復(fù)雜約束條件下高超聲速飛行器再入軌跡優(yōu)化

張合新，宮梓豐，蔡光斌，宋 睿

(1.火箭軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈工程學(xué)院，西安 710025； 2.青州士官學(xué)院， 山東 青州 262500)

近年來(lái)，有關(guān)復(fù)雜約束的高超聲速滑翔飛行器軌跡優(yōu)化已經(jīng)成了國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)[1]。高超聲速飛行器實(shí)際再入的過(guò)程中，不僅要考慮大氣壓強(qiáng)、熱流量、熱流密度等約束限制[2]，還要對(duì)再入環(huán)境狀態(tài)(自然條件和政治軍事因素)進(jìn)行避障與突防[3-4]。現(xiàn)有的制導(dǎo)控制方法可以解決再入過(guò)程中的問(wèn)題，而對(duì)于高超聲速飛行器而言，要實(shí)現(xiàn)戰(zhàn)略突防[5]?，F(xiàn)今研究對(duì)禁飛區(qū)與突防的研究成果相對(duì)較淺[6]，是軌跡優(yōu)化領(lǐng)域值得深入研究的課題。軌跡優(yōu)化問(wèn)題具有較高的非線性和復(fù)雜度，常規(guī)的變分法和極大值原理難以在規(guī)定時(shí)間內(nèi)高效求解出最優(yōu)解[7]，因而通常用數(shù)值法進(jìn)行求解。偽譜法[8]是數(shù)值法的典型代表方法，大多數(shù)配點(diǎn)基于高斯積分規(guī)則[9]，采用契比雪夫或勒讓德多項(xiàng)式，而后對(duì)全局進(jìn)行插值[10]。文獻(xiàn)[11]通過(guò)構(gòu)建高超聲速飛行器物理模型，考慮飛行任務(wù)中的過(guò)程約束和終端約束，利用偽譜法解決了軌跡優(yōu)化問(wèn)題；文獻(xiàn)[12]進(jìn)一步討論了偽譜法再入軌跡制導(dǎo)的應(yīng)用，但針對(duì)禁飛區(qū)約束條件沒(méi)有作出細(xì)化考慮。針對(duì)改進(jìn)自適應(yīng)偽譜法，對(duì)最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即將整個(gè)區(qū)間進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化[13]，避免出現(xiàn)極其精細(xì)的網(wǎng)格化和不合理的高逼近多項(xiàng)式，并綜合網(wǎng)格密度和插值多項(xiàng)式的階次，使系統(tǒng)滿足較快的收斂速度，提出最大軌跡空間概念，軌跡能夠完整繞開(kāi)禁飛區(qū)，且提升了原有精度。通過(guò)仿真計(jì)算結(jié)果計(jì)算狀態(tài)量，評(píng)估軌跡狀態(tài)性能得出結(jié)論。

1 再入模型構(gòu)建

復(fù)雜約束下的高超聲速滑翔飛行器再入軌跡優(yōu)化與飛行器物理結(jié)構(gòu)、過(guò)程及終端約束和目標(biāo)方程息息相關(guān)，下面就對(duì)模型及約束分別進(jìn)行定義。

1.1 滑翔飛行器再入運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

高超聲速滑翔飛行器再入過(guò)程受到很多約束的限制，信號(hào)通道間的耦合問(wèn)題也較為突出，且非線性特征明顯，其動(dòng)態(tài)變化可由一組非線性微分方程表示[9]。假定地球?yàn)榫鶆蚬饣那蝮w，則滑翔飛行器再入過(guò)程中的位置變化如下：

(1)

式(1)中，x、y、z分別是飛行器在航跡坐標(biāo)系下三個(gè)軸所對(duì)應(yīng)的位移分量；v是飛行器的線速度；ζ為航跡傾角；ξ為航跡方位角。飛行器的速度、航跡方位角和航跡傾角的一階微分滿足以下關(guān)系：

(2)

式(2)中，Q、S、g、m和σ分別代表飛行器的動(dòng)壓、再入?yún)⒖济婷娣e、重力加速度、飛行器質(zhì)量和傾斜角(bank angle)；KD、KL、KY分別是飛行器的阻力系數(shù)、升力系數(shù)和側(cè)向力系數(shù)。動(dòng)壓Q滿足公式：

(3)

式(3)中，ρ表示大氣密度。其大小會(huì)隨飛行高度的變化而發(fā)生改變，一般用如下的公式進(jìn)行擬合：

(4)

式(4)中:ρ0為海平面標(biāo)準(zhǔn)大氣密度；re為地球半徑；H為常值。

1.2 約束條件

為進(jìn)一步模擬實(shí)際飛行條件，在軌跡優(yōu)化的過(guò)程中引入禁飛區(qū)約束。禁飛區(qū)即飛行器不允許飛入的空域，譬如防空識(shí)別區(qū)、導(dǎo)彈攔截區(qū)等，在設(shè)計(jì)軌跡的時(shí)候必須要繞過(guò)禁飛區(qū)。

根據(jù)需要，確定禁飛區(qū)路徑約束為：

C(x(t),u(t),t)≤0,t∈[t0,tf]

(5)

通常情況，熱流、動(dòng)壓和過(guò)載被認(rèn)為是路徑約束，以不等式的形式給出，比如說(shuō)熱流約束表示為：

(6)

式(6)中，RN為滑翔飛行器頭部熱流駐點(diǎn)半徑；ρ0為海平面標(biāo)準(zhǔn)大氣密度；Vc=7.8×103m/s為地球第一宇宙速度；K1為常數(shù)。

過(guò)載約束的表達(dá)為：

(7)

動(dòng)壓約束的表達(dá)式為：

(8)

1.3 禁飛區(qū)參數(shù)模型構(gòu)建

禁飛區(qū)的形狀不盡相同，可以分為規(guī)則形狀禁飛區(qū)和不規(guī)則形狀禁飛區(qū)。常見(jiàn)的典型規(guī)則形狀禁飛區(qū)包括圓柱形、球形(半球形)、橢圓柱形和橢球形(半橢球形)，不規(guī)則形狀禁飛區(qū)可以通過(guò)多種、多個(gè)典型規(guī)則形狀的禁飛區(qū)形狀的組合來(lái)表征。下面通過(guò)具體分析，分別建立參數(shù)化數(shù)學(xué)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)多種禁飛區(qū)覆蓋范圍的描述。

1.3.1 球體、橢球體禁飛區(qū)

在進(jìn)行禁飛區(qū)坐標(biāo)表示時(shí)，對(duì)于橢圓柱形禁飛區(qū)，首先確定禁飛區(qū)的中心點(diǎn)位置N的坐標(biāo)，該點(diǎn)一般位于地球表面，一般以該點(diǎn)在地心赤道坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(rN,λN,φN)為準(zhǔn)。再以N點(diǎn)為原點(diǎn)建立禁飛區(qū)直角坐標(biāo)系，其中Nx軸沿著橢圓柱面的短半軸方向，Ny軸垂直于水平面指向天，Nz軸沿著橢圓柱面的長(zhǎng)半軸方向，Nx軸與正北方向的夾角為αN。參照文獻(xiàn)[13]，禁飛區(qū)中心點(diǎn)在地心赤道坐標(biāo)系下的坐標(biāo)可以表示為：

(9)

式(9)中，re為地球半徑；(r,λ,φ)為飛行器在地心求坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

由禁飛區(qū)坐標(biāo)系到地心赤道坐標(biāo)系的變換矩陣為：

F=F2[-(90°+αN)]F1[φN]F3[λN-90°]

(10)

其中

(11)

(12)

(13)

因此，飛行器在禁飛區(qū)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(xN,yN,zN)可以表示為：

(14)

由此，橢球體禁飛區(qū)參數(shù)坐標(biāo)可以表示為：

(15)

式(14)中，a、b分別為橢球赤道面的長(zhǎng)半軸和短半軸長(zhǎng)度；c為橢球的極半徑長(zhǎng)度。圖1為橢球體禁飛區(qū)示意圖。

圖1 橢球體禁飛區(qū)示意圖

當(dāng)a=b=c時(shí)，橢球球心至橢球表面各點(diǎn)距離相等，此時(shí)的橢球體禁飛區(qū)退化成球體禁飛區(qū)，其半徑r=a=b=c。

1.3.2 圓柱、橢圓柱體禁飛區(qū)

令式(14)中的橢球體極半徑長(zhǎng)度c=∞，此時(shí)的橢球體就變成了橢圓柱體，可以表達(dá)為：

(16)

橢圓柱體切面的長(zhǎng)半軸、短半軸分別為a、b，分別與禁飛區(qū)坐標(biāo)系Nxf、Nzf軸重合。若禁飛區(qū)有具體的高度界限，則可通過(guò)限定y的取值范圍來(lái)實(shí)現(xiàn)表示。特殊地，當(dāng)橢圓柱體的長(zhǎng)半軸和短半軸相等時(shí)，即a=b，此時(shí)的橢圓柱體即是圓柱體，其切面半徑r=a=b。圖2為橢圓柱體禁飛區(qū)示意圖。

圖2 橢圓柱體禁飛區(qū)示意圖

禁飛區(qū)形狀具有多樣化的特點(diǎn)，而其他形狀的禁飛區(qū)可以類(lèi)比以上兩種情況得出相關(guān)表達(dá)式，此處不再贅述。

飛行器再入時(shí)，其軌跡不得進(jìn)入禁飛區(qū)內(nèi)部，即飛行器與禁飛區(qū)的最短距離必須保持為正值，設(shè)L(x(t),t)為飛行器到禁飛區(qū)的最短距離，則禁飛區(qū)約束可以通過(guò)代數(shù)表達(dá)的方式計(jì)入計(jì)算，即使得L(x(t),t)≥εn。

2 自適應(yīng)偽譜法解決最優(yōu)控制問(wèn)題

2.1 自適應(yīng)網(wǎng)格規(guī)劃策略

在判斷是否需要細(xì)化網(wǎng)格區(qū)間時(shí)，要確定誤差評(píng)估準(zhǔn)則。在自適應(yīng)偽譜法評(píng)估的基礎(chǔ)上，將動(dòng)態(tài)約束和路徑約束方程在配點(diǎn)間的契合程度作為誤差評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)[14]。

設(shè)[tk-1,tk]為第k個(gè)子區(qū)間，區(qū)間內(nèi)共有Nk個(gè)配點(diǎn)數(shù)。取相鄰配點(diǎn)之間的等間距分布的s個(gè)點(diǎn)作為誤差評(píng)估采樣點(diǎn)，有：

(17)

式(17)中，i=1,…,N(k)；n是子區(qū)間內(nèi)配點(diǎn)間評(píng)估采樣點(diǎn)的序數(shù)。評(píng)估采樣點(diǎn)的數(shù)量選取可以隨機(jī)確定，但不宜過(guò)多，一般取為2～4，因?yàn)檫^(guò)多的采樣點(diǎn)會(huì)造成計(jì)算代價(jià)的增加，而傳統(tǒng)的hp自適應(yīng)偽譜法在采樣時(shí)僅僅取相鄰配點(diǎn)的中點(diǎn)作為采樣點(diǎn)，其誤差評(píng)判規(guī)則不夠精確。

(18)

2.2 考慮禁飛區(qū)的再入軌跡優(yōu)化求解策略

高超聲速飛行器再入軌跡的設(shè)置需要考慮復(fù)雜約束，而軌跡優(yōu)化問(wèn)題經(jīng)過(guò)自適應(yīng)偽譜法的離散化后，最終軌跡的狀態(tài)變量和控制變量也變成了隨配點(diǎn)排布的離散量。而在復(fù)雜約束中，比如禁飛區(qū)約束，是針對(duì)連續(xù)的軌跡進(jìn)行約束的。因此，經(jīng)過(guò)自適應(yīng)偽譜法解算出的最終結(jié)果，只能保證軌跡中的每個(gè)配點(diǎn)的狀態(tài)變量滿足復(fù)雜約束，而配點(diǎn)間的軌跡卻可能不滿足題設(shè)的約束條件。2.1節(jié)針對(duì)自適應(yīng)偽譜法進(jìn)行了改進(jìn)，加入多誤差評(píng)估點(diǎn)插值和網(wǎng)格再細(xì)化的評(píng)判決策，最優(yōu)軌跡在精度上有了較好的進(jìn)步，但改進(jìn)算法仍然不能完全解決禁飛區(qū)連續(xù)性約束的問(wèn)題。如圖3所示，誤差評(píng)估點(diǎn)之間的軌跡可能會(huì)越過(guò)禁飛區(qū)邊界，使得軌跡優(yōu)化問(wèn)題不滿足禁飛區(qū)約束。

圖3 配點(diǎn)間不滿足禁飛區(qū)約束的情況

為了使得配點(diǎn)之間的軌跡滿足禁飛區(qū)約束，防止出現(xiàn)圖2的情況，就必須對(duì)禁飛區(qū)周?chē)呐潼c(diǎn)進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。可以利用2.1節(jié)，調(diào)節(jié)自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化策略的誤差門(mén)限值ε來(lái)實(shí)現(xiàn)，下面列出具體方案。

取L(x(t),t)最小的區(qū)間進(jìn)行條件驗(yàn)證。2.1節(jié)中，自適應(yīng)偽譜法網(wǎng)格細(xì)化過(guò)程中，定義區(qū)間內(nèi)的最大曲率向量為ρ，對(duì)應(yīng)的，在L(x(t),t)上的最大曲率為ρl，則L(x(t),t)內(nèi)，即由區(qū)間初始點(diǎn)Mk到區(qū)間終止點(diǎn)Mk+1軌跡的最大曲率半徑為：

(19)

由于飛行器再入過(guò)程中速度很快，每個(gè)子區(qū)間時(shí)間段很小，很難有大幅度的矢量角度變化，因此可將子區(qū)間內(nèi)軌跡的曲率半徑看作恒定。以曲率半徑rl為半徑，作通過(guò)子區(qū)間軌跡初、末兩點(diǎn)Mk和Mk+1的劣弧Cl，定義Cl圍繞線段MkMk+1形成空間為最大軌跡空間。由于通過(guò)區(qū)間內(nèi)軌跡的曲率必然比ρl小，可知最大軌跡空間可以包含飛行器在區(qū)間內(nèi)所有可能的軌跡。

考慮Ξk為第k個(gè)區(qū)間內(nèi)最大軌跡空間與禁飛區(qū)的距離，則若保證Ξk>ε，即可滿足L(x(t),t)>ε。

若取極端條件，即區(qū)間內(nèi)的最大軌跡空間與禁飛區(qū)界面迫近相切時(shí)，此時(shí)軌跡滿足下式：

l(x)>L(x(t),t)>o(x)

(20)

式(19)中，O(X)=Ξk→0+。設(shè)區(qū)間中軌跡初、末兩點(diǎn)Mk和Mk+1的直線距離為sl，則sl≈l(x)，且有

(21)

至此，就可以保證再入軌跡全部滿足禁飛區(qū)約束。這一方法對(duì)解決離散問(wèn)題路徑約束問(wèn)題有較好的推廣性。

3 仿真算例與分析

本節(jié)的仿真實(shí)驗(yàn)，使用CAV-H飛行器的數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬飛行，優(yōu)化仿真的硬件環(huán)境也是相同的。現(xiàn)將軌跡優(yōu)化問(wèn)題的條件描述如表1-3所示。

表1 狀態(tài)變量的端點(diǎn)狀態(tài)參數(shù)

表2 熱流率、動(dòng)壓、過(guò)載約束

表3 控制量的取值邊界

除此之外，還要設(shè)立禁飛區(qū)約束。在得出上述條件的仿真軌跡后，在原始軌跡和優(yōu)化軌跡可能穿過(guò)的地域設(shè)立禁飛區(qū)約束，本節(jié)選取飛行實(shí)際情況中最為典型的禁飛區(qū)約束類(lèi)型，針對(duì)橢圓柱體禁飛區(qū)約束和橢球體禁飛區(qū)約束模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

建立2個(gè)區(qū)域的圓柱體禁飛區(qū)約束如下：

1) 以地球坐標(biāo)系(30°E，5°N)為禁飛區(qū)水平切面中心，設(shè)立半徑r1=150 km的圓柱體禁飛區(qū)。

2) 以地球坐標(biāo)系(25°E,5°N)為禁飛區(qū)水平切面中心，設(shè)立半徑r2=300 km的圓柱體禁飛區(qū)。

為了求解方便，兩個(gè)圓柱體禁飛區(qū)的高度可以定為飛行器最高的飛行高度，即70 000 km。

建立1個(gè)橢球體禁飛區(qū)約束如下：

1) 以地球坐標(biāo)系(40°E,6°N)為禁飛區(qū)水平切面中心，橢球體禁飛區(qū)的長(zhǎng)半軸a=440 km沿緯線方向，短半軸b=220 km沿經(jīng)線方向，極半徑c=40 km垂直水平面指向天。

加入禁飛區(qū)約束后，得出原始軌跡和優(yōu)化軌跡的狀態(tài)變量隨時(shí)間變化如圖4所示。

由仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以清晰看出，優(yōu)化后的軌跡完成避障任務(wù)時(shí)，彈道的跳躍性更強(qiáng)，每次跳躍幅度比原始軌跡的跳躍幅度高出50%以上，但最終在飛行精度上可以達(dá)到目標(biāo)點(diǎn)。優(yōu)化前后的速度和彈道偏角變化區(qū)別不明顯，基本符合預(yù)期要求。

優(yōu)化前后的經(jīng)緯度運(yùn)行圖如圖5所示。

由圖4可知，相比于原始軌跡，優(yōu)化后的軌跡可以完全避開(kāi)禁飛區(qū)區(qū)域，通過(guò)引入最大軌跡空間的概念，使得軌跡優(yōu)化配點(diǎn)間的軌跡完全處于禁飛區(qū)外部，通過(guò)設(shè)定誤差門(mén)限值，能夠在避障的同時(shí)完成最優(yōu)指標(biāo)。從圖5可以看出，在距離禁飛區(qū)較近的軌跡區(qū)間內(nèi)，其配點(diǎn)較為密集；在距離禁飛區(qū)較遠(yuǎn)且軌跡平滑的階段，其配點(diǎn)較為稀疏。

優(yōu)化后軌跡的控制變量與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖6所示。由圖6(a)可知，優(yōu)化后的軌跡在多數(shù)時(shí)刻內(nèi)攻角控制量略微偏大，大攻角飛行可能會(huì)影響到升阻比，進(jìn)而影響熱流率參數(shù)，但優(yōu)化方案的攻角仍在允許范圍內(nèi)，飛行中25°以內(nèi)的攻角不易產(chǎn)生交叉耦合現(xiàn)象。圖6(b)顯示優(yōu)化方案通過(guò)調(diào)節(jié)飛行器的傾側(cè)角實(shí)現(xiàn)程序轉(zhuǎn)彎，從而繞過(guò)禁飛區(qū)。

圖4 禁飛區(qū)約束下的軌跡狀態(tài)

圖5 飛行器航行軌跡

圖6 控制變量與時(shí)間的關(guān)系曲線

優(yōu)化后軌跡的熱流量、動(dòng)壓值分別如圖7和圖8所示。

圖8 優(yōu)化軌跡的動(dòng)壓

可以得出，優(yōu)化后的軌跡基本滿足熱流量和動(dòng)壓約束。相比于原始軌跡，優(yōu)化軌跡在實(shí)現(xiàn)越過(guò)禁飛區(qū)轉(zhuǎn)彎時(shí)的熱流量會(huì)比較大，轉(zhuǎn)彎后則與原始方案基本持平，飛行的動(dòng)壓約束在最終狀態(tài)達(dá)到峰值，主要是因?yàn)樵偃肽┒说目諝饷芏容^大，使得動(dòng)壓在低空飛行時(shí)猛增，總體來(lái)講，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在可接受范圍內(nèi)，可以完成高超聲速飛行器再入快速軌跡優(yōu)化任務(wù)。

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)自適應(yīng)偽譜法進(jìn)行改進(jìn)，綜合在配點(diǎn)間設(shè)立多個(gè)誤差采樣點(diǎn)策略，并提出最大軌跡空間的概念，解決了因問(wèn)題離散化而導(dǎo)致配點(diǎn)間的軌跡不滿足禁飛區(qū)和其他路徑約束。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可知，求解策略可以求得復(fù)雜約束條件下的軌跡最優(yōu)解。通過(guò)對(duì)比分析優(yōu)化前后方案，突出了采用最大軌跡空間法的優(yōu)化效果。