自主招生真題賞析(一)
——考查力與運(yùn)動部分

■江蘇省六合高級中學(xué) 常仁飛

分析近幾年自主招生試題中對力和運(yùn)動部分的考查內(nèi)容不難發(fā)現(xiàn),考查的知識點(diǎn)包括高中物理全部內(nèi)容和大學(xué)普通物理大部分內(nèi)容,如靜力學(xué)、運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)、能量、動量等?？忌枰攸c(diǎn)研究的物理模型有斜面模型、疊加體模型、含彈簧模型(動力學(xué))、動量和能量相關(guān)的碰撞模型、水平方向的圓盤模型、行星模型、人船模型等?？忌枰炀氄莆盏奈锢硭枷敕椒ㄓ形⒃?、等效法、補(bǔ)償法等。下面精選考查頻率較高的六個方向來賞析,希望對立志于參加自主招生考試的同學(xué)有一定的借鑒作用。

考向一：平動平衡和轉(zhuǎn)動平衡的綜合應(yīng)用

例1(北約)車輪是人類在搬運(yùn)東西的勞動中逐漸發(fā)明的,其作用是使人們能用較小的力量搬運(yùn)很重的物體。假設(shè)勻質(zhì)圓盤代表車輪,其他物體取一正方形形狀。我們現(xiàn)在就比較在平面和斜面兩種情形下,為使它們運(yùn)動(平動、滾動等)所需要的最小作用力。假設(shè)圓盤半徑為b,正方形物體的邊長也為b,它們的質(zhì)量都是m,它們與水平地面或斜面間的動摩擦因數(shù)都是μ,給定傾角為θ的斜面。

(1)使圓盤在平面上運(yùn)動幾乎不需要作用力。使正方形物體在平面上運(yùn)動,需要的最小作用力F1是多少?

(2)在斜面上使正方形物體向上運(yùn)動所需的最小作用力F2是多少?

(3)在斜面上使圓盤向上運(yùn)動所需要的最小作用力F3是多少?限定力F3沿斜面方向。

解析：(1)設(shè)使正方形物體在平面上運(yùn)動所需的最小作用力F1的方向與水平面間的夾角為α,如圖1所示,則F1cosα=f,N+F1sinα=mg,f=μN(yùn),解得設(shè)sin代入上式得F1=當(dāng)α+φ=90°時(shí),F1取最小值

圖2

(2)設(shè)在斜面上使正方形物體向上運(yùn)動所需的最小作用力F2的方向與斜面間的夾角為β,如圖2所示,則F2cosβ=f+mgsinθ,N+F2sinβ=mgcosθ,f=μN(yùn),解得設(shè)sinφ=,代入上式得F2=當(dāng)β+φ=90°時(shí),F2取最小值

圖3

(3)如圖3所示,圓盤沿斜面向上滾動,斜面提供沿斜面向上的摩擦力f,相對于圓盤與斜面的接觸點(diǎn),力F3的最大力臂為2b,則2F3b=mgbsinθ,F3+f=mgsinθ,N=mgcosθ,f=μN(yùn),解得μ=若,則若μ＜則F3=mg(sinθ-μcosθ)。

點(diǎn)評：本題以車輪為切入點(diǎn),意在考查共點(diǎn)力平衡條件、力矩平衡條件、力的分解、摩擦力等知識。選題貼近生活實(shí)際,主要考查考生綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)過的力學(xué)知識和數(shù)學(xué)知識解決生活中的實(shí)際問題的能力。難度略高于高考難度。

考向二：牛頓運(yùn)動定律的綜合應(yīng)用

例2(卓越)如圖4所示,可視為質(zhì)點(diǎn)的兩物塊A、B,質(zhì)量分別為m、2m,物塊A放在一傾角θ=30°并固定在水平面上的光滑斜面上,一不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑輕質(zhì)定滑輪,兩端分別與物塊A、B相連接。托住物塊B使兩物塊處于靜止?fàn)顟B(tài),此時(shí)物塊B距地面的高度為h,輕繩剛好拉緊,物塊A和滑輪間的輕繩與斜面平行?，F(xiàn)將物塊B從靜止釋放,斜面足夠長。重力加速度為g。求：

圖4

(1)物塊B落地前,輕繩中的張力T。

(2)整個過程中,物塊A沿斜面向上運(yùn)動的最大距離L。

解析：(1)設(shè)物塊B落地前兩物塊加速度的大小為a,對于物塊A取沿斜面向上為正方向,對于物塊B取豎直向下為正方向,由牛頓第二定律得T-mgsinθ=m a,2mg-T=2m a,解得T=mg,a=g。

(2)由(1)得a=g；設(shè)物塊B落地前瞬間物塊A的速度為v,物塊B自下落開始至落地前瞬間的過程中,物塊A沿斜面運(yùn)動的距離為h,由運(yùn)動學(xué)公式得v2=2a h；設(shè)物塊B落地后,物塊A沿斜面運(yùn)動過程中的加速度為a',則a'=-gsinθ；設(shè)物塊B落地后物塊A沿斜面向上運(yùn)動的最大距離為s,由運(yùn)動學(xué)公式得-v2=2a's。聯(lián)立以上各式解得s=h。因此整個過程中,物塊A沿斜面向上運(yùn)動的最大距離L=s+h=2h。

點(diǎn)評：本題以連接體問題為背景,意在考查受力分析、力的分解、牛頓第二定律等知識。本題主要考查考生綜合應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律解決連接體問題和多過程問題的能力。難度非常接近高考難度。

考向三：運(yùn)動的合成與分解

例3(華約)如圖5所示,小球從臺階上以一定初速度水平拋出,恰落到第一級臺階邊緣,反彈后再次落下,經(jīng)0.3s恰落至第3級臺階邊界。已知每級臺階寬度及高度均為18cm,取g=10m/s2,且小球反彈時(shí)水平速度不變,豎直速度反向,但變?yōu)樵俣鹊摹?/p>

圖5

(1)求小球拋出時(shí)的高度及距第一級臺階邊緣的水平距離。

(2)小球是否會落到第5級臺階上?請說明理由。

解析：(1)設(shè)臺階的寬度和高度為a,小球拋出時(shí)的水平初速度為v0,第一次與臺階碰撞前、后的速度的豎直分量(取豎直向上為正方向)的大小分別為vy1和vy'1,小球兩次與臺階碰撞的時(shí)間間隔為t0,則a=18cm=0.18m,t04vy1',解得vy1=v0=1.2m/s。設(shè)小球從第一次拋出到第一次落到臺階上的時(shí)間為t1,落點(diǎn)與拋出點(diǎn)之間的水平距離和豎直距離分別為x1和y1,則,解得y1=0.072m,x1=0.144m。

(2)設(shè)小球第二次與臺階碰撞前速度的豎直分量大小為vy2,則vy22-vy'12=2g·2a,解得vy2=2.7m/s,可見vy2＞vy1。小球反彈后再次落下到與第3級臺階相同的水平位置所用的時(shí)間將大于0.3s,水平位移將大于2a,所以小球不會落到第5級臺階上。

點(diǎn)評：本題以臺階上平拋小球?yàn)榍腥朦c(diǎn),類似的情境曾在平拋運(yùn)動中見過,但是題設(shè)的條件和設(shè)問方式大有不同。本題意在考查平拋運(yùn)動規(guī)律、豎直上拋運(yùn)動、運(yùn)動的合成和分解等知識的靈活運(yùn)用?？忌粲眯睊佭\(yùn)動規(guī)律進(jìn)行求解,反而會顯得復(fù)雜,可見本題不僅重在考查考生應(yīng)用運(yùn)動的合成與分解解決問題的能力,而且更為本質(zhì)的是考查考生靈活應(yīng)用等效法的能力,很好地體現(xiàn)了對課程標(biāo)準(zhǔn)要求的過程與方法目標(biāo)的考查。

考向四：萬有引力定律的綜合應(yīng)用

例4(清華大學(xué)等五校)如圖6所示,衛(wèi)星攜帶一探測器在半徑為3R(R為地球半徑)的圓形軌道上繞地球飛行。在a點(diǎn),衛(wèi)星上的輔助動力裝置短暫工作,將探測器沿運(yùn)動方向射出(設(shè)輔助動力裝置噴出的氣體質(zhì)量可忽略)。若探測器恰能完全脫離地球的引力,而衛(wèi)星沿新的橢圓形軌道運(yùn)動,其近地點(diǎn)b距地心的距離為n R(n略小于3),求衛(wèi)星與探測器的質(zhì)量比。(質(zhì)量分別為M、m的兩個質(zhì)點(diǎn)相距為r時(shí)的引力勢能為,式中G為引力常量)

圖6

解析：設(shè)地球質(zhì)量為M,衛(wèi)星質(zhì)量為m,探測器質(zhì)量為m',當(dāng)衛(wèi)星和探測器一起繞地球做圓周運(yùn)動時(shí),由萬有引力定律和牛頓第二定律得解得設(shè)分離后探測器速度為v',探測器剛好脫離地球引力應(yīng)滿足,解得設(shè)分離后衛(wèi)星速度為u,近地點(diǎn)速度為vb,則,解得。由分離前后動量守恒得(m+m')v=m u+m'v',解得

點(diǎn)評：本題以衛(wèi)星拋射探測器為背景,意在考查萬有引力定律、動能定理、動量守恒定律等知識。試題注重對基本模型和基礎(chǔ)概念理解程度的考查,要求考生在理解的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用。難度略高于高考難度。

考向五：動能定理

例5(北約)某車輛在平直路面上進(jìn)行行駛測試,測試過程中速度v(帶有正負(fù)號)和時(shí)間t的關(guān)系如圖7所示。已知該過程中發(fā)動機(jī)和車內(nèi)制動裝置對車輛所做總功為零,車輛與路面間的動摩擦因數(shù)μ為常量,試求μ值。數(shù)值計(jì)算時(shí),取重力加速度g=10m/s2。

圖7

解析：對車輛正方向運(yùn)動的整個過程應(yīng)用動能定理得W1+Wz1-μm g x1=0-,對車輛負(fù)方向運(yùn)動的整個過程應(yīng)用動能定理得W2+Wz2-μm g x2=0,二式相加得W1+Wz1-μm g x1+W2+Wz2-μm g x2=根據(jù)題意知W1+Wz1+W2+Wz2=0,所以μm g(x1+x2)=由速度—時(shí)間圖像知v0=2m/s,x1=21m,x2=6m,解得

點(diǎn)評：本題以車輛在平直路面上進(jìn)行行駛測試切入,意在考查動能定理、速度—時(shí)間圖像等知識。解答本題時(shí),正確應(yīng)用物理規(guī)律,規(guī)范解題過程,認(rèn)真運(yùn)算,顯得特別重要。難度與高考難度相當(dāng)。

考向六：動量守恒定律

例6(北約)平直鐵軌上停著一節(jié)質(zhì)量M=2m的小車廂,可以忽略車廂與水平鐵軌之間的摩擦。有N名組員沿著鐵軌方向列隊(duì)前行,另有1名組長在最后,每名組員的質(zhì)量同為m。

(1)當(dāng)組員和組長發(fā)現(xiàn)前面車廂時(shí),都以相同速度v0跑步,每名組員在接近車廂時(shí)又以2v0速度跑著上車坐下,組長卻因跑步速度沒有改變而恰好未追上車,試求N。

(2)組員們上車后,組長前進(jìn)速度減為,車上的組員朝著車廂前行方向一個接一個水平跳下,組員離開車瞬間相對車廂的速度大小同為u,結(jié)果又可使組長也能追上車。試問：跳車過程中組員們總共至少消耗掉人體中的多少內(nèi)能?

解析：(1)設(shè)組員全部上車后,車的速度為v,由動量守恒定律得2Nm v0=(M+Nm)v,解得組長恰好未能追上車,必有v=v0,解得N=2。

(2)設(shè)第一名組員離開后車的速度為v1,第二名組員離開后車的速度為v2,由動量守恒定律得(M+2m)v0=(M+m)v1+m(v1+u),即4v0=4v1+u,解得v1=v0-同理得(M+m)v1=M v2+m(v2+u),即3v1=3v2+u,解得可使組長也能追上車,要求,即解得為了計(jì)算臨界情況,取,則,由能量守恒定律得

點(diǎn)評：本題以人跳上車廂為背景,考查動量守恒的條件及應(yīng)用,同時(shí)考查物理學(xué)中最基礎(chǔ)的能量守恒定律,體現(xiàn)了對考生綜合應(yīng)用動量守恒和能量守恒解決問題的能力的考查。難度很接近高考難度。

自主招生試題中關(guān)于力與運(yùn)動部分的考查內(nèi)容立足于現(xiàn)行高考要求的主干知識,顯示了“基礎(chǔ)知識是創(chuàng)新能力的載體、自主選拔與高考并軌”的命題意識,但為了拉開差距,還會附加部分高中未學(xué)而競賽中常涉及的重要知識點(diǎn)。這樣的命題模式,要求我們在自主選拔的備考中要做到“立足高考,穩(wěn)扎穩(wěn)打；兼顧競賽,適當(dāng)拓寬知識面”。