圓周率是怎樣算出來(lái)的？

梁衡

祖沖之在為古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》作注時(shí)，接觸到圓周率問(wèn)題，便被困擾得坐臥不安。他住所雪白的粉墻上，被畫(huà)了一個(gè)大大的圓圈，地上也是大圈套小圈，桌上到處是紛亂的稿紙。他背著手在房間里踱來(lái)踱去，一會(huì)兒好像自己走進(jìn)了墻上那個(gè)大圓圈中，一會(huì)兒又好像桌上那一堆圓圈一齊涌進(jìn)自己的腦子里，如一團(tuán)亂麻。唉，這周徑之比是如何得出來(lái)的呢？他又回到桌前抽出劉徽注的那本《九章算術(shù)》，坐下來(lái)邊讀邊想。

這時(shí)屋里還有一個(gè)十三四歲的男孩，他是祖沖之的兒子，叫祖暅。別看他小小年紀(jì)，卻天資聰穎，戲耍之余常愛(ài)在父親身邊推算那些數(shù)字和圖形。今天他看到地上這許多圓圈，感到很新鮮，便單腿在圈里跳起來(lái)。突然聽(tīng)到父親拍案喊道：“有了！”祖暅被嚇了一跳，忙跑過(guò)去拉著父親的衣袖問(wèn)道：“什么有了？”“辦法有了。暅兒，你看劉徽這里不是明明寫(xiě)著割圓術(shù)嗎？只要將一個(gè)圓不斷地割下去，內(nèi)接上正多邊形，求出多邊形的周長(zhǎng)，不就有了圓周率了嗎？暅兒，你會(huì)嗎？”

“我會(huì)，用爸爸教過(guò)的勾股定理一一去求就是了。”

“道理簡(jiǎn)單，算起來(lái)可就費(fèi)勁了。從今天起，咱爺兒倆就來(lái)辦這件事，你可要十分仔細(xì)啊?！?/p>

說(shuō)完，祖沖之到院里搬來(lái)幾根大竹子，操起一把刀將它們破成細(xì)條，又將它們一一斬成短截，整整干了兩天，地上堆起了一座竹棍的小山?，F(xiàn)在聽(tīng)起來(lái)奇怪，搞計(jì)算怎么先干起竹木活來(lái)了？原來(lái)，當(dāng)時(shí)既沒(méi)有阿拉伯?dāng)?shù)字可以筆算，也沒(méi)有算盤(pán)可以珠算，運(yùn)算全靠一種叫算籌的原始工具。它是用竹木削成的一根根小棍，用來(lái)拼擺成各種數(shù)字。數(shù)字縱橫兩式，個(gè)位、百位、萬(wàn)位用縱式，十位、千位用橫式。一切加、減、乘、除全靠用這些木棍在桌上擺來(lái)擺去。今天遇到這么大的算題，平時(shí)的那些算籌哪里夠用？

祖沖之將這一切準(zhǔn)備停當(dāng)之后，便在地上畫(huà)了一個(gè)直徑為一丈的大圓，將圓割成六等分，然后再依次內(nèi)接一個(gè)12邊形、24邊形、48邊形……他都按勾股定理用算籌擺出乘方、開(kāi)方等式，一一求出多邊形的邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)。你想這祖沖之何等聰明，他知道圓周率是周長(zhǎng)與直徑之比，所以就把直徑定為一丈，這樣就省掉再除一次的程序，不斷求出多邊形的周長(zhǎng)，也就不斷逼近圓周率了。祖暅也在那個(gè)大圓圈里跳進(jìn)跳出地幫他拿算籌、記數(shù)字。就這樣，祖沖之直算得月落烏啼，直算得雞鳴日升。那竹棍擺成的算式從桌上延到地下，他又滿地轉(zhuǎn)著圈子，最后一屋子上下全都是些竹碼子。這批算籌又都是些新破的竹子，還沒(méi)有來(lái)得及打磨，祖沖之用手捏著，想著、擺著，不消幾日，指頭漸漸都被磨破，那綠白相間的新竹竟染上了紅紅的血印。

他們父子這樣不分晝夜地割拱算商。這天，他們割到第96份，真是如攀險(xiǎn)峰，愈登愈難。當(dāng)年劉徽就是到此卻步，而將得到的3.14定為最佳數(shù)據(jù)。夜靜更深，小祖暅早已眼皮沉重，東倒西歪地想睡了。祖沖之想，這些日子也實(shí)在辛苦了這孩子，便忙打發(fā)他去睡覺(jué)。他推開(kāi)窗戶，深吸了幾口這建康城里夜深時(shí)分甜甜的空氣，看了一回星空，又轉(zhuǎn)過(guò)身來(lái)看看地上那個(gè)大圓。那內(nèi)接的96邊形，與圓都快接近于重合了。按說(shuō)能算到這一步已經(jīng)實(shí)在不易，用這個(gè)數(shù)字再去為《九章算術(shù)》作注，也就完全可以了。

忽然，一陣夜風(fēng)吹起窗幔，把竹籌擺起的許多算式掃得七零八落，拋灑一地。要知每算一遍就要進(jìn)行十一次加減乘除和開(kāi)方，多么繁重的勞動(dòng)??！父子倆只好又重新擺布，不知過(guò)了多少天，終于把地上那個(gè)大圓直割到24576份，這時(shí)的圓周率已經(jīng)精確到3.14159261。祖沖之知道這樣不斷割下去，內(nèi)接多邊形的周長(zhǎng)還會(huì)增加，更接近于圓周，但這已到了小數(shù)點(diǎn)后第八位，再增加也不會(huì)超過(guò)0.00000001丈，所以圓周率必然是3.1415926<π<3.1415927。當(dāng)時(shí)祖沖之就把圓周率定在“上下二限”之間。這上下限的提法確是祖沖之首創(chuàng)，他得出的圓周率精確值在當(dāng)時(shí)世界上已遙遙領(lǐng)先，直到一千年后才有阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾卡西的計(jì)算超過(guò)了他。所以國(guó)際上曾提議將圓周率命名為“祖率”。

（選自2018年第8期《大眾科學(xué)》，本刊有改動(dòng)）