兩極平行充磁環(huán)形永磁體磁場解析計算

張巖巖，周 健，耿海鵬，徐祥銘，程文杰，虞 烈

(1.西安交通大學，西安 710049； 2.西安科技大學，西安 710054)

0 引 言

彈性箔片軸承支承的高速永磁同步電機主要應用于燃料電池空氣壓縮機、微型燃氣輪機等各種透平機械中，高轉(zhuǎn)速、大功率密度、特殊支承等特點使其在設計制造、研究分析、實驗測試等方面都不同于普通電機，也使得對其進行深入研究以提高設計技術(shù)顯得尤為重要。電磁場分析是電機研究中的基礎和重點內(nèi)容，磁場分布計算和分析的結(jié)果是設計、優(yōu)化電機電磁性能的關(guān)鍵，影響著電磁轉(zhuǎn)矩、電磁振動和噪聲、電磁損耗等電機特性計算的準確程度，還直接影響著電機的控制性能。

對于永磁電機永磁體轉(zhuǎn)子勵磁磁場分布的計算，目前主要采用有限元法和解析法。有限元法計算精度高，能夠處理結(jié)構(gòu)比較復雜的電機模型，但是建模和計算要消耗一定的時間量；解析法計算量小，方便簡單，速度也快，但是針對復雜結(jié)構(gòu)的電機，勵磁磁場解析表達式的推導似乎有些困難。針對多極表貼式永磁電機，Boules在1984年給出了直角坐標系下永磁無刷同步電機磁場的二維解析解[1]，該模型考慮了永磁體的漏磁、永磁體磁動勢沿高度的分布以及永磁體寬度的變化(由于永磁體弧角不變)，利用卡特系數(shù)和飽和因子分別考慮定子開槽效應和磁路中鐵心的飽和效應。1985年Boules提出用等效載流線圈代替永磁體的勵磁作用[2]，并在極坐標系下建立了永磁無刷同步電機和永磁直流電機徑向充磁和平行充磁時定、轉(zhuǎn)子鐵心表面空載磁場分布的解析模型。Gu等推導了表貼式永磁電機永磁體勵磁磁場的解析解[3]。1993年Zhu等建立了更為通用的開路磁場分布的求解方法[4]，這種方法在極坐標系下通過求解拉普拉斯方程(氣隙區(qū)域)和泊松方程(永磁體區(qū)域)獲得開路磁場的解析解。盡管這種方法針對的是永磁無刷直流電機，但對于無刷永磁交流電機、永磁有刷電機也是適用的。王興華等[5]利用定解條件，求解關(guān)于標量磁位的偏微分方程，得到永磁無刷直流電機徑向永磁磁場的解析表達式。對于形狀簡單磁化均勻的永磁體，2007年文獻[6]引入磁荷密度和圓環(huán)諧波函數(shù)，推導了平行充磁的兩極實心圓柱永磁體置于空氣中時勵磁磁場的三維解析解，但是文獻沒有考慮當永磁體置于定子腔中的情形。Rahideh 等[7]推導了外轉(zhuǎn)子和內(nèi)轉(zhuǎn)子無槽無刷表貼式永磁電機6種磁化方式下開路磁場分布的解析表達式，在模型建立的過程中，定、轉(zhuǎn)子鐵心被視為具有有限值的磁導率。李界華等[8]推導了徑向充磁和兩段式Halbach充磁兩種充磁方式下永磁電機空載氣隙磁密的解析解。黃克峰等[9]利用面電流等效永磁體，推導了徑向充磁表貼式永磁同步電機空載時定子內(nèi)表面磁場的解析表達式。

很多關(guān)于永磁電機永磁體磁場解析計算的文獻主要是針對極弧系數(shù)小于1的瓦片形磁極，對于這種磁極，徑向充磁和平行充磁下，將磁化強度M表達成傅里葉級數(shù)的形式后都有×M≠0或divM≠0。由于常規(guī)的疊片轉(zhuǎn)子難以承受高速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力，高速或超高速永磁同步電機普遍采用實心轉(zhuǎn)子，即永磁體采用實心圓柱式或內(nèi)裝心軸的圓環(huán)形，這些結(jié)構(gòu)類型的永磁體，與極弧系數(shù)等于1的瓦片形永磁體相同，平行充磁下卻有×M=0或divM=0，因此現(xiàn)有的很多文獻中的解析模型不再適用。由于高速或超高速永磁同步電機設計中的理論需要，獲得這類永磁磁場解析計算公式顯得特別重要。文獻[10]針對內(nèi)裝導磁鐵心的2極平行充磁磁環(huán)(或2片180°磁瓦)，給出了氣隙中開路靜磁場徑向分量的解析計算公式，指出該磁場是正弦分布的。但是當永磁體內(nèi)側(cè)存在二次氣隙時，文獻[10]給出的解析表達式不再適用，在此情況下，文獻[11]在文獻[10]的基礎上推導了更為通用的解析計算公式，并將該公式擴展到鐵心或心軸采用不導磁材料以及轉(zhuǎn)子置于空氣中的情形，但也只給出了磁場徑向分量的表達式。2015年Cheng等[12]給出了極坐標系下平行充磁實心圓柱式永磁體(以下簡稱SCPM)和內(nèi)裝導磁心軸的環(huán)形永磁體(以下簡稱RSPM)置于定子腔以及空氣中時產(chǎn)生的磁場的二維解析模型，結(jié)果顯示,4種情形下各向磁場均為正弦分布?？梢姡壳叭匀蝗鄙倏梢杂嬎銉?nèi)裝不導磁心軸的平行充磁RSPM各向磁場分布的解析公式，本文以此類永磁體為研究對象，就其置于定子腔(情形1)以及空氣中(情形2)進行磁場分布精確解析計算模型的推導和有限元驗證，為采用這類結(jié)構(gòu)的平行充磁高速永磁同步電機的優(yōu)化設計、性能分析以及轉(zhuǎn)子永磁體充磁后的磁場檢測提供有用、可靠的理論依據(jù)，也為繼續(xù)計算和分析這類電機電磁振動和噪聲、電磁損耗等相關(guān)特性提供條件和便利。

1 永磁體磁場的解析模型

1.1 永磁轉(zhuǎn)子置于定子腔中

1.1.1 數(shù)學模型

圖1為內(nèi)裝不導磁心軸的兩極平行充磁環(huán)形永磁同步電機(以下簡稱RSPMSM)的基本模型。圖1中，Rs為定子內(nèi)半徑，Rp為永磁體外半徑，Rf為心軸外半徑。這種結(jié)構(gòu)類型電機的轉(zhuǎn)子永磁體外面一般

圖1 電機分析模型

增加保護套，由于保護套選用不導磁合金，相對磁導率與空氣近似，在計算靜磁場時將保護套和不導磁心軸同時作為空氣處理。根據(jù)材料和結(jié)構(gòu)特點，將整個求解場域劃分為永磁體區(qū)域Ⅰ、氣隙區(qū)域Ⅱ和不導磁心軸區(qū)域Ⅲ3個子域，在極坐標系下建立數(shù)學模型，下角標r，θ和z分別表示變量的徑向、周向和軸向分量。為了簡化求解，作如下假設：

(1)不考慮端部效應；

(2)忽略渦流效應和飽和效應；

(3)將定子鐵心的相對磁導率視為無窮大；

(4)永磁體的退磁曲線是線性的。

1.1.2 磁化強度

如圖2所示，對于平行充磁的永磁體，在極坐標系下，磁化強度M可以寫為：

M=Mrr+Mθθ

(1)

(2)

式中：M=|M|；Mr和Mθ分別為永磁體磁化強度的徑向和周向分量。

圖2 兩極平行充磁RSPM的磁化模型

1.1.3 矢量磁位通解

在永磁體區(qū)域Ⅰ，矢量磁位AⅠ滿足泊松方程，在氣隙區(qū)域Ⅱ和不導磁心軸區(qū)域Ⅲ，矢量磁位AⅡ和AⅢ滿足拉普拉斯方程，即：

(3)

式中：μ0為真空磁導率，μ0=4π × 10-7H/m。

對于二維磁場，A=Azez，Ar= 0，Aθ= 0，因此3個區(qū)域的控制方程可以寫為Az的二維泊松方程：

2Aiz=0 (i=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)

(4)

式(4)可以用分離變量法求出如下通解：

式中：Ei0，F(xiàn)i0，Li0，Mi0，Eim，F(xiàn)im，Lim和Mim為待定系數(shù)。

磁通密度和矢量磁位的關(guān)系如下：

(6)

式中：Br和Bθ分別為磁通密度的徑向和周向分量。

在各個區(qū)域內(nèi)，磁感應強度B、磁場強度H和磁化強度M的關(guān)系可記為：

(7)

式中：μr為永磁體的相對磁導率。

根據(jù)磁場的對稱性，有：

(8)

(9)

根據(jù)式(6)、式(8)和式(9)，可將式(5)簡化成：

(10)

1.1.4 邊界條件和接口條件

在定子內(nèi)表面(r=Rs)有：

HⅡθ|r=Rs=0

(11)

式中：Hθ為磁場強度的周向分量。

在氣隙區(qū)域和永磁體區(qū)域分界面(r=Rp)，徑向磁密和周向磁場強度連續(xù)，因此有：

(12)

同樣地，在永磁體區(qū)域和不導磁心軸區(qū)域分界面(r=Rf)，有：

(13)

由式(10)，結(jié)合式(6)、式(7)以及邊界和接口條件式(11)、式(12)和式(13)，可以得到不同區(qū)域內(nèi)各向磁場分布的解析計算公式。設定空間角θ= 0位于轉(zhuǎn)子永磁體磁極的中心線上，在永磁體內(nèi)，有：

(14)

在氣隙區(qū)域中，有：

(15)

(16)

1.2 永磁轉(zhuǎn)子置于空氣中

與永磁轉(zhuǎn)子置于定子腔中的情形類似，將求解場域分為永磁體區(qū)域Ⅰ、永磁體外部區(qū)域Ⅱ和不導磁心軸區(qū)域Ⅲ3個子域，如圖3所示。

圖3 電機的求解區(qū)域(情形2)

3個區(qū)域控制方程和矢量磁位通解的形式同式(4)和式(10)。

在永磁體外部區(qū)域無窮遠處(r= ∞)應有：

HⅡr|r=∞=0，HⅡθ|r=∞=0

(17)

在永磁體外部區(qū)域和永磁體區(qū)域分界面(r=Rp)，接口條件的形式同式(12)。

在永磁體區(qū)域和不導磁心軸區(qū)域分界面(r=Rf)，接口條件的形式同式(13)。

由式(10)，結(jié)合式(6)、式(7)以及邊界和接口條件式(17)、式(12)和式(13)，可以得到不同區(qū)域內(nèi)各向磁場分布的解析計算公式。在永磁體內(nèi)，有：

(18)

在永磁體外部空氣中，有：

(19)

2 有限元仿真驗證

以一臺內(nèi)裝不導磁心軸的兩極平行充磁RSPMSM為例，分析永磁體產(chǎn)生的磁場，樣機相關(guān)參數(shù)如表1所示。本文解析模型沒有考慮齒槽效應，為了考慮定子開槽對氣隙磁場的影響，引入氣隙相對比磁導函數(shù)[13]。

表1 樣機相關(guān)參數(shù)

在電磁場分析軟件Ansoft Maxwell中建立電機的有限元模型，進行開路靜磁場的仿真計算，得到氣隙區(qū)域和永磁體區(qū)域各向磁通密度分布，與本文解析模型計算結(jié)果的對比如圖4所示。可以看出，對于內(nèi)裝不導磁心軸的兩極平行充磁RSPM，當置于定子腔中時，磁通密度是標準的正弦波形，在一個機械周期內(nèi)呈1個周期分布，與電機極對數(shù)相對應。永磁體內(nèi)磁密波形的解析結(jié)果和有限元結(jié)果吻合得較好，距離定子內(nèi)徑較遠處，定子齒槽對氣隙磁密的影響較小，解析解和有限元解也能夠較好地吻合。越靠近定子內(nèi)徑，定子開槽對氣隙磁密的影響越大，齒槽效應使得氣隙磁密在定子槽口處有波動，尤其是在距離磁極相對較近的槽口區(qū)域。另外，齒邊緣區(qū)域氣隙磁導的急劇變化而引起的聚磁效應使氣隙磁密波形在齒邊緣出現(xiàn)尖峰。解析模型是在定子內(nèi)徑光滑的假設下獲得的，沒有考慮齒槽效應，而氣隙相對比磁導函數(shù)又無法考慮定子齒尖處的聚磁效應，因此靠近定子內(nèi)徑處，解析計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果在齒尖處相差較大。對于氣隙磁密的周向分量，由于聚磁效應，其波形在齒尖處出現(xiàn)鋸齒狀，同時還可以看出，氣隙相對比磁導函數(shù)不能反映定子開槽對氣隙磁密周向分量的影響。

(a) 氣隙區(qū)域(r= 43 mm)

(b) 氣隙區(qū)域(r= 46.5 mm)

(c) 永磁體區(qū)域(r= 22 mm)

對仿真得到的各向氣隙磁密進行快速傅里葉變換，將基波分量與解析模型計算出的氣隙磁密進行對比，如圖5所示?？梢钥闯?，不管是距離定子內(nèi)徑較遠處，還是靠近定子內(nèi)徑處，氣隙磁密的解析解和其基波的有限元解都是一致的，進一步驗證了解析模型的正確性。這樣，在電機初始設計前期，可以利用式(15)方便且精確地計算出定子內(nèi)徑處的徑向氣隙磁密，結(jié)合相關(guān)參數(shù)進一步得到電機的空載反電動勢，從而在有限元仿真分析之前簡捷快速地驗證方案的合理性，了解參數(shù)調(diào)整的大致范圍和方向，有效地節(jié)約時間和提高設計精度。

(a) r= 43 mm

(b) r= 46.5 mm

在電磁場分析軟件Ansoft Maxwell中只建立永磁體的有限元模型，進行轉(zhuǎn)子置于空氣中時靜磁場的仿真計算，得到永磁體外部區(qū)域以及永磁體區(qū)域各向磁通密度分布，與本文解析模型計算結(jié)果的對比如圖6所示，可以看出，解析解和有限元解同樣吻合地非常好。當轉(zhuǎn)子置于空氣中時，磁通密度仍然是標準的正弦波形，在永磁體外部，磁密徑向分量和周向分量的幅值相等，相位相差-π/2。樣機轉(zhuǎn)子永磁體充磁后，在空氣中利用高斯計測量轉(zhuǎn)子保護套表面的磁感應強度，根據(jù)式(19)快速求取磁密計算值并與測量值進行比較，從而方便地檢測轉(zhuǎn)子永磁體的充磁效果。

(a) 永磁體外部(r= 46.5 mm)

(b) 永磁體區(qū)域(r= 22 mm)

由以上分析可知，和兩極平行充磁SCPM[12]以及內(nèi)裝導磁心軸的兩極平行充磁RSPM[12]一樣，內(nèi)裝不導磁心軸的兩極平行充磁RSPM，不管是置于定子腔還是空氣中，產(chǎn)生的磁場也是標準的正弦波形，大大減少了氣隙中的諧波磁場，從而對改善電機的振動與噪聲、電磁轉(zhuǎn)矩波動，降低電機的電磁損耗等都有較大的作用，而這些對于高速和超高速永磁電機來說是很重要的。

3 轉(zhuǎn)子尺寸對徑向磁密的影響

對于表1的樣機，當轉(zhuǎn)子置于定子腔中時，利用本文解析模型計算出的定子內(nèi)徑和氣隙中心(r= (Rp+Rs)/2)處徑向磁密幅值隨轉(zhuǎn)子尺寸的變化關(guān)系如圖7所示。當轉(zhuǎn)子置于空氣中時，利用解析模型計算出的r= 42.5 mm處徑向磁密幅值隨轉(zhuǎn)子尺寸的變化關(guān)系如圖8所示。從圖7和圖8中可以看出，兩種情形下，徑向磁密均隨著永磁體外半徑的增加和心軸外半徑(等于永磁體內(nèi)半徑)的減小而增大，但是相比后者，永磁體外半徑的影響更大。情形1中，永磁體外半徑從37.5 mm增加到38.5 mm(心軸外半徑Rf=6 mm)，定子內(nèi)徑處和氣隙中心處的徑向磁密幅值均增加了5.600 6%，心軸外半徑從6.5 mm減小到5.5 mm(永磁體外半徑Rp=38 mm)，兩處的徑向磁密幅值均僅增加0.864 1%。對于情形2，永磁體外半徑從37.5 mm增加到38.5 mm(心軸外半徑Rf=6 mm)，所考察半徑處徑向磁密的幅值增加了5.546 4%，而心軸外半徑從6.5 mm減小到5.5 mm(永磁體外半徑Rp=38 mm)，同樣位置處徑向磁密的幅值僅增加0.855 9%。這是因為沿半徑方向?qū)⒂来朋w外半徑和內(nèi)半徑分別增加同樣的厚度，永磁體體積的增加量卻是不同的。由此可知，在同類電機的初步設計中，為滿足電機性能指標而需要調(diào)整參數(shù)時，改動永磁體的外半徑將獲得更為明顯的效果。

(a) 徑向磁密幅值隨永磁體外半徑變化的關(guān)系

(b) 徑向磁密幅值隨心軸外半徑變化的關(guān)系

(a) 徑向磁密幅值隨永磁體

(b) 徑向磁密幅值隨心軸

4 結(jié) 語

對于內(nèi)裝不導磁心軸的兩極平行充磁RSPM，不管是置于定子腔還是空氣中，產(chǎn)生的磁場均為標準的正弦波形，這在很大程度上改善了電機的電磁性能。磁通密度的解析計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果一致，驗證了解析模型的正確性。

對于內(nèi)裝不導磁心軸的兩極平行充磁RSPM，置于定子腔中時的徑向氣隙磁密和置于空氣中時外部空氣中的徑向磁密均隨著永磁體外半徑的增加和心軸外半徑的減小而增大，但是相比后者，永磁體外半徑的影響更大，因此在同類電機的初步設計中，為滿足電機性能指標而需要調(diào)整參數(shù)時，改動永磁體的外半徑將獲得更為明顯的效果。利用本文解析模型可以快速且精確地計算氣隙磁密(永磁體置于定子腔中)以及永磁體外部磁密(永磁體置于空氣中)，為電機的設計和優(yōu)化提供依據(jù)，并且便于檢測樣機轉(zhuǎn)子永磁體的充磁效果。另外，本文解析模型也為繼續(xù)研究該結(jié)構(gòu)類型的高速/超高速永磁同步電機的相關(guān)特性提供了條件和便利。