基于TOF PET改善低劑量CT性能的重建算法初探

程 李，姚樹林，劉亞強，馬天予*

（1.清華大學工程物理系，北京 100084；2.清華大學粒子技術與輻射成像教育部重點實驗室，北京100084；3.解放軍總醫(yī)院第一醫(yī)學中心核醫(yī)學科，北京 100853）

0 引言

目前CT已經(jīng)廣泛應用于臨床的醫(yī)療診斷[1-2]，但是其帶來的潛在的輻射風險也引起了人們更多的關注[3-4]。臨床上降低CT劑量的方法包括：降低X線管的管電流、管電壓，或者稀疏采樣，但是這樣會導致圖像的噪聲增大，并可能出現(xiàn)偽影[5-7]。傳統(tǒng)CT重建主要采用的是濾波反投影（filter back projection，F(xiàn)BP）算法，這種算法是線性算法，優(yōu)點是簡單、快速，缺點是沒有考慮數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性，特別是應用低劑量CT掃描時容易出現(xiàn)前面所述的問題。除了FBP之外，還有極大似然透射重建（maximum likelihood transmission reconstruction，MLTR）算法和可分離二次替代函數(shù)法（separable quadratic surrogate，SQS）等相應的迭代算法。迭代算法的優(yōu)點是可以考慮數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性，改善重建圖像的噪聲和偽影問題，缺點是重建速度慢。迭代算法在低劑量CT的重建領域得到了越來越多的應用，但是較少的數(shù)據(jù)量依然是制約最終圖像質(zhì)量的重要原因。

臨床上越來越多的PET系統(tǒng)都包含了飛行時間（time of flight，TOF）信息，使得 PET 數(shù)據(jù)可以直接估計衰減信息，并可以在沒有CT的情況下唯一確定PET圖像，最多差一個全局常數(shù)（即根據(jù)圖像x的TOF數(shù)據(jù)可重建出結果為kx的圖像，其中k是一個未知常數(shù)）。除此之外，臨床上多模態(tài)醫(yī)學影像的應用越來越多，例如已經(jīng)廣為使用的PET/CT一體機[8]以及新型的PET/MR一體機。由此發(fā)展起來聯(lián)合重建（joint reconstruction，JR）算法，即利用2種相關的圖像互為先驗，共同提高，例如PET/MR，但是對于2種模態(tài)圖像結構上不匹配的地方，JR算法可能會帶來一些問題，在原本的圖像上引入一些偽影。而PET圖像和CT圖像可以在一次PET/CT掃描中同時獲得，PET圖像和CT圖像內(nèi)在關聯(lián)。因此，引入TOF PET數(shù)據(jù)后，一方面有了更多包含衰減信息的數(shù)據(jù)，另一方面也可以利用PET/CT圖像結構的相似性進一步改善低劑量CT的圖像質(zhì)量。隨著長軸向視野的PET系統(tǒng)的研究，比如 EXPLORER[2]、PennPET[9]和PET20.0[10]，其軸向長度達到1～2 m，遠遠長于臨床的PET系統(tǒng)（約20 cm），其探測效率相對于臨床的PET系統(tǒng)也提升了一個量級以上，最多可達到40倍。在這些長軸向視野PET系統(tǒng)中可以采集更多的TOF PET數(shù)據(jù)，因此通過TOF PET數(shù)據(jù)改善CT圖像質(zhì)量是一種很有潛力的方案。

本研究使用PET數(shù)據(jù)和聯(lián)合全變分（joint total variation，JTV）先驗來降低低劑量CT圖像上的偽影和噪聲，并評估了不同低劑量CT的不同劑量降低方法和不同PET計數(shù)水平對最終結果的影響。

1 方法

1.1 統(tǒng)計模型

PET和CT采集的數(shù)據(jù)服從獨立的泊松模型。該模型的對數(shù)概率似然函數(shù)為

其中，Lemis和Ltran分別表示發(fā)射數(shù)據(jù)（TOF PET數(shù)據(jù)）和透射數(shù)據(jù)（CT數(shù)據(jù)）的對數(shù)概率函數(shù)；i表示第i條響應線；t表示第t個TOF bin；yit表示TOF PET的數(shù)據(jù)，rit表示TOF PET數(shù)據(jù)中的噪聲信號（包括散射事件和隨機符合事件）；P表示PET的投影矩陣；x和μ分別表示PET圖像和物體對511 keV光子的線性衰減系數(shù)；ytran，i表示CT經(jīng)過物體衰減后的透射數(shù)據(jù)；bi表示CT空掃時的數(shù)據(jù)；si表示CT數(shù)據(jù)中的噪聲信號；μtran表示物體對CT光子的線性衰減系數(shù)；矩陣G由lij構成，lij表示第i條響應線和第j個像素相交的長度。

為了同時估計x和μ，將TOF數(shù)據(jù)和CT數(shù)據(jù)聯(lián)合起來構成一個新的目標函數(shù)，并且額外添加一個先驗約束項來進一步改善圖像質(zhì)量。最終的目標函數(shù)形式為

其中，Φ表示最終要求解的目標函數(shù)，U表示先驗約束函數(shù)，β表示一個控制先驗約束強弱的參數(shù)，f（μ）表示PET 511 keV光子線性衰減系數(shù)到CT光子線性衰減系數(shù)的轉(zhuǎn)換函數(shù)。

正如公式（3）所示，由于光子能量不同，同一物體在2種系統(tǒng)掃描時所表現(xiàn)出的衰減能力也不相同。PET探測的是正電子核素在人體內(nèi)湮滅產(chǎn)生的一對511 keV光子，而CT發(fā)射光子能量通常在150 keV以下（CT發(fā)射光子能量取決于X線管的電壓）而且是一個連續(xù)譜。目前臨床上管電壓通常選擇140 kV。為了簡化問題，假設所有的CT光子能量均為140 keV。傳統(tǒng)的CT值到PET的衰減系數(shù)的變化是一個雙線性變換，而本研究選擇一種更加簡化的線性模型進行后續(xù)評估，如公式（4）所示：

其中，μtran表示物體在CT掃描時對140 keV光子的線性衰減系數(shù)，μ表示物體在PET掃描時對511 keV光子的線性衰減系數(shù)，η是線性轉(zhuǎn)換系數(shù)。

線性模型不如雙線性模型精確，但是在本次模擬試驗中已經(jīng)足以反映問題和驗證結論。

1.2 聯(lián)合先驗

正如前面提到，為了改善重建圖像的信噪比，通常需要引入先驗約束。在傳統(tǒng)的單模態(tài)重建時常用的約束先驗包括全變分（total variation，TV）等。在JR算法中為了更好地利用2種模態(tài)圖像之間的結構相似性，本研究選擇采用JTV。2種先驗的形式分別為

其中，u、v分別表示2種不同模態(tài)的圖像，x表示不同的位置，δ、γ表示特定的參數(shù)。對比以上2個式子可以發(fā)現(xiàn)，當（x）≠0時，說明x處很可能是圖像v的邊界，而這個時候?qū)τ趫D像u而言，聯(lián)合先驗約等效于一個參數(shù)δ更大的TV約束，而參數(shù)δ越大時對于圖像的平滑能力越弱。從上述分析可知，在圖像v的邊界處，JTV對于圖像的平滑能力比TV更小，從而圖像v給圖像u提供了結構先驗的信息。JTV已經(jīng)在多模態(tài)影像JR算法中得到了廣泛應用[11-12]。

1.3 重建算法

本研究采用最大似然期望最大化[13]（maximum likelihood expectation maximization，MLEM）和 SQS[14]交替迭代的方法來求解目標函數(shù)的最大值。這種算法在迭代過程中可以保證目標函數(shù)的值單調(diào)增加，并保證最終至少收斂到局部最優(yōu)解。詳細的算法如下所示：

（1）根據(jù)衰減信息，采用MLEM算法更新活度圖像，迭代公式如下所示：

（2）根據(jù)更新的活度圖像，采用SQS算法更新衰減圖像，迭代公式如下所示：

1.4 成像系統(tǒng)模擬和評估研究

為了對以上方法進行驗證，本研究模擬了GEDiscovery690TOFPET系統(tǒng)和與其配套的GE Light Speed CT系統(tǒng)。對于PET系統(tǒng)，TOF分辨力為500 ps，模擬的2D TOF PET正弦圖包含288角度采樣×281徑向采樣×11 TOF采樣；圖像區(qū)域被劃分成150×150大小的矩陣，矩陣像素大小是3.27 mm×3.27 mm。對于CT，選取的圖像矩陣大小、像素大小和PET相同，CT數(shù)據(jù)包括984角度采樣×888徑向采樣。模擬過程中選擇使用Fessler的開源工具包來生成CT數(shù)據(jù)并進行FBP重建。PET計數(shù)和CT的空掃計數(shù)分別設置為2M和87 000M，這對應著2種系統(tǒng)臨床正常劑量下典型的計數(shù)水平。如圖1所示，本研究采用2D NCAT模型進行模擬試驗，此模型中包含心臟、肝、肺、軀干、骨頭等多種組織。模擬試驗中基于2D NCAT模型前向投影生成數(shù)據(jù)，并進行后續(xù)的重建和性能評估。

圖1 用于性能評估的2D NCAT模型

本研究中，采用的降低CT劑量的方式有2種：

（1）1/24角度：稀疏采樣，最終采集的數(shù)據(jù)對應41個角度采樣×888徑向采樣，空掃總計數(shù)為3 600M。

（2）1/10劑量：角度采樣和徑向采樣的個數(shù)不變，將總體計數(shù)降低為原來的1/10，對應空掃總計數(shù)為8 700M。

為了降低患者的輻照風險，除了要降低CT的劑量外，還要降低PET的劑量。目前世界上正在研發(fā)一些長軸向視野的PET系統(tǒng)，這些系統(tǒng)的探測效率比傳統(tǒng)的PET系統(tǒng)探測效率提升了一個數(shù)量級，也可以顯著降低PET掃描的劑量。因此，本文在研究過程中也評估了這些長軸向視野PET系統(tǒng)對于低劑量CT性能的改善情況。將PET計數(shù)提升了20倍，達到40M，來模擬長軸向視野PET系統(tǒng)的計數(shù)水平，并與正常PET計數(shù)水平的結果進行對比，進而評估PET計數(shù)水平對JR算法結果的影響。

對于所有的模擬數(shù)據(jù)，除了提出的JR方法外，本研究還對CT進行了單獨的FBP重建和SQS重建，并比較JR算法和單獨重建的性能差異。另外，在SQS重建和JR重建時還分別引入了TV和JTV約束，用以改善重建圖像的信噪比。

為了對重建結果進行定量分析，在衰減圖上選取了 3 個感興趣區(qū)（region of interest，ROI）計算重建圖像的ROI和真實圖像的相似系數(shù)（structural simila-rity，SSIM）。SSIM的定義如下：

2 結果

2.1 重建圖像

圖2、3分別展示了不同重建方法（包括CT單獨重建和JR算法）的結果。圖2中，F(xiàn)BP重建結果明顯比SQS迭代重建的結果差。另外，對比圖2（b）、（e）可以發(fā)現(xiàn)，稀疏采樣的結果比只降低計數(shù)的結果更差，其心臟區(qū)域和軀干部分與1/10劑量的結果相比更加不均勻。在引入TV約束之后，重建圖像的噪聲被壓低，但是骨頭和肺部一些區(qū)域的對比度明顯變差，如圖 2（c）、（f）所示。

圖2 CT單獨重建結果

比較圖 3（a）、（c）可以發(fā)現(xiàn)，1/24 稀疏采樣數(shù)據(jù)在與40M PET數(shù)據(jù)JR之后，背景區(qū)域會變得更加均勻。如前文所言，40M對應長軸向PET系統(tǒng)的計數(shù)水平。這表明，長軸向視野的PET系統(tǒng)可以有效改善稀疏角度CT的圖像質(zhì)量。對比圖2（e）和圖3（d），可以發(fā)現(xiàn)對于1/10劑量的數(shù)據(jù)，在不引入先驗時，40M PET數(shù)據(jù)JR算法的結果并未明顯改善。

比較圖 2（c）、（f）以及圖 3（e）、（f），發(fā)現(xiàn)圖 2 的結果在引入先驗之后變得更加均勻，對比度降低。但是，在JR算法中引入聯(lián)合先驗之后，圖像噪聲被壓低的同時對比度并沒有明顯變差。為了更好地說明這個問題，圖4畫出了中間一列的剖線。由圖4可以看出，在2個尖峰處TV約束重建的結果明顯比真實圖像值要低，而JTV約束的結果則和真實圖像值十分接近；在中間的平坦區(qū)域，2種先驗約束的結果都很好，有效地壓低了噪聲?？傮w來說，JTV在保持邊界和對比度方面確實都表現(xiàn)得很好。

圖3 聯(lián)合重建結果

圖4 CT圖中心列的剖線（對應圖3中的紅線）

2.2 定量分析

對于所有方法（FBP除外）重建的CT圖，分別計算3個ROI的 SSIM，SSIM表示重建圖和真實圖像的相似程度，值越大表示重建結果越好。結果見表1。ROI1和ROI2包含更多細節(jié)的區(qū)域，SQS+TV的重建結果比其他方法得到的結果要差，這與圖2中的結果一致，原因是邊界被模糊，導致了一些細節(jié)信息的丟失。對于ROI3，SQS+TV和JR+JTV的結果明顯好于其他3種方法的重建結果，這是因為ROI 3原本是一個平坦區(qū)域，SSIM主要取決于重建結果的噪聲水平，而加上先驗約束正是對噪聲有明顯的抑制作用。

對比不同方法重建的ROI 3的SSIM，可以發(fā)現(xiàn)對于2組低劑量CT數(shù)據(jù)，SQS重建性能和2M PET數(shù)據(jù)JR算法一致，比40M PET數(shù)據(jù)JR算法的結果要差。因此，超性能PET系統(tǒng)確實可以幫助改善CT的性能。

總體來說，JR+JTV重建方法在3個ROI內(nèi)性能都比較好，意味著此方法可以在降低噪聲的同時保持對比度。

表1 3個ROI在不同重建方法中的SSIM

3 討論和總結

本文提出了一種利用TOF PET數(shù)據(jù)改善低劑量CT性能的聯(lián)合重建（JR）方法。模擬結果表明，引入JTV先驗的PET和低劑量CT聯(lián)合重建確實改善了低劑量CT的圖像質(zhì)量，不論是針對于降低計數(shù)還是稀疏角度采樣，引入PET數(shù)據(jù)后都可以在降低噪聲和偽影的同時保持對比度。特別是稀疏掃描時CT的偽影問題，依靠PET的固有衰減信息依然可以得到有效解決。如果CT劑量進一步降低，PET數(shù)據(jù)對于CT重建的幫助更大，這對于臨床上降低患者掃描時輻照風險有著十分重要的意義。本次研究還揭示了長軸向視野PET系統(tǒng)改善CT成像的潛力。在本次研究中，引入JTV先驗之后PET重建結果被過度平滑，這主要是因為本次研究中主要是考慮CT圖像的質(zhì)量，為了更好地利用PET圖像先驗信息，在參數(shù)選擇時讓CT圖像對PET圖像的邊界信息更加敏感，最終實現(xiàn)降低噪聲同時保持對比度。在未來工作中會進一步優(yōu)化算法，最終期望可以同時獲得高質(zhì)量的PET、CT圖像。