年級(jí)學(xué)生的身心發(fā)展處于初期階段，教師必須注意把握這一關(guān)鍵期，向他們充分展示估算的魅力，激發(fā)其好奇心。動(dòng)手操作是解決數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性與低年級(jí)學(xué)生以具體形象思維為主的思維水平之間矛盾的重要手段，有利于學(xué)生借助直觀建立表象而形成概念。如蘇教版一下“認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)”單元安排了如下圖3所示的練習(xí)。課后還可以引導(dǎo)學(xué)生利用這樣的數(shù)量估算經(jīng)驗(yàn)估一估一沓作業(yè)本的數(shù)量、一把糖果的數(shù)量等，這將有助于提高學(xué)生的實(shí)踐能力。這樣的活動(dòng)，一方面能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位“十”的表象的建立，另一方面可以使學(xué)生初步感受估數(shù)的活動(dòng)，了解估數(shù)的意思。

（圖3）

（二）依據(jù)參照物，在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)估數(shù)的奧秘

隨著學(xué)生認(rèn)識(shí)的數(shù)逐漸變大，估數(shù)的難度也逐漸增大，這時(shí)，學(xué)生需要通過(guò)動(dòng)手操作、親身體驗(yàn)等來(lái)形成對(duì)較大數(shù)的估算能力。蘇教版一下“認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)”單元后面安排了一節(jié)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課《我們認(rèn)識(shí)的數(shù)》。筆者教學(xué)如下圖4所示的例題時(shí)設(shè)計(jì)了三大環(huán)節(jié)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了“估數(shù)—驗(yàn)證—反思—調(diào)整—再估數(shù)”的過(guò)程，使學(xué)生對(duì)百以內(nèi)數(shù)的實(shí)際大小形成了更為清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)估數(shù)的方法和估數(shù)中的一些規(guī)律有了初步的感悟，對(duì)數(shù)量的感知水平也得到了進(jìn)一步提高。

（圖4）

首先，筆者設(shè)計(jì)“指導(dǎo)抓法，確定標(biāo)準(zhǔn)”作為估數(shù)的準(zhǔn)備環(huán)節(jié)，通過(guò)讓學(xué)生試著抓一抓，了解到每個(gè)學(xué)生對(duì)“抓一把”的理解有很大不同，有的抓得太滿，有的是用手托著，還有的為了盡可能抓多一些，就用兩只手捧了一把。標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，相關(guān)估數(shù)活動(dòng)就沒(méi)有意義。于是，教師及時(shí)出示下圖5，讓學(xué)生對(duì)圖中的三種不同抓法進(jìn)行討論，明確哪一種抓法更恰當(dāng)。

（圖5）

在此基礎(chǔ)上，筆者帶領(lǐng)學(xué)生“以他人為參照，初次嘗試估數(shù)”，通過(guò)抓前估一估、抓后數(shù)一數(shù)、比完想一想這樣的方式，明晰要跟合適的對(duì)象進(jìn)行比較，以同學(xué)的數(shù)據(jù)為參照，同時(shí)發(fā)現(xiàn)抓同樣的物品，其數(shù)量多少與手的大小有關(guān)，從而提升學(xué)生的估數(shù)能力和靈活判斷能力。

抓一把蠶豆的數(shù)量為后續(xù)教學(xué)提供了可參考的標(biāo)尺。學(xué)生開(kāi)始“以自己為參照，再次體驗(yàn)估數(shù)”。他們帶著估計(jì)抓一把蠶豆大約有多少粒的經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)估計(jì)抓一把花生米的數(shù)量。通過(guò)追問(wèn)“你是怎樣估的？能分享你的方法嗎？”，讓學(xué)生體會(huì)到同一個(gè)人抓不同的物體，抓的數(shù)量不同。

隨著活動(dòng)的推進(jìn)，學(xué)生就可以“以方法為抓手，靈活估計(jì)”。所有學(xué)生都能估計(jì)出抓黃豆的數(shù)量會(huì)更多。推理能力強(qiáng)、數(shù)感好的學(xué)生甚至能根據(jù)蠶豆、花生與黃豆的大小關(guān)系非常接近地估計(jì)出它們的粒數(shù)。由于每個(gè)人的手大小不同、抓法稍有差異，對(duì)估計(jì)的結(jié)果是否接近不做更高要求。通過(guò)這樣的實(shí)踐活動(dòng)，既可以使學(xué)生感受到數(shù)量估算在生活中無(wú)處不在，也滲透了估算方法學(xué)習(xí)。

（三）依托度量單位，在轉(zhuǎn)化中發(fā)展估數(shù)的能力

學(xué)習(xí)千以內(nèi)的數(shù)、萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)，甚至億以內(nèi)的數(shù)，再讓學(xué)生去圈一圈、數(shù)一數(shù)顯然已經(jīng)不適合了。那么，較大的數(shù)如何讓學(xué)生感受它的大小，如何在生活中估算它的大小呢？這時(shí)，就需要打通數(shù)學(xué)各領(lǐng)域之間的知識(shí)，借助量來(lái)表達(dá)數(shù)的大小。例如：教學(xué)蘇教版四下的綜合與實(shí)踐活動(dòng)課《一億有多大》，筆者帶領(lǐng)學(xué)生完整地經(jīng)歷了“建立標(biāo)準(zhǔn)—依次推算—單位轉(zhuǎn)換—感受大小”的估算過(guò)程，使他們深入體會(huì)一億的大小，感受實(shí)際應(yīng)用中數(shù)量估算方法的適切性、靈活性，提高了他們的估算能力。

1.數(shù)一數(shù)：數(shù)一億本練習(xí)本大約需要多長(zhǎng)時(shí)間？

師生合作，記錄數(shù)100 本練習(xí)本的時(shí)間，作為推算的參照。

獨(dú)立推算數(shù)10000 本、1000000 本、100000000 本所需的時(shí)間。

借助計(jì)算機(jī)計(jì)算數(shù)一億本練習(xí)本需要幾年。

從一開(kāi)始的不以為然到越算越驚訝，學(xué)生對(duì)一億到底有多大有了更深刻的體悟，也對(duì)借助時(shí)間來(lái)感受數(shù)量的大小這一方法有了初步的認(rèn)識(shí)。

2.量一量：30 層大樓大約高100 米，一億枚硬幣摞起來(lái)會(huì)有30 層樓高嗎？

先猜一猜，很多學(xué)生因?yàn)橛辛饲懊娴捏w驗(yàn)，對(duì)一億有多大有了些敬畏之心，所以都猜比30層大樓高。

合作測(cè)量10 枚硬幣摞起來(lái)高幾厘米，以此作為參照進(jìn)行推算。

獨(dú)立計(jì)算100 枚、10000 枚、1000000 枚、100000000 枚硬幣摞起來(lái)的高度。

通過(guò)單位換算，明確一億枚硬幣摞起來(lái)有多高。

經(jīng)過(guò)測(cè)量、計(jì)算和單位換算，學(xué)生連連驚呼，感嘆聚沙成塔、積少成多的道理，對(duì)于數(shù)與量的關(guān)系也有了更深刻的感受。

3.稱一稱：100 粒大米大約有多重？

由此推算：我國(guó)大約13 億人，如果每人每天節(jié)約1 粒大米，全國(guó)一天大約能節(jié)約多少克大米？如果每人每天吃400 克大米，節(jié)省下來(lái)的大米大約可供一個(gè)人吃多少天？是多少年？

有了上面的方法積累和活動(dòng)體驗(yàn)，學(xué)生能夠耐心而又快捷地進(jìn)行推算。有的是一位一位推算過(guò)去，有的是借助質(zhì)量單位之間的進(jìn)率三個(gè)零三個(gè)零地劃去，很快得到了結(jié)果。在這個(gè)情境活動(dòng)中，學(xué)生深刻感受到在我們這樣一個(gè)人口大國(guó)，一粒米、一滴水都要格外珍惜。

如此，數(shù)量估算就在計(jì)數(shù)單位的累加、參照物的比對(duì)和數(shù)與量的轉(zhuǎn)化中得以逐步滲透，并逐漸轉(zhuǎn)化為學(xué)生的一種自覺(jué)自能，使核心素養(yǎng)在數(shù)量估算教學(xué)中真正落地生根。