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    巧用“分類思想”數(shù)一數(shù)

    2019-02-26 12:38:30劉躍
    初中生世界·七年級(jí) 2019年2期
    關(guān)鍵詞:分類思想條數(shù)銳角

    劉躍

    同學(xué)們面對(duì)數(shù)線段、數(shù)角的問題經(jīng)常感覺“頭痛”,在這里給大家介紹一種既不重復(fù)又不遺漏的好方法——分類思想,它是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。

    例1 如圖1,請(qǐng)你數(shù)一數(shù),圖中一共有多少條線段?

    【分析】如果一條一條地去數(shù),很可能遺漏或重復(fù)。如果我們能夠?qū)⑦@些線段進(jìn)行歸類,然后再一類一類去數(shù),就比較容易了。

    仔細(xì)觀察,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn),線段有且只有兩個(gè)端點(diǎn),左右各一。所以,我們可以將線段的左端點(diǎn)進(jìn)行分類。比如圖1中,我們把線段AB、AC、AD等以點(diǎn)A為左端點(diǎn)的線段歸為一類,把線段BC、BD、BE等以點(diǎn)B為左端點(diǎn)的線段歸為一類,等等。

    按照這個(gè)思路,圖1中的線段一共可以分成5類:以A為左端點(diǎn)的線段一共有5條,以B為左端點(diǎn)的線段有4條,以C為左端點(diǎn)的線段有3條,以D為左端點(diǎn)的線段有2條,以E為左端點(diǎn)的線段有1條,以F為左端點(diǎn)的線段有0條。于是我們可求出共有多少條線段。

    解:5+4+3+2+1=15(條)。

    例2 如圖2,請(qǐng)你數(shù)一數(shù),圖2中一共有多少個(gè)銳角?

    【分析】我們不妨作一條直線與各邊相交,如圖3。設(shè)這條直線與各邊的交點(diǎn)依次是A、B、C、D、E、F。于是,我們看到,每個(gè)小銳角的頂點(diǎn)都是O點(diǎn),每個(gè)銳角都對(duì)著一條線段,即∠AOB對(duì)著線段AB、∠BOC對(duì)著線段BC……這就是說在線段AF上的每一條線段都對(duì)應(yīng)著一個(gè)銳角,因而只要知道有多少條線段,就一定有多少個(gè)角。求角的問題又轉(zhuǎn)化成了求線段問題,有了例1的鋪墊,同學(xué)們解答起來應(yīng)該駕輕就熟,不成問題。

    解:5+4+3+2+1=15(個(gè))。

    到這里,問題似乎已經(jīng)完全解決了。但仔細(xì)思考一下,我們會(huì)有新的發(fā)現(xiàn):在圖1中,像AB、BC、CD、DE、EF這樣的小線段一共有5條,我們給它們依次標(biāo)上編號(hào)1、2、3、4、5,所求線段總條數(shù)為5+4+3+2+1=15(條);同樣的,我們在圖2中給那些小銳角依次標(biāo)上編號(hào)1、2、3、4、5,所求角的總個(gè)數(shù)為5+4+3+2+1=15(個(gè))。歸納起來就是:先將所分成的短線段或小角依次編上號(hào),然后將所有號(hào)數(shù)相加,這個(gè)和就是所求的線段的總條數(shù)或角的總個(gè)數(shù)。

    如果我們再仔細(xì)觀察一下圖1與圖2,就會(huì)發(fā)現(xiàn)圖1共有點(diǎn)6個(gè),圖2共有射線6條,所求的線段總條數(shù)或角的總個(gè)數(shù)都可以用6×(6-1)÷2=15來表示。也就是說,設(shè)有n個(gè)點(diǎn)(或射線),則共有線段(或角)的數(shù)量為:n×(n-1)÷2來計(jì)算,同學(xué)們可以自己研究一下。

    (作者單位:江蘇省常州市新北區(qū)薛家中學(xué))

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