在計算教學中引導學生深度學習

問題的提出

計算教學是一個比較抽象、理性的過程，尤其是筆算教學，過程繁瑣、復雜，稍不注意，錯誤頻出，對于以形象思維為主的小學生來說，感覺寡淡無味似乎不可避免。而在老師們看來，計算教學是一種“死知識”，有規(guī)定的法則和順序，有統(tǒng)一的格式和要求，不容易出彩頭。簡單的，根本就沒講頭；復雜的，很難講清楚，講起來也沒意思。所以課堂教學研討會、課堂教學競賽，老師們幾乎都不愿意選上計算課。

面對教學實踐中普遍存在的問題，讓老師和學生均覺興味索然的計算教學，如何才能變得生動豐富，煥發(fā)生命的活力，使學生從心底里喜歡？

我們的思考

《數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：數(shù)學教育既要使學生掌握現(xiàn)代生活和學習中所需要的數(shù)學知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用。

人的內心深處有一種根深蒂固的需要：總想自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者。在兒童的精神世界中，這種需求尤為強烈。要讓孩子們在計算教學中興趣盎然，深度學習，必須給孩子們提供成為發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者的表現(xiàn)機會。

因此，我們認為，只有將計算教學與問題解決緊密聯(lián)系起來，將“如何計算”作為一個迫切需要解決的實際問題呈現(xiàn)在學生面前，引導學生進入深度學習和思考的境地，吸引學生自發(fā)地主動地積極地調動所有的知識和經(jīng)驗，創(chuàng)造性地去解決問題，孩子們才可能成為真正意義上的發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者。

我們的探索

小學數(shù)學教材上的計算教學可以分為起始課和后續(xù)課兩大類。起始課是單元知識學習的第一節(jié)課，是引領學生走進單元新知識學習的觸手。計算教學起始課對學生而言，往往可能是完全陌生的，所能做的事不過是理解并接受已經(jīng)形成定論的全新算法罷了，難怪老師們在計算教學起始課上不約而同地采取全盤講解的方式。因此，我們的重點放在起始課的教學上。

要讓孩子們成為計算法則的發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者，教師所要做的就是把學生帶入計算法則發(fā)生的情境中去，將靜態(tài)的知識結論轉化為動態(tài)的探索對象，讓孩子們以濃縮的時空，親歷計算法則的再生產(chǎn)過程，親歷前人“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的全過程，完成對計算法則認知意義上的重演，從而深刻理解隱藏在算法背后的數(shù)學本質?；谶@樣的認識，我們選取了幾個具有代表性的計算教學起始課內容進行研究，以形成引導學生深度學習的有效策略。

一、創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情境，激發(fā)學生探究興趣

從小學生的年齡、心理特征上分析，生動、有趣、恰當?shù)膯栴}情境，能激發(fā)學生的學習興趣，使他們調動高昂的情緒來參與學習，能讓學生的學習過程得以真實展開，學習自然發(fā)生。

例如，人教版三年級下冊“有趣的乘法計算”教學，這是孩子們第一次研究兩位數(shù)乘兩位數(shù)的巧算方法。為了迅速激發(fā)孩子們的研究興趣，我們設計了“人機大戰(zhàn)”的競賽情境拉開序幕。

師：同學們，你們知道嗎？我可是數(shù)學界有名的神算子，今天我想現(xiàn)場和同學們來一場兩位數(shù)乘兩位數(shù)大比拼。你們用計算器計算，而我直接口算。比賽規(guī)則是：屏幕會隨機滾動出示題目，你們一起喊停，看到題目我們同時算，誰最先算出正確答案并大聲報出得數(shù)，就獲勝。一共比賽三局。（挑選兩名操作計算器熟練的學生操作計算器）

師：選手準備好了嗎？小裁判們準備好了嗎？看屏幕，PK賽正式開始?。ㄆ聊粷L動依次出題）

第一局：89×11，第二局：84×86，第三局：36×11。

師：耶！三局都是我勝啦！謝謝同學們的掌聲！我怎么算這么快呢？其實我是有秘訣的。想知道嗎？（生齊：想）

師：今天，我們就一起來研究乘法計算中的秘密。（板書課題：有趣的乘法計算）

教師口算與學生用計算器算同臺比拼，以屏幕隨機滾動并抽取乘法算式的方式凸顯賽制的公平，以教師的屢屢獲勝讓學生產(chǎn)生強烈的好奇心和想要探究獲勝秘訣的熱切欲望，這樣的情境引人入勝。

二、經(jīng)歷算法構建過程，實現(xiàn)算理與算法內在統(tǒng)一

理解算理和掌握算法一直以來都是計算教學的兩個核心目標。算理是計算的理論依據(jù)，其內涵包括數(shù)和運算的意義，運算的規(guī)律和性質，解決“為什么這樣算”的問題。算法是計算的方法，其內涵是由已知推出未知的程序，解決“怎樣算”的問題。算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性與正確性。算法為計算提供規(guī)范快捷的操作方法，促進了計算速度的提高，是解決一類問題的處方。如何將理解算理和掌握算法雙雙落地？我們以三年級下冊筆算除法的起始課“除數(shù)是一位數(shù)的除法”一課為例。

1.自己想辦法算，展現(xiàn)多樣化的算法。

師：咱們原來學過表內除法的簡單計算。而這個除法算式（指黑板上的算式48÷2）用乘法口訣表已經(jīng)不能直接算出來了，怎么辦呢？老師給你們準備了一些小棒，你們可以借助小棒分一分，也可以畫一畫，還可以用算式表達。只要能讓大家一眼就能看明白你是怎么算的就可以了?，F(xiàn)在，請你們自己想辦法算吧。

學生開始嘗試獨立解決。教師巡視指導。

師：看來很多同學都已經(jīng)解決了這個問題。誰愿意來分享自己的解決方法？

這節(jié)課是第一次學習表外筆算除法，也是真正意義上的筆算除法學習。教師沒有急于教給學生正確的算法，而是放慢腳步，采用開放的教學方式，將除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法“如何計算”作為一個迫切需要解決的實際問題呈現(xiàn)在學生面前，讓學生用自己喜歡的方法來嘗試計算。教師唯一的要求就是“讓大家一眼就能看明白你是怎么算的”，逼著孩子們自己面對一個陌生的情境，搜腸刮肚調動所有的知識經(jīng)驗來解決問題。

孩子們自主探究后，呈現(xiàn)了多樣的算法：有借助小棒擺一擺的、有口算的、有列不同豎式算的。4種解決方案都是孩子們以自己原有的知識經(jīng)驗為背景進行推理或遷移的成果，都是孩子們深度思考之后的個性呈現(xiàn)。

2.對照比較，構建一般性算法。

師：我們班的同學真聰明，解決除數(shù)是一位數(shù)的計算問題，一下子想出了4種方法。無論是擺小棒還是口算，還是列豎式計算，我們都是先算十位再算個位，計算的順序都是一致的。這4種計算方法，你最喜歡哪一種，為什么？

學生有的喜歡分小棒的方法，認為很簡單；有的覺得分小棒的方法雖然簡單，容易看明白，但是如果被除數(shù)變大了，分小棒的方法不現(xiàn)實；有的喜歡口算的方法，認為算起來非常快，沒有必要列豎式計算；有的認為如果數(shù)不大，口算確實很方便，如果數(shù)很大，口算根本就算不出來。

師：是啊，看來數(shù)比較大的時候，擺小棒和口算的辦法確實不合適，就要用到列豎式計算了。列豎式計算時，被除數(shù)再大也沒事，咱們把除號畫長一點就行了嘛！黑板上這兩種列豎式計算的方法，你們喜歡哪種？

學生有的喜歡第一種，認為簡單；有的喜歡第二種，認為算的過程記錄得非常清楚，不易出錯。

師：我們一起來把大家的意見綜合一下，簡單的除法……（生齊：擺小棒或者口算）

師：對！簡單的事情簡單做。復雜的除法就……（生齊：列豎式計算）

師：列豎式計算我們產(chǎn)生了兩種意見。第一種豎式寫法簡單，但是看不出計算的過程，第二種豎式寫法麻煩，好處是計算的過程很清楚。（生齊：對）

師：既然豎式應該怎么寫大家各執(zhí)己見，誰也說服不了誰，我一聽也覺得兩種意見都有道理，那現(xiàn)在請你們再來完成一道除法計算題，都列豎式計算。喜歡第一種寫法的就用第一種，喜歡第二種寫法的就用第二種。

此環(huán)節(jié)，教師讓學生直面一個全新的“如何計算”的問題。學生由于在認知水平和思維方式上存在個體差異，對于同一個問題，往往會有基于個人理解的不同計算方法，這也是學生個性不同的正常體現(xiàn)。教學中，教師巧妙利用這種差異，有意識有層次地引導學生交流自己的真實思考，給予學生基于獨立思考的觀點與想法激烈碰撞火花四濺的機會，讓學生一一體驗和理解不同方法的思維過程，逐一感悟支撐每種方法背后的算理。所謂見多識廣，長此堅持，解決問題策略的多樣性將不限于群體思維，必將綻放于個體思維。

在此基礎上，再通過交流評價、對照比較，引導學生參與對問題和現(xiàn)象的層層剖析，發(fā)現(xiàn)和領略各算法的優(yōu)勢與劣勢，得出“簡單的除法直接擺小棒和口算，復雜的除法列豎式計算”這一理性結論，形成具體問題具體分析的科學思路，將學生的學習思考引向探討“除法豎式如何寫”的更深層次。

3.改變問題情境，構建合理化算法。

板書：72÷3=

學生獨立計算。

生3：有余數(shù)沒事的，可以把十位上的余數(shù)和個位上的2合起來看成12，再繼續(xù)除，12除以3等于4，這個4表示4個一，所以寫在個位上，3×4=12，剛好分完，沒有剩余，所以最后寫0，表示算完了。

師：十位上的1為什么要和個位上的2合起來？

生3：你想如果是擺小棒算，7捆小棒平均分成3份，只要拿出6捆，就可以每份分得2捆。剩下的1捆，繼續(xù)分的時候，就要解散，變成10根，與原來的2根散的合在一起，一共12根，再繼續(xù)分下去嘛！

生4：我來幫你回答！如果十位上的1不管它了，不跟個位上的2合起來，那算的題實際上是62÷3，就不是72÷3了！

生齊：對！

師：咱們再來比較一下這兩種列豎式計算除法的寫法，你更喜歡哪一種？

同學們紛紛點頭表示喜歡第二種。師：還有同學堅持喜歡第一種豎式寫法的嗎？生1：我還是喜歡第一種，寫起來簡單，我自己心里能記住。

師：嗯，適合自己的就是最好的方法，非常欣賞你的自信和執(zhí)著！

剛學習筆算除法時，學生普遍采取“一步算到位”的辦法，也就是上述教學片段中的第一種豎式寫法。很多老師不解：課堂上說得清清楚楚，要一步一步計算，為什么還是錯誤不斷呢？

究其原因，其實很好理解。人都是趨利避害的，誰都不喜歡麻煩，因為第一種豎式寫法書寫簡便，孩子們出于本能理所當然會選擇最簡便的寫法。孩子們沒有體會到第二種豎式寫法的妙處，決計不會舍近求遠。甚至有孩子說：要不是老師規(guī)定要寫豎式，我才懶得寫呢，我口算就能算出來的題，還費神寫什么豎式？

沒錯，對于48÷2這種類型的口算除法題來說，兩種不同的豎式寫法，并無明顯的優(yōu)劣。正因為48÷2的計算毫無難度，其作用主要是讓孩子們通過類比，知道表外除法也可以像表內除法一樣寫成豎式形式，它是除法豎式即將展現(xiàn)其強大功能的一座不可或缺的橋梁。而72÷3的出現(xiàn)，有效地阻斷了“一步算到位”的可能。

為了讓學生充分感受除法豎式寫法的合理性，老師抓住時機主動示弱，請教“十位有余數(shù)了，怎么辦？”“十位上的1為什么要和個位上的2合起來？”兩個關鍵問題，讓孩子們借助分小棒的數(shù)理，遷移到除法豎式的算理明晰，親身體會到分步記錄除法過程的重要意義在于“一眼就能看明白你是怎么算的”，讓原來喜歡第一種寫法的孩子體會到“簡單寫法”的不足，兩相權衡，轉而認同合理化的書寫格式。這一過程不正是筆算除法豎式書寫規(guī)范得以形成的軌跡嗎？

4.再改問題情境，形成解決所有除法計算問題的通法。

師：現(xiàn)在請同學們用自己喜歡的列豎式方法再來算一個題吧。（板書：348÷3=）

師：都算完了嗎？誰把自己計算的方法展示一下，不解說，大家能否看明白。

生1上臺展示自己的豎式計算。

生2：根本不用解說，大家都能看懂！你是分三步來算的：先算百位，再算十位，十位有余數(shù)，第三步就將余數(shù)與個位上的數(shù)合起來繼續(xù)除。

師：數(shù)學是一種思考、表達和交流的語言，這種列豎式計算的方法將思考過程表達得非常清楚。

生3：老師，被除數(shù)是四位數(shù)、五位數(shù)、六位數(shù)……除以一位數(shù)的除法，用這種列豎式的方法我們全都會算了，您都不用再教了！

師：真的？給大家說說，怎么算？

生3：從左邊開始，一位一位地除下來就行了。

師：同意嗎？

生齊：同意！

師（豎起大拇指）：你們好棒！

師（問那個堅持喜歡第一種方法的孩子）：你用自己喜歡的方法把這個題算出來了嗎？能不能給大家看看你是怎么算的？

生（害羞地）：數(shù)太大了，算不出來了……

師：要是遇到剛才大家講到被除數(shù)是四位數(shù)、五位數(shù)、六位數(shù)……的情況，會更復雜，更不好算了。

生4：是的，我現(xiàn)在覺得還是大家的這種方法好，不管什么情況，都可以算出來。

師：說得太好了！我們終于找到了一種可以解決所有除法計算問題的好方法：列豎式，一步一步從高位算下來?，F(xiàn)在請大家打開書15頁，看看教材上是怎么算的？

整堂課只做了三道題，其中第三題原本是下節(jié)課的教學內容，為了讓那個很有主見的孩子徹底放棄自己錯誤的觀點，臨時將其提前到本節(jié)課來了。如果這個孩子仍舊堅持，估計要出示四位數(shù)除以一位數(shù)的計算題了。三道題，三個層次，在理解算理的基礎上不斷優(yōu)化算法，步步登高，孩子們在一課三練三研究的慢節(jié)奏嘗試中，充分探究、理解、交流、體驗，集中火力突破筆算除法教學的重難點，發(fā)現(xiàn)和理解知識內涵。每一次嘗試之后，都回過頭反思，在反思中獲得解決問題的經(jīng)驗和教訓，最終達成共識，成功建構起能夠解決所有除法計算的豎式寫法。

可見，通過構建一個算理和算法交融的計算課堂，讓學生在算法的探究中主動思考算理，在理解算理的基礎上形成有理有據(jù)精彩紛呈的算法，在變化的情境中感知算法的局限性和優(yōu)越性，完整地經(jīng)歷了分數(shù)除以一個不為0的整數(shù)計算方法的形成過程，最終發(fā)現(xiàn)、研究和探尋到解決一類問題的通法。這才是計算起始課教學真正意義上的深度學習。

（執(zhí)筆：譚念君、劉歲芝、彭奕、譚潔）