聚焦高考統(tǒng)計知識的熱點問題

■劉大鳴（特級教師）

近幾年高考對統(tǒng)計的考查主要是圍繞“抽樣方法，莖葉圖，頻率分布直方圖，樣本的數(shù)字特征，回歸分析”等核心考點展開的，著重考查同學們應(yīng)用統(tǒng)計知識解決實際問題的核心素養(yǎng)。下面以近幾年高考試題為載體進行全方位的考點聚焦，希望對同學們的學習有所幫助。

熱點1：分層抽樣問題

例1甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質(zhì)量檢測。若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總件數(shù)為____。

解：由題設(shè)可得抽樣比為設(shè)甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品為x件，則，可得x=3000。故乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總件數(shù)為4800—3000=1800。

品味：當個體差異較大時，常采用分層抽樣法。分層抽樣就是按比例抽樣，根據(jù)總體中的個體數(shù)N和樣本容量n計算抽樣比k=確定第i層應(yīng)抽取的個體數(shù)為k（Ni為第i層包含的個體數(shù)），當k不是整數(shù)時，要從總體中剔除多余的個體。

變式1：某工廠生產(chǎn)甲，乙，丙，丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量（單位：件）分別為200，400，300，100。為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取的件數(shù)為____。

提示：依據(jù)分層抽樣為按比例抽樣的特點確定抽樣比為，故抽取的件數(shù)為60×，即應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取的件數(shù)為18。

熱點2：根據(jù)扇形統(tǒng)計圖合理進行判斷

例2已知某地區(qū)中小學學生的近視情況分布如圖1和圖2所示。為了解該地區(qū)中小學學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（ ）。

圖1

圖2

解：根據(jù)圖1可得總體個數(shù)，根據(jù)抽取比例可得樣本容量。計算分層抽樣的抽樣比，求得樣本中的高中生人數(shù)，利用圖2求得樣本中抽取的高中生近視人數(shù)。

由圖1可知，總體個數(shù)為3500+2000+4500=10000，由此可得樣本容量為10000×2%=200。

品味：把握統(tǒng)計圖表的意義，合理運用統(tǒng)計圖表的數(shù)據(jù)，借助計算進行推理判斷，凸顯對數(shù)據(jù)收集和應(yīng)用的核心素養(yǎng)的考查。

變式2：某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖3所示，則該校女教師的人數(shù)為（ ）。

圖3

提示：由圖3可知該校女教師由初中的和高中的組成，其人數(shù)為77+60=137。應(yīng)選B。

熱點3：利用莖葉圖的數(shù)據(jù)求樣本的數(shù)字特征

例3某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式。為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式。根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單位：m i n）繪制了莖葉圖，如圖4所示。

圖4

根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高。請說明理由。

解：由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，第二種生產(chǎn)方式的效率更高。理由如下：

（1）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80m i n，用第二種生產(chǎn)方式的工人中有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79m i n。因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高。

（2）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5m i n，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5m i n。因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高。

（3）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80m i n，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80m i n。因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高。

（4）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在“莖8”上的最多，關(guān)于“莖8”大致呈對稱分布，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在“莖7”上的最多，關(guān)于“莖7”大致呈對稱分布，且用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少。因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高。

品味：在莖葉圖中，“莖”表示數(shù)的高位部分，“葉”表示數(shù)的低位部分。從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失，且莖葉圖便于記錄和表示。借助莖葉圖的數(shù)據(jù)可以求樣本的數(shù)字特征。

變式3：已知某班級部分同學一次測驗的成績統(tǒng)計如圖5所示，則中位數(shù)和眾數(shù)分別為（ ）。

圖5

提示：由莖葉圖可知，中位數(shù)為92，眾數(shù)為86。應(yīng)選B。

熱點4：利用頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)

例4隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，移動支付（又稱手機支付）越來越普遍，某學校興趣小組為了解移動支付在大眾中的熟知度，對15～65歲的人群隨機抽樣調(diào)查，調(diào)查的問題是：你會使用移動支付嗎?其中回答“會”的共有n人。

把這n人按照年齡分成5組，即第1組為［15，25），第2組為［25，35），第3組為［35，45），第4組為［45，55），第5組為［55，65］，然后繪制成如圖6所示的頻率分布直方圖。其中第1組的頻數(shù)為20。

（1）求n和x的值。

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差。

解：（1）由題意可知

由10×（0.02+0.036+x+0.01+0.004）=1，解得x=0.03。

（2）由頻率分布直方圖可估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為30。

設(shè)中位數(shù)為m，則各組頻率分別為0.2，0.36，0.3，0.1，0.04，且0.2+0.36＞0.5，可知中位數(shù)在第2組中，所以0.2+0.036×（m—25）=0.5，解得m≈33.3，即中位數(shù)約為33.3。

方差s2=（20—34.2）2×0.2+（30—34.2）2×0.36+（40—34.2）2×0.3+（50—34.2）2×0.1+（60—34.2）2×0.04=108.36。

品味：在頻率分布直方圖中，每個小長方形的面積就是相應(yīng)的頻率，所有小長方形的面積之和為1。用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征時，眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，反映在頻率分布直方圖中，對應(yīng)小長方形的面積應(yīng)最大，所以用最高小長方形底邊中點橫坐標估計眾數(shù)；中位數(shù)是頻率分布直方圖中的左右面積等分線對應(yīng)的數(shù)值（橫坐標）；用頻率分布直方圖中每個小長方形的面積pi乘以小長方形底邊中點的橫坐標xi之和估計樣本平均數(shù)，計算公式為，方差計算公式

變式4：某學校為了解小學生的體能情況，抽取了該校不同年級部分學生進行跳繩測試，將所得的數(shù)據(jù)整理后畫出頻率分布直方圖（如圖7）。已知圖中從左到右的前三個小組的頻率分別是0.1，0.3，0.4，第一小組的頻數(shù)是5。

（1）求第四小組的頻率和參加這次測試的學生人數(shù)。

（2）在這次測試中，學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第幾小組內(nèi)?

（3）參加這次測試跳繩次數(shù)在100次以上為優(yōu)秀，試估計學生跳繩成績的優(yōu)秀率。

提示：（1）第四小組的頻率為1—（0.1+0.3+0.4）=0.2。因為第一小組的頻數(shù)為5，第一小組的頻率為0.1，所以參加這次測試的學生人數(shù)為5÷0.1=50。

（2）由頻率分布直方圖可知，0.1×50=5，0.3×50=15，0.4×50=20，0.2×50=10，則第一、第二、第三、第四小組的頻數(shù)分別為5，15，20，10。所以學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第三小組內(nèi)。

（3）由第三、四小組的頻率，可知學生跳繩成績的優(yōu)秀率為（0.4+0.2）×100%=60%。