全國(guó)名校拋物線拔高卷（B 卷）

■河南省汝陽(yáng)一高 劉俊報(bào)

一、選擇題

2.拋物線y2=2p x(p＞0)上的動(dòng)點(diǎn)Q到其焦點(diǎn)的距離的最小值為1,則p=( )。

3.如圖1,在同一平面內(nèi),A、B為兩個(gè)不同的定點(diǎn),圓A和圓B的半徑都為r,射線A B交圓A于點(diǎn)P,過(guò)P作圓A的切線l,當(dāng)變化時(shí),切線l與圓B的公共點(diǎn)的軌跡是( )。

圖1

A.圓 B.橢圓

C.雙曲線的一支 D.拋物線

4.已知m,n∈R,則“m n＜0”是“拋物線m x2+n y=0的焦點(diǎn)在y軸正半軸上”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

5.已知拋物線y2=4x,過(guò)焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于點(diǎn)A,B,設(shè)|A F|=m,|B F|=n,則m+n的最小值為( )。

6.已知拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足∠A F B=60°。設(shè)線段A B的中點(diǎn)M在準(zhǔn)線l上的投影為N,則( )。

7.拋物線x2=8y的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)P為x軸正半軸上任意一點(diǎn),則

A.-20 B.12 C.-12 D.20

8.如果P1,P2,…,Pn是拋物線C:y2=4x上的點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)依次為x1,x2,…,xn,點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn),若x1+x2+…+xn=10,則|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=( )。

A.n+10 B.n+20

C.2n+10 D.2n+20

9.F是拋物線y2=2x的焦點(diǎn),以F為端點(diǎn)的射線與拋物線相交于A,與拋物線的準(zhǔn)線相交于B,若( )。

10.過(guò)拋物線C:y=x2的焦點(diǎn)且垂直于y軸的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)。關(guān)于拋物線C在A,B兩點(diǎn)處的切線,有下列四個(gè)命題,其中真命題有( )。

①兩切線互相垂直;②兩切線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);③過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程為;④兩切線方程為y=±x-1。

A.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè) D.4個(gè)

11.已知點(diǎn)A是拋物線y2=2p x(p＞0)上的一點(diǎn),若以其焦點(diǎn)F為圓心,以|F A|為半徑的圓交拋物線的準(zhǔn)線于B、C兩點(diǎn),設(shè)∠B F C=θ且滿足2 s i n2θ+s i nθ-s i n2θ=當(dāng)△A B C的面積為時(shí),則實(shí)數(shù)p的值為( )。

12.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),A B|=6,則A B中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

13.若拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是F,準(zhǔn)線是l,點(diǎn)M(4,m)是拋物線上一點(diǎn),則經(jīng)過(guò)點(diǎn)F、M且與l相切的圓共有( )。

A.0個(gè) B.1個(gè)

C.2個(gè) D.4個(gè)

14.已知點(diǎn)F為拋物線y2=-8x的焦點(diǎn),O為原點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A在拋物線上,且|A F|=4,則|P A|+P O|的最小值為( )。

15.點(diǎn)P在直線l:y=x-1上,若存在過(guò)P的直線交拋物線y=x2于A、B兩點(diǎn),且|P A|=2|A B|,則稱(chēng)點(diǎn)P為“δ點(diǎn)”。下列結(jié)論中正確的是( )。

A.直線l上的所有點(diǎn)都是“δ點(diǎn)”

B.直線l上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“δ點(diǎn)”

C.直線l上的所有點(diǎn)都不是“δ點(diǎn)”

D.直線l上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)是“δ點(diǎn)”,但不是所有的都是“δ點(diǎn)”

16.過(guò)拋物線y2=x的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),且直線l的傾斜角θ,點(diǎn)A在x軸上方,則|F A|的取值范圍是( )。

17.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作斜率為1的直線l交拋物線C于兩點(diǎn),則的值為( )。

18.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△F PM是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí),其面積為( )。

19.如圖2,在正方體A B C D-A1B1C1D1中,P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),PM垂直A D于M,|PM|=|P B|,則點(diǎn)P的軌跡為( )。

A.線段

B.橢圓的一部分

C.拋物線的一部分

D.雙曲線的一部分

圖2

20.已知直線y=k(x+2)(k＞0)與拋物線C:y2=8x相交于A、B兩點(diǎn),F為拋物線C的焦點(diǎn),若|F A|=2|F B|,則k的值為( )。

21.已知點(diǎn)A是拋物線M:y2=2p x(p＞0)與圓C:x2+(y-4)2=a2在第一象限的公共點(diǎn),且點(diǎn)A到拋物線M的焦點(diǎn)F的距離等于a,若拋物線M上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則直線O A被圓C所截得的弦長(zhǎng)為( )。

22.過(guò)拋物線y2=2p x(p＞0)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B,O是坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )。

24.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線C上一點(diǎn),P Q垂直l于點(diǎn)Q,M,N分別為P Q,P F的中點(diǎn),MN與x軸相交于點(diǎn)R,若∠NR F=60°,則|F R|等于( )。

25.拋物線C:y2=4x與直線l:y=k(x-2)交于點(diǎn)M、N兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線與ON交于A點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作拋物線C的切線,切點(diǎn)為B,切線A B與直線l′:x=2交于D點(diǎn)。已知點(diǎn)E(2,0),則|D E|2-|A E|2=( )。

A.8 B.-8 C.16 D.-16

26.拋物線C1:y2=4x和圓C2:(x-1)2+y2=1,直線l經(jīng)過(guò)拋物線C1的焦點(diǎn)F,依次交拋物線C1,圓C2于A,B,C,D四點(diǎn),則的值為( )。

27.已知拋物線C:y2=4x,若過(guò)點(diǎn)P(-2,0)作直線l與拋物線C交A,B兩個(gè)不同點(diǎn),且直線l的斜率為k,則k的取值范圍是( )。

28.若A、B是拋物線y2=x上關(guān)于直線x-y-3=0對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn),則|A B|=( )。

29.已知拋物線C:y2=x,過(guò)點(diǎn)P(a,0)的直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則a的取值范圍是( )。

30.已知F為拋物線M:y2=4x的焦點(diǎn),A,B,C為拋物線M上三點(diǎn),當(dāng)時(shí),稱(chēng)△A B C為“和諧三角形”,則拋物線上的點(diǎn)可構(gòu)成的“和諧三角形”有( )。

A.0個(gè) B.1個(gè)

C.3個(gè) D.無(wú)數(shù)個(gè)

31.斜率為k的直線l過(guò)拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點(diǎn)F,交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(x0,y0)為A B的中點(diǎn),作O Q⊥A B,垂足為Q,則下列結(jié)論中不正確的是( )。

32.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn),弦A B的中點(diǎn)M到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為5,則直線l的斜率為( )。

33.過(guò)拋物線x2=2y上兩點(diǎn)A、B分別作切線,若兩條切線互相垂直,則線段A B的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離的最小值為( )。

34.已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q,P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),|P F|=t|P Q|,當(dāng)t最小時(shí),點(diǎn)P恰好在以F,Q為焦點(diǎn)的橢圓上,則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為( )。

二、填空題

35.已知直線l:y=m x-4m與拋物線y2=2p x(p＞0)交于點(diǎn)A、B,以A B為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則拋物線的方程為 。

36.已知拋物線的方程為y2=2p x(p＞),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B為拋物線上的點(diǎn),若△O A B為等邊三角形,且面積為483,則p的值為_(kāi)___。

37.已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,M是拋物線C上一點(diǎn),若FM的延長(zhǎng)線交x軸的正半軸于點(diǎn)N,交拋物線C的準(zhǔn)線l于點(diǎn)T,且,則|NT|=____。

38.已知一條拋物線的焦點(diǎn)是直線l:y=-x-t(t＞0)與x軸的交點(diǎn),若拋物線與直線l交于點(diǎn)A、B,且

39.已知拋物線C:y2=2p x(p＞0)的焦點(diǎn)為F,E是拋物線C的準(zhǔn)線上位于x軸上方的一點(diǎn),直線E F與拋物線C在第一象限交于點(diǎn)M,在第四象限交于點(diǎn)N,且|EM|=|MF|=2,則點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為_(kāi)___。

40.已知拋物線y2=2p x的準(zhǔn)線方程為=-2,點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x+3的距離的最小值為_(kāi)___。

41.已知拋物線C:y2=2p x(p＞0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C相交于點(diǎn)M(點(diǎn)M位于第一象限),與它的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為4,|FM|∶|MN|=1∶3,則實(shí)數(shù)p=____。

43.若P是拋物線y2=8x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在以點(diǎn)C(2,0)為圓心,半徑長(zhǎng)等于1的圓上運(yùn)動(dòng),則|P Q|+|P C|的最小值為_(kāi)___。

44.已知拋物線C:y2=2p x(p＞0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn),以線段A B為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線切于,且△A O B的面積為,則拋物線C的方程為_(kāi)___。

45.如圖3,從點(diǎn)M(x0,4)發(fā)出的光線,沿平行于拋物線y2=8x的對(duì)稱(chēng)軸方向射向此拋物線上的點(diǎn)P,經(jīng)拋物線反射后,穿過(guò)焦點(diǎn)射向拋物線上的點(diǎn)Q,再經(jīng)拋物線反射后射向直線l:x-y-10=0上的點(diǎn)N,經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)M,則x0等于____。

46.拋物線y2=2p x(p＞0)的準(zhǔn)線與雙曲線x2-的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于2,則p=____。

圖3

47.M為拋物線y2=4x上一點(diǎn),且在第一象限,過(guò)點(diǎn)M作MN垂直該拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)N,F為拋物線的焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若四邊形O FMN的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上,則該圓的方程為_(kāi)___。

48.如圖4,過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于A,B,C三點(diǎn),若____。

圖4

49.已知點(diǎn)A是拋物線y2=2p x(p＞0)上一點(diǎn),F為其焦點(diǎn),以F為圓心、|F A|為半徑的圓交準(zhǔn)線于B,C兩點(diǎn),△F B C為正三角形,且△A B C的面積是,則拋物線的方程是____。

50.已知圓C1:x2+(y-2)2=4,拋物線C2:y2=2p x(p＞0),圓C1與拋物線C2相交于A,B兩點(diǎn),,則拋物線C的2方程為_(kāi)___。

51.過(guò)點(diǎn)F(2,0)作直線FM交y軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥MF交x軸于點(diǎn)N,延長(zhǎng)NM至點(diǎn)P,使得|NM|=|MP|,則P點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)___。

52.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l與拋物線C相切于Q點(diǎn),P是l上一點(diǎn)(不與Q重合),若以線段P Q為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)F,則|P F|的最小值是____。

53.已知拋物線C:y2=2p x(p＞0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),且直線l與圓0交于M,N兩點(diǎn),若|A B|=3|MN|,則直線l的斜率為_(kāi)___。

54.已知斜率為12的直線l與拋物線y2=2p x(p＞0)交于x軸上方的兩點(diǎn)A,B,記直線O A,O B的斜率分別為k1,k2,則k1+k2的取值范圍是____。

三、解答題

55.已知?jiǎng)訄AE經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D(1,0),且與直線x=-1相切,設(shè)動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程。

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線l1,l2分別與曲線C交于點(diǎn)A,B,直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ),證明:直線A B的斜率為定值。

56.設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),F是拋物線x2=2p y(p＞0)的焦點(diǎn),C是該拋物線上的任意一點(diǎn),當(dāng)C F與y軸正方向的夾角為60°時(shí),

(1)求拋物線的方程;

(2)已知A(0,p),設(shè)B是該拋物線上的任意一點(diǎn),M,N是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且取得最大值時(shí),求△BMN的面積。

57.如圖5,已知圓C:x2+(y-2)2=4,拋物線D的頂點(diǎn)為O(0,0),準(zhǔn)線的方程為y=-1,M(x0,y0)為拋物線D上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作圓C的兩條切線與x軸交于A,B。

(1)求拋物線D的方程;

(2)若y0＞4,求△MA B的面積S的最小值。

58.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,且拋物線上有一點(diǎn)P(m,5)到焦點(diǎn)的距離為6。

(1)求該拋物線C的方程;

(2)已知拋物線上一點(diǎn)M(4,t),過(guò)點(diǎn)M作拋物線的兩條弦MD和ME,且MD⊥ME,判斷直線D E是否過(guò)定點(diǎn),并說(shuō)明理由。

圖5

59.如圖6,過(guò)拋物線M:y=x2上一點(diǎn)A(點(diǎn)A不與原點(diǎn)O重合)作拋物線M的切線A B交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C是拋物線M上異于點(diǎn)A的點(diǎn),設(shè)G為△A B C的重心(三條中線的交點(diǎn)),直線C G交y軸于點(diǎn)D。

(1)設(shè)點(diǎn)A(x0,x20)(x0≠0),求直線A B的方程;

圖6

60.已知拋物線C1的方程為x2=2p y(p＞0),過(guò)點(diǎn)M(a,-2p)(a為常數(shù))作拋物線C1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B。

(1)若過(guò)焦點(diǎn)且在x軸上截距為2的直線l與拋物線C1交于Q,N兩點(diǎn),Q,N兩點(diǎn)在x軸上的射影分別為Q′,N′,且|Q′N(xiāo)′|=25,求拋物線C1的方程;

(2)設(shè)直線AM,BM的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值。

61.已知經(jīng)過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線A O,B O分別交直線m:x=-1于點(diǎn)M,N。

(1)求證:x1x2=1,y1y2=-4;

(2)求線段MN長(zhǎng)的最小值。

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程。

(2)過(guò)點(diǎn)D(2,0)的直線交軌跡C于A,B兩點(diǎn),直線O A,O B分別交直線l于點(diǎn)M,N,證明:以MN為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為定值,并求出此定值。

63.已知圓N:(x+1)2+y2=2和拋物線C:y2=x,圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A,B。

(1)當(dāng)切線l斜率為-1時(shí),求線段A B的長(zhǎng);