解析幾何易錯(cuò)題歸類(lèi)剖析

■河南省項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué) 尚曉琳

同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí),由于對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解不透徹,或考慮問(wèn)題不全面等,可能會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤。本文分析了解析幾何問(wèn)題中的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn),希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)能有所幫助。

一、傾斜角與斜率的關(guān)系中忽略斜率不存在的情況

例1(1)當(dāng)a=3時(shí),直線(xiàn)a x+(a-3)y-1=0的傾斜角是____。

(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為x+y·cosθ+3=0(θ∈R),則直線(xiàn)l的傾斜角?的取值范圍是____。

考查意圖：本題考查直線(xiàn)的傾斜角、斜率及它們之間的關(guān)系,著重考查運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合的思想。

答案解析：(1)當(dāng)a=3時(shí),直線(xiàn)為3x-,所以?xún)A斜角是90°。

(2)當(dāng)cosθ=0時(shí),x=-3,傾斜角是90°。

易錯(cuò)點(diǎn)：①易忽略cosθ=0的情況,此時(shí)斜率不存在;②不會(huì)用斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如圖1所示。

復(fù)習(xí)建議：①斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系;②傾斜角的范圍:當(dāng)直線(xiàn)與x軸平行或者重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角是0°,直線(xiàn)的傾斜角范圍是[0°,180°)。當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí),傾斜角是90°。當(dāng)時(shí),斜率k≥0,斜率的值隨著傾斜角的增大而增大;時(shí),斜率k＜0,斜率的值隨著傾斜角的增大而減小。

圖1

二、忽略圓錐曲線(xiàn)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

例2若點(diǎn)M（5,3）到拋物線(xiàn)y=a x2的準(zhǔn)線(xiàn)的距離是6,則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )。

考查意圖：本題主要考查拋物線(xiàn)方程的四種標(biāo)準(zhǔn)形式。

答案解析：將y=a x2化為

綜上,拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=1 2y或x2=-3 6y。故選D。

易錯(cuò)點(diǎn)：①誤認(rèn)為焦點(diǎn)在x軸上;②忽略a的正負(fù)在確定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向上的不同。

知識(shí)點(diǎn)撥：①求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,常用待定系數(shù)法,因?yàn)橹恍璐_定未知量p;②拋物線(xiàn)方程的四種標(biāo)準(zhǔn)形式,求方程時(shí),應(yīng)先定位,再定量。

三、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系中易忽略斜率不存在的直線(xiàn)與圓相切

例3已知圓x2+y2=1和圓外一點(diǎn)P（1 , 2）,過(guò)點(diǎn)P作圓的切線(xiàn),則切線(xiàn)方程為_(kāi)___。

考查意圖：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系。

答案解析：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),直線(xiàn)方程x=1,該直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)的方程是y-2=k(x-1),即k x-y-k+2=0。

綜上,圓的切線(xiàn)方程為3x-4y+5=0或x=1。

易錯(cuò)點(diǎn)：易忽略斜率不存在的切線(xiàn)。

知識(shí)點(diǎn)撥：①過(guò)圓上一點(diǎn),只有一條切線(xiàn);②過(guò)圓外一點(diǎn),有兩條切線(xiàn),如果求出的切線(xiàn)只有一條,那么需要結(jié)合圖形把斜率不存在的那條切線(xiàn)補(bǔ)上。

四、忽視圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)定義

例4平面內(nèi)與定點(diǎn)A（-1,2）和定直線(xiàn)x+2y-3=0的距離相等的點(diǎn)M的軌跡是( )。

A.直線(xiàn) B.拋物線(xiàn)

C.橢圓 D.圓

考查意圖：本題主要考查拋物線(xiàn)的定義。

答案解析：易證點(diǎn)M在直線(xiàn)x+2y-3=0上,所以點(diǎn)M的軌跡為過(guò)原點(diǎn)且與已知直線(xiàn)垂直的直線(xiàn),故正確答案為A。

易錯(cuò)點(diǎn)：忽視拋物線(xiàn)的嚴(yán)格定義。