DGM(2，1)模型在沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

石勇，張西軍，肖先華

(1.重慶市勘測(cè)院，重慶 401121； 2.重慶市智能感知大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，重慶 401121；3.沈陽(yáng)市勘察測(cè)繪研究院，遼寧 沈陽(yáng) 110004)

1 引 言

通過(guò)對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行沉降監(jiān)測(cè)，掌握監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位置變化，監(jiān)測(cè)點(diǎn)的累計(jì)沉降量較多情況下存在隨著周期的增長(zhǎng)沉降速度變緩的情況。變形預(yù)報(bào)是變形監(jiān)測(cè)不可或缺的環(huán)節(jié)，如何能精確地預(yù)測(cè)出沉降變化，是正待解決的問(wèn)題?；疑A(yù)測(cè)是一種預(yù)測(cè)沉降量的方法，傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型有GM(1，1)、DGM(1，1)、Verhulst[1～3]。在此基礎(chǔ)上發(fā)展出了許多模型，如NDGM(1，1)、GOM(1，1)、殘差GM(1，1)、綜合優(yōu)化GM(1，1)、間接DGM(1，1)、動(dòng)態(tài)DGM(1，1)、優(yōu)化Verhulst模型等[4～10]。這些模型與其他模型相結(jié)合，產(chǎn)生新的組合模型，例如GM-AR、BP-GM、Verhulst-BP等等[11～14]。

隨著監(jiān)測(cè)周期的增加，沉降速度變緩，本文對(duì)這種特性的累計(jì)沉降量序列進(jìn)行分析預(yù)測(cè)。結(jié)合變形監(jiān)測(cè)實(shí)例，利用GM(1，1)、DGM(1，1)、DGM(2，1)三種模型對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的累計(jì)沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明GM(1，1)模型、DGM(1，1)模型不能適應(yīng)累計(jì)沉降量序列的變化，預(yù)測(cè)值嚴(yán)重偏離實(shí)測(cè)值，預(yù)測(cè)值失真。DGM(2，1)模型適應(yīng)數(shù)據(jù)列變化的能力較強(qiáng)，可以合理地做出預(yù)測(cè)，精度高于另外兩種模型。

2 GM(1，1)模型

建立關(guān)于序列x1的白化方程：

(1)

通過(guò)最小二乘法求得：

[a，b]T=(BTB)-1BTYN

(2)

方程(1)的解為：

(3)

累減生成可得還原數(shù)據(jù)為：

(4)

3 DGM(1，1)模型

(5)

稱為離散灰色模型，即DGM(1，1)模型。

令λ=[λ1，λ2]T為參數(shù)列，由最小二乘法求得：

λ=[λ1，λ2]T=(BTB)-1BTY

(6)

(7)

還原值為：

(8)

4 DGM(2，1)模型

(9)

稱之為DGM(2，1)模型的白化方程。

令U=[a，b]T，通過(guò)最小二乘法求得：

U=(BTB)-1Y

(10)

求解白化方程(9)得到：

(11)

由式(11)作累減還原得預(yù)測(cè)值序列為：

(12)

5 實(shí)例分析

對(duì)某碼頭附近邊坡進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)，本監(jiān)測(cè)共布設(shè)33個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，共進(jìn)行15周期，每5天為一觀測(cè)周期。本文選取其中的一點(diǎn)進(jìn)行分析，該點(diǎn)15周期的累計(jì)沉降量如表1所示。

觀察表1的累計(jì)沉降量值，發(fā)現(xiàn)累計(jì)沉降量在前5周期增長(zhǎng)速度較大，第6～8周期增長(zhǎng)速度開始放緩，第7周期以后隨著周期的增長(zhǎng)，累計(jì)沉降量增長(zhǎng)速度基本呈逐漸減小的趨勢(shì)。

以2～8周期的累計(jì)沉降量為建模數(shù)據(jù)，運(yùn)用MATLAB實(shí)現(xiàn)具體的算法，得到三種模型在9～15周期的累計(jì)沉降量預(yù)測(cè)值，三種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示，平均相對(duì)誤差如表3所示。

三種模型的預(yù)測(cè)值及殘差值 表2

三種模型的平均相對(duì)誤差 表3

比較三種模型的平均相對(duì)誤差，GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型的平均相對(duì)誤差遠(yuǎn)大于DGM(2，1)模型。DGM(2，1)模型殘差值較小，遠(yuǎn)小于GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型的殘差值，這說(shuō)明DGM(2，1)模型的預(yù)測(cè)精度遠(yuǎn)高于另外兩種模型，DGM(2，1)模型取得了較好的預(yù)測(cè)效果。GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型的殘差值已經(jīng)達(dá)到不可接受的程度，模型已經(jīng)不再適用。

為更直觀地表現(xiàn)出預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值的偏離程度，繪制了三種模型的預(yù)測(cè)曲線。如圖1所示：

圖1 三種模型預(yù)測(cè)曲線

圖1反映了預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的接近程度，DGM(2，1)模型預(yù)測(cè)值十分接近實(shí)測(cè)值，可真實(shí)地反映實(shí)測(cè)值的變化，隨著周期增長(zhǎng)并沒(méi)有出現(xiàn)大幅度偏離實(shí)測(cè)值的情況，表現(xiàn)出了良好的預(yù)測(cè)效果。另外兩種模型的預(yù)測(cè)值已經(jīng)嚴(yán)重偏離實(shí)測(cè)值，預(yù)測(cè)值完全失真。

分析原始數(shù)據(jù)，前期數(shù)據(jù)增長(zhǎng)速度較快，隨著周期的增長(zhǎng)，沉降速度逐漸較小，存在較為明顯的沉降加速度。使用GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，這兩種模型不能及時(shí)感應(yīng)到沉降速度的變化，預(yù)測(cè)過(guò)程中沒(méi)有顧及沉降加速度對(duì)預(yù)測(cè)值的影響，預(yù)測(cè)值持續(xù)大幅度增大，致使預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值出現(xiàn)嚴(yán)重偏差。GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型對(duì)數(shù)據(jù)列變化的適應(yīng)性較差，而DGM(2，1)模型在對(duì)這種前后增長(zhǎng)速度不同的數(shù)據(jù)列進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，預(yù)測(cè)過(guò)程中減弱了沉降加速度對(duì)預(yù)測(cè)值的影響，可以較好地適應(yīng)數(shù)據(jù)列的變化，預(yù)測(cè)精度較高。

6 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于前期數(shù)據(jù)增長(zhǎng)速度大于后期的累計(jì)沉降量序列，利用GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，這兩種模型不能及時(shí)感應(yīng)到沉降速度的變化，預(yù)測(cè)值持續(xù)大幅度增長(zhǎng)，致使預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值出現(xiàn)嚴(yán)重偏差，預(yù)測(cè)值失真。而DGM(2，1)模型在面對(duì)這種類型的數(shù)據(jù)列時(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)列變化的適應(yīng)性較好，預(yù)測(cè)過(guò)程中減弱了沉降加速度對(duì)預(yù)測(cè)值的影響，預(yù)測(cè)精度遠(yuǎn)高于GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型。