廣義四參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布密度函數(shù)的圖像特征

王蓉華，顧蓓青，徐曉嶺

（1.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234；2.上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院，上海 201620）

0 引言

Birnbaum-Saunders模型是概率物理方法中的一個(gè)重要失效分布模型，這個(gè)模型是Birnbaum和Sauders于1969年在研究主因裂紋擴(kuò)展導(dǎo)致的材料失效過(guò)程中推導(dǎo)出來(lái)的，這一模型在機(jī)械產(chǎn)品可靠性研究中應(yīng)用廣泛，主要應(yīng)用于疲勞失效研究，對(duì)于電子產(chǎn)品性能退化失效分析也有重要應(yīng)用。

設(shè)X服從兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α，β)，其分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)分別為：

其中，α＞0稱為形狀參數(shù)，β＞0稱為刻度參數(shù)（或者稱為尺度參數(shù)），φ(x)，Φ(x)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)，即：

由于Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布是從疲勞過(guò)程的基本特征出發(fā)導(dǎo)出的，因此它比常用壽命分布如威布爾分布,對(duì)數(shù)正態(tài)分布更適合描述某些由于疲勞而引起失效的產(chǎn)品壽命規(guī)律。此分布已經(jīng)成為可靠性統(tǒng)計(jì)分析中的常用分布之一。

已有眾多的文獻(xiàn)對(duì)兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α，β)進(jìn)行了研究[1-7]，值得指出的是，Owen[8]首次提出一種廣義三參數(shù)BS疲勞壽命分布，在此記為GBSI(m，α，β) ，其 分 布 函 數(shù) 的 形 式 為 ：F(x)=Φ其后 Diaz-Garcia等[9]、Fierro等[10]也都對(duì)GBSI(m，α，β)分布作過(guò)初步研究，Chacko等[11]專門對(duì)GBSI(m，α，β)分布作了研究，畫出了該分布密度函數(shù)的圖像，討論了其簡(jiǎn)單的性質(zhì)，并寫出了似然函數(shù)的形式。Owen[12]也提出了一種新的廣義三參數(shù)BS疲勞壽命分布，在此 記 為GBSII(m，α，β)，其 分布函 數(shù) 的形式 為 ：，研究了參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，其涉及到一個(gè)復(fù)雜的二元超越方程的求解問(wèn)題。

本文提出一種廣義四參數(shù)BS疲勞壽命分布GBS(m1，m2，α，β)，研究了該分布的性質(zhì)及密度函數(shù)的圖像特征。

1 廣義四參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布GBS(m1,m2,α,β )

設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量λ(x)服從廣義四參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布GBS(m1，m2，α，β)，其分布函數(shù)f(x)與密度函數(shù)分別為：

其中，x＞0，α＞0，β＞0，m1＞0，m2＞0

特別地，（1）若取m1=m2=m，β′=β1/(2m)，此時(shí)

參數(shù)BS疲勞壽命分布GBSI(m，α，β′)。

（2）若取m1=1-m，m2=m，0＜m＜1，此時(shí)F(x)=Φ即為文獻(xiàn)[12]中的廣義三參數(shù)BS疲勞壽命分布GBSII(m，α，β)。

（3）若取m1=m2=0.5，即為兩參數(shù)BS疲勞壽命分布BS(α，β)。

定理1：設(shè)X～GBS(m1，m2，α，β)，其分布函數(shù)、密度函數(shù)分別記為F(x)，f(x) ，記Y=X-1，則：（1）Y～GBS(m2，（3）密度函數(shù)f(x)的圖像特征為“單峰”（即“倒浴盆”形）或“雙峰”（即“M”形），也有可能呈“三峰”。

2 分情況討論

（1）若g2(y)≤0，g′1(y)≤0時(shí)

由此，f(x)的圖像是“先嚴(yán)格單調(diào)增加后嚴(yán)格單調(diào)下降”，即呈“倒浴盆”形。

由此，f(x)的圖像是“先嚴(yán)格單調(diào)增加后嚴(yán)格單調(diào)下降”，即呈“倒浴盆”形。

（a）當(dāng)g1(y)≤0時(shí)，g′(y)≤0，易見(jiàn)f(x)的圖像是“先嚴(yán)格單調(diào)增加后嚴(yán)格單調(diào)下降”，即呈“倒浴盆”形。

（b）存在y11，y12，y11＜y12有g(shù)1(y11)=g1(y12)=0 時(shí)，當(dāng)0＜y＜y11時(shí) ，g1(y)＜0 ，g′(y)＜0 ；當(dāng)y11＜y＜y12時(shí) ，g1(y)＞0，g′(y)＞0；當(dāng)y＞y12時(shí)，g1(y)＜0，g′(y)＜0

若 存 在y0有g(shù)(y0)=0 ，當(dāng) 0＜y＜y0時(shí) ，g(y)＞0，f′(x)＞0 ；當(dāng)y＞y0時(shí)，g(y)＜0，f′(x)＜0 ，即f(x)的圖像是“先嚴(yán)格單調(diào)增加后嚴(yán)格單調(diào)下降”，呈“倒浴盆”形 。 若 存 在y01，y02，y03，y01＜y02＜y03有g(shù)(y01)=g(y02)=g(y03)=0 ，當(dāng) 0＜y＜y01時(shí) ，g(y)＞0，f′(x)＞0 ；當(dāng)y01＜y＜y02時(shí) ，g(y)＜0，f′(x)＜0 ；當(dāng)y02＜y＜y03時(shí) ，g(y)＞0，f′(x)＞0；當(dāng)y＞y03時(shí)，g(y)＜0，f′(x)＜0

則f(x)的圖像是“先嚴(yán)格單調(diào)增加再嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)增加最后再嚴(yán)格單調(diào)下降”，呈“M”形，f(x)具有“雙峰”特征。

（a）存 在y1有g(shù)1(y1)=0 ，當(dāng) 0＜y＜y1時(shí) ，g1(y)＞0，g′(y)＞0 ；當(dāng)y＞y1時(shí)，g1(y)＜0，g′(y)＜0 ，則f(x)的圖像是“先嚴(yán)格單調(diào)增加后嚴(yán)格單調(diào)下降”，即呈“倒浴盆”形。

（b）存 在y11，y12，y13，y11＜y12＜y13有g(shù)1(y11)=g1(y12)=g1(y13)=0 時(shí)，當(dāng) 0＜y＜y11時(shí)，g1(y)＞0 ，g′(y)＞0 ；當(dāng)y11＜y＜y12時(shí) ，g1(y)＜0，g′(y)＜0 ；當(dāng)y12＜y＜y13時(shí) ，g1(y)＞0，g′(y)＞0 ；當(dāng)y＞y13時(shí)，g1(y)＜0，g′(y)＜0

若存在y0有g(shù)(y0)=0，當(dāng) 0＜y＜y0時(shí)，g(y)＞0，f′(x)＞0 ；當(dāng)y＞y0時(shí)，g(y)＜0，f′(x)＜0，即f(x)的圖像是“先嚴(yán)格單調(diào)增加后嚴(yán)格單調(diào)下降”，呈“倒浴盆”形。若存在y01，y02，y03，y01＜y02＜y03有g(shù)(y01)=g(y02)=g(y03)=0 ，當(dāng)0＜y＜y01時(shí)，g(y)＞0，f′(x)＞0 ；當(dāng)y01＜y＜y02時(shí)，g(y)＜0，f′(x)＜0；當(dāng)y02＜y＜y03時(shí)，g(y)＞0，f′(x)＞0；當(dāng)y＞y03時(shí)，g(y)＜0，f′(x)＜0

則f(x)的圖像是“先嚴(yán)格單調(diào)增加再嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)增加最后再嚴(yán)格單調(diào)下降”，呈“M”形，f(x)具有“雙峰”特征。

針對(duì)情形二與情形三，f(x)的圖像可能是（1）“先嚴(yán)格單調(diào)增加后嚴(yán)格單調(diào)下降”，呈“倒浴盆”形；（2）“先嚴(yán)格單調(diào)增加再嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)增加最后再嚴(yán)格單調(diào)下降”，呈“M”形，具有“雙峰”特征。針對(duì)情形四，f(x)的圖像可能是（1）“先嚴(yán)格單調(diào)增加后嚴(yán)格單調(diào)下降”，呈“倒浴盆”形；（2）“先嚴(yán)格單調(diào)增加再嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)增加最后再嚴(yán)格單調(diào)下降”，呈“M”形，具有“雙峰”特征；（3）“先嚴(yán)格單調(diào)增加后嚴(yán)格單調(diào)下降再嚴(yán)格單調(diào)增加再嚴(yán)格單調(diào)下降最后再嚴(yán)格單調(diào)下降”，具有“三峰”特征。值得注意的是，針對(duì)不同的參數(shù)考察其密度函數(shù)的圖像，發(fā)現(xiàn)“三峰”現(xiàn)象并沒(méi)有出現(xiàn)。

針對(duì)不同的參數(shù)取值，其密度函數(shù)f(x)的圖像見(jiàn)圖1至圖4所示：

圖1 α=1，β=1，m1=2，m2=3

圖2 α=10，β=1，m1=2，m2=3

類似于定理1的證明，針對(duì)GBSI(m，α，β)、GBSII(m，α，β)分布分別得到如下定理2與定理3的結(jié)論。

定理2：設(shè)X～GBSI(m，α，β)，則（1）當(dāng)0＜m≤1時(shí)，X的密度函數(shù)f(x)呈“倒浴盆”形；（2）當(dāng)m＞1且時(shí)，f(x)呈“倒浴盆”形；（3）當(dāng)m＞1且有可能呈“單峰”或“雙峰”形。

圖3 α=10，β=1，m1=4，m2=2

圖4 α=1，β=1，m1=0.5，m2=0.4

定理3：設(shè)X～GBSII(m，α，β)，則當(dāng)m＞0.5時(shí)，X的密度函數(shù)f(x)有可能呈“倒浴盆”形，也有可能呈“雙峰”形；當(dāng)m＜0.5時(shí)，f(x)有可能呈“倒浴盆”形，也有可能呈“雙峰”形或“三峰”形。

值得注意的是，針對(duì)不同的參數(shù)考察其密度函數(shù)的圖像，發(fā)現(xiàn)當(dāng)0＜m＜0.5時(shí)，并沒(méi)有“三峰”現(xiàn)象沒(méi)有出現(xiàn)，而當(dāng)0.5＜m＜1時(shí)，沒(méi)有“雙峰”現(xiàn)象出現(xiàn)。

3 結(jié)論

本文對(duì)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布進(jìn)行了推廣，提出了一種廣義四參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布GBS(m1，m2，α，β)，而兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α，β)、廣義三參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布GBSI(m，α，β)和GBSII(m，α，β)都是其取特定參數(shù)后的特殊情況。同時(shí)，研究了該分布的性質(zhì)及密度函數(shù)的圖像特征，其密度函數(shù)可能呈現(xiàn)“單峰”、“雙峰”或“三峰”的形態(tài)，因此可以用它更好地?cái)M合一些失效產(chǎn)品的壽命規(guī)律。