淺談數(shù)學(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)差在小學(xué)教育中的應(yīng)用

龍鋒鋒

摘 要：教師在教育工作中，只有掌握了自己的教育對象，才能因材施教，提高教學(xué)質(zhì)量。而要掌握學(xué)生情況，就必須經(jīng)常了解他們各方面，分析他們的心態(tài)及存在的問題。這一切都離不開統(tǒng)計知識。標(biāo)準(zhǔn)差與算術(shù)平均數(shù)一樣，是一項(xiàng)十分重要的統(tǒng)計指標(biāo)。對于“算術(shù)平均數(shù)”大家較為熟悉，而對“標(biāo)準(zhǔn)差”的概念和它在教育統(tǒng)計中的用途，諸多教師可能并不十分清楚。為此，本文著重介紹標(biāo)準(zhǔn)差在教育統(tǒng)計中幾個主要的用途。

關(guān)鍵詞：標(biāo)準(zhǔn)差 教育統(tǒng)計 用途

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：C 文章編號：1672-1578（2019）01-0170-02

1 數(shù)學(xué)中標(biāo)準(zhǔn)差的概念和意義

1.1 數(shù)學(xué)中標(biāo)準(zhǔn)差的概念

考試的原始成績屬于計量資料，通常選用算術(shù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別代表集中的趨勢和整體的離散程度。也就是說標(biāo)準(zhǔn)差是衡量離散程度的統(tǒng)計量 。所謂離散程度就是指數(shù)值間的波動程度。在平常應(yīng)運(yùn)中，我們可以用方差、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計量來衡量離散程度，而標(biāo)準(zhǔn)差是最為完善和科學(xué)的。盡管結(jié)果較易受兩端極值的影響，但由于它能用代數(shù)方法運(yùn)算且受到抽樣變動的影響較小，所以標(biāo)準(zhǔn)差反映的離散程度相對于算術(shù)平均數(shù)還是比較準(zhǔn)確的。

標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，即方差的算術(shù)平方根。簡單地說，標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)值的離散程度。一個較大的標(biāo)準(zhǔn)差，代表大部分的數(shù)值間的離散程度或數(shù)值和平均值之間的差異較大；反之，代表大部分的數(shù)值間的離散程度或數(shù)值較接近平均值。

標(biāo)準(zhǔn)差是總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，也稱均方差。

例如：兩組數(shù)的集合{2，7，9，14}和{6，7，9，10}其平均值都是8，但第二個集合相較于第一個集合具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差。

例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。通過計算可知A、B組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為18.71分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.37分，說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。

由于方差是數(shù)據(jù)的平方，與檢測值本身相差太大，人們難以直觀的衡量，所以常用方差開根號換算回來，這就是標(biāo)準(zhǔn)差。

1.2 數(shù)學(xué)中標(biāo)準(zhǔn)差的意義

標(biāo)準(zhǔn)差是衡量數(shù)據(jù)離散程度的最好標(biāo)準(zhǔn)。值越大，說明離散程度大，反之，說明數(shù)據(jù)比較集中，它是統(tǒng)計分析中最常用的差異量數(shù)。它具有一個良好的差異量數(shù)應(yīng)具備的條件：準(zhǔn)確度高；有公式嚴(yán)密確定；容易計算；適合代數(shù)運(yùn)算；抽樣變動影響小。

2 數(shù)學(xué)中標(biāo)準(zhǔn)差在小學(xué)教育中的應(yīng)用

2.1利用數(shù)學(xué)中標(biāo)準(zhǔn)差對小學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)的穩(wěn)定性進(jìn)行評估

例如：小明數(shù)學(xué)10次測驗(yàn)考試成績?nèi)缦拢?/p>

50 60 65 88 82 95 70 75 93 77

平均數(shù)： 75.5（分） 標(biāo)準(zhǔn)差：13.85（分）

通過計算結(jié)果可知：該學(xué)生的平均分是75.5分，反映該學(xué)生學(xué)習(xí)成績的一個集中水平。標(biāo)準(zhǔn)差13.85分，反映了該同學(xué)每次考試與一般水平平均相差13.85分，說明該生成績不是很穩(wěn)定。那么該同學(xué)就可以認(rèn)真分析一下導(dǎo)致成績不穩(wěn)定的原因在哪里。這樣學(xué)生不緊學(xué)會了知識，還可以將所學(xué)用于自身實(shí)踐，利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時老師也可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差來分析學(xué)生學(xué)校情況的穩(wěn)定性，從而關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況及引起學(xué)習(xí)變動的其他方面，以便更加了解學(xué)生，找出原因提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。

2.2 教師利用數(shù)學(xué)中標(biāo)準(zhǔn)差可以比較不同班級學(xué)生成績的差異程度

例1：甲、乙兩班分別有10名同學(xué)，某次考試中：甲班學(xué)生平均成績80分，乙班學(xué)生的平均成績是80分，甲班學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)差為5分，乙班學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)差為15分。

分析：雖然甲乙兩班學(xué)生的均分都為80分，但是甲班標(biāo)準(zhǔn)差小于乙班標(biāo)準(zhǔn)差，說明甲班學(xué)生之間的學(xué)習(xí)成績都差不多，個體差異不是很大，基本接近80分；而乙班學(xué)生之間的學(xué)習(xí)成績個體差異較大，高分和低分兩級分化的情況較明顯。兩個班的平均數(shù)代表性也不同，甲班學(xué)生平均成績代表性要高于乙班平均成績代表性。上例是甲、乙兩班平均數(shù)相等，若甲、乙兩班平均數(shù)不等，比較兩班學(xué)生成績離散程度就需要計算標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。

例2：2017年秋期數(shù)學(xué)期末考試甲班平均分80分，標(biāo)準(zhǔn)差5分；乙班平均分85分，標(biāo)準(zhǔn)差10分。

甲班離散系數(shù)： 6.25% 乙班離散系數(shù)； 11.76%

計算結(jié)果表明：雖然乙班平均成績比甲班平均成績高，但是乙班離散系數(shù)大于甲班離散系數(shù)，則乙班學(xué)生平均成績代表性小于甲班學(xué)生平均成績代表性。乙班學(xué)生與學(xué)生之間成績差異較大，高低分兩級分化較嚴(yán)重；甲班學(xué)生與學(xué)生之間的成績差異不大，整體學(xué)的好。如果有?？频闹R競賽，學(xué)校可以從乙班學(xué)生里選，因?yàn)橐话憔指?，而且有學(xué)的特別好的學(xué)生存在。

通常，在學(xué)校在對教師進(jìn)行量化考核時有一項(xiàng)就是對成績的考核，大部分學(xué)校只看重平均成績，卻忽略了平均數(shù)代表性大小的問題。應(yīng)該將平均成績和標(biāo)志變異指標(biāo)（通常選用標(biāo)準(zhǔn)差）結(jié)合應(yīng)用。

2.3 利用數(shù)學(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)差對各小學(xué)學(xué)校成績進(jìn)行評估

教育局等上級單位，有時要對各學(xué)校成績進(jìn)行評估。評估的過程中不可能把所有學(xué)校的所有學(xué)生成績拿來調(diào)查分析，通常從每個學(xué)校隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績作為樣本來調(diào)查，這樣肯定會存在一定的抽樣誤差。所以對學(xué)校學(xué)校成績的評估除了要看平均成績，還得結(jié)合一下在每個學(xué)校進(jìn)行調(diào)查時，產(chǎn)生的抽樣誤差，反映抽樣誤差的指標(biāo)是抽樣平均誤差。

抽樣平均誤差是各個樣本指標(biāo)與全及指標(biāo)之間的平均離差。抽樣平均誤差實(shí)際上是各個樣本指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差。

通常，全校學(xué)生所有學(xué)生的平均成績用的是以前數(shù)據(jù)代替，或正式抽樣前所進(jìn)行的試驗(yàn)性調(diào)查的數(shù)據(jù)來代替。

例如：教育局對A、B兩所學(xué)校學(xué)習(xí)成績進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)從兩所學(xué)校抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，計算得A校的學(xué)習(xí)成績均分為80分，抽樣平均誤差為7分，B校的學(xué)生學(xué)習(xí)成績?yōu)?0分，抽樣平均誤差為20分。

分析：從平均成績來看，B校學(xué)生學(xué)習(xí)成績高，學(xué)習(xí)較好；從抽樣平均誤差來看B校的調(diào)查結(jié)果誤差較大一些，調(diào)查結(jié)果的準(zhǔn)確性有所欠缺。所以不能片面的憑平均成績來評估學(xué)校的學(xué)校成績，要結(jié)合抽樣平均誤差來評估。

可見，標(biāo)準(zhǔn)差以不同的形式為我們教育統(tǒng)計展現(xiàn)自己的魅力，只是很多學(xué)生、老師并沒有意識到它的魅力所在，因而實(shí)踐應(yīng)運(yùn)較少。平均數(shù)它反映的是總體中各單位的標(biāo)志的一般水平，是各單位標(biāo)志值的一個一般水平，而標(biāo)準(zhǔn)差它是反映總體各單位的標(biāo)志值之間的差異程度，可以用來衡量一般水平的代表性。二者結(jié)合應(yīng)用最為科學(xué)。

2.4 數(shù)學(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)差在教學(xué)中的應(yīng)用

例1：某班40人隨機(jī)平均分成兩組，兩組學(xué)生一次考試的成績情況如下：第一組平均分90，標(biāo)準(zhǔn)差是6 ；第二組平均分是80，標(biāo)準(zhǔn)差是4，每組20人，求全班的平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差？

解：平均分=（90×20+20×80）÷40=85；

第一組的平方和=20×62+20×902=162720；

第二組20人分?jǐn)?shù)的平方和=20×42+20×802=128320；

40人分?jǐn)?shù)的平方和=162720+128320=291040；

這40人的方差=（291040-40×852）÷40=2040=51；

全班標(biāo)準(zhǔn)差=■≈7.1。

例2：甲乙兩位教師所教兩個班，平均分?jǐn)?shù)均為75分，但教師甲所教班的標(biāo)準(zhǔn)差為12，教師乙所教班的標(biāo)準(zhǔn)差為8，將平均分和標(biāo)準(zhǔn)差分別帶入公式求均差分?jǐn)?shù)，則：教師甲的均差分?jǐn)?shù)為Y=X-S=75-12=63，教師乙的均差分?jǐn)?shù)為Y=X-S=75-8=67。

（X：平均數(shù) S：標(biāo)準(zhǔn)差）

由計算結(jié)果得出結(jié)論：乙教師面向全體學(xué)生的教學(xué)成績高于（好于）甲教師。

例3：一個班級中有兩個組的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績都是75

分，具體如下：甲組 60，65，70，75，80，85，90； 乙組 50，60，70，

75，80，90，100。

雖然這兩組學(xué)生的平均分相同，但甲組學(xué)生的教學(xué)成績標(biāo)準(zhǔn)差較小，程度比較齊，75分的代表性比較大；乙組學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)差較大，程度參差不齊，75分的代表性較小。

標(biāo)準(zhǔn)差反映教師教學(xué)成績的離散程度（班學(xué)生成績高低之間的差別程度），平均分相同時，標(biāo)準(zhǔn)差大，表明班學(xué)生成績高低懸殊大。只有不僅平均分?jǐn)?shù)高，而且標(biāo)準(zhǔn)差小時，才能得到較高的均差分?jǐn)?shù)。也就是說，教師要想取得較高的均差分?jǐn)?shù)，除了要努力提高全班學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，提高班平均分之外，還必須認(rèn)真幫助學(xué)困學(xué)生，提高他們的成績，從而降低標(biāo)準(zhǔn)差，真正達(dá)到面向全體學(xué)生的教學(xué)效果。

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