非線性偏微分方程的精確行波解

王書敏，薛瑞梅，姚若俠

(陜西師范大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710119)

0 引 言

20世紀(jì)60、70年代，人們對非線性問題共性的研究形成了一個交叉學(xué)科—非線性科學(xué)[1]。利用計算機(jī)符號計算[2]和自動推理技術(shù)，非線性科學(xué)研究取得了巨大的進(jìn)步。目前，國際上比較有代表性的符號計算軟件有:MACSYMA，REDUCE，mu-MATH，Maple，Mathematica，Matlab，Python等。Maple是由加拿大滑鐵盧大學(xué)和Maplesoft公司共同研發(fā)的科學(xué)計算軟件，內(nèi)置高端技術(shù)解決建模和仿真中的數(shù)學(xué)問題，具有強(qiáng)大的符號計算和數(shù)值演算功能，以及交互式編輯環(huán)境。

對非線性偏微分方程的研究是非線性科學(xué)研究的重要分支，涉及生物學(xué)[3]、物理學(xué)[4]、力學(xué)[5]以及計算機(jī)科學(xué)[6]等領(lǐng)域。求解非線性偏微分方程的精確行波解是其中的一部分，現(xiàn)有的求解方法有：齊次平衡法[7-8]、指數(shù)函數(shù)法[9-11]、反散射變換法[12]、Darboux變換法[13]、輔助函數(shù)法[14]等。

文中應(yīng)用Maple軟件的PDEtools工具包進(jìn)行輔助函數(shù)算法的應(yīng)用，plots工具包模擬方程解的三維圖形。通過修正算法中參數(shù)m的取值范圍，研究Benjamin-Bona-Mahony方程(BBM方程)[15]行波解的變化。BBM方程是由Benjamin、Bona和Mahony于1972年研究提出的一個正則化的非線性長波方程，作為改進(jìn)的KdV方程，主要用于對1+1維上單向傳播的小振幅重力波進(jìn)行建模。

1 修正的輔助函數(shù)算法分析

采用輔助函數(shù)算法求解如下形式的非線性偏微分方程：

P(u,ut,ux,uxt,uxx,utt,…)=0

(1)

其中，u=u(x,t)是勢函數(shù)；P是關(guān)于u(x,t)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的多項式，具體步驟如下：

步驟1：利用行波變換u(x,t)=u(ξ),ξ=kx+ct，其中ξ為行波變量，c為波速，將方程1轉(zhuǎn)換為如下常微分方程：

P(u,u',u'',…,u(n))=0

(2)

步驟2：通常，假設(shè)式2有如下形式的解：

(3)

文中修正m的取值范圍，即假定式2有如下形式的解：

(4)

其中，ai是待定常數(shù)；m可以通過齊次平衡法求得。

假設(shè)f(ξ)滿足輔助常微分方程：

f(ξ)'=f(ξ)2+λf(ξ)+μ

(5)

方程5具有如下不同形式的解，其中C0是積分常數(shù)。

步驟3：兩種情形下，分別將式3和式5、式4和式5代入式2，合并方程左端關(guān)于f(ξ)的多項式，并令各冪次項系數(shù)等于零，得到關(guān)于k,c,ai的代數(shù)方程組。

步驟4：借助Maple求解步驟3中的代數(shù)方程組，將求得的參數(shù)k,c,ai和式5的解代入式3和式4，即可得到非線性偏微分方程(式1)的行波解。

2 算法應(yīng)用與實現(xiàn)

調(diào)用Maple軟件的PDEtools工具包，根據(jù)第1節(jié)中的算法步驟，考慮如下形式的BBM方程[15]。

ut+αux+βuux-γuxxt=0

(6)

其中，α,β和γ是非零任意常數(shù)，將行波變換u(x,t)=u(ξ),ξ=kx+ct代入式6可得到如下常微分方程:

cu'+αku'+βkuu'-γck2u'''=0

(7)

利用齊次平衡法確定m=2。

情形1：將m=2代入式3，式7有如下形式的解：

u(ξ)=a0+a1f(ξ)+a2f(ξ)2

(8)

將式8和式5代入式7中，按照前述方法，Maple符號計算代碼如圖1所示：

圖1 Maple符號計算代碼

得到一個代數(shù)方程組并求解，得到參數(shù)k,c,ai(i=0,1,2)的解如下:

a1=a2λ,a2=a2

將參數(shù)解和輔助方程(式5)的解代入式8，即可獲得BBM方程的精確行波解，其中ξ=kx+ct。調(diào)用Maple軟件的plots工具包，設(shè)置參數(shù)值，即可得到解的三維圖。

取k=1,a2=1,μ=-12,α=1,γ=1,β=1,C0=0,對應(yīng)的三維圖如圖2所示。

圖2 三維圖(1)

解5：當(dāng)λμ≠0,λ2>4μ時

取k=1,a2=1,λ=4,μ=3,α=1,γ=3,β=1,C0=1,對應(yīng)的三維圖如圖3所示。

圖3 三維圖(2)

解6：當(dāng)λμ≠0,λ2<4μ時，

情形2：把m=2代入修正m取值范圍的式4，則式7解的形式如下：

u(ξ)=a-2f(ξ)-2+a-1f(ξ)-1+a0+

a1f(ξ)+a2f(ξ)2

(9)

將式9和式5代入式7，具體求解過程及大致Maple代碼如上所述，求得參數(shù)k,c,ai(i=-2, -1,…,2)的四組解：

第一組解：

第二組解：

第三組解：

第四組解：

對比以上四組參數(shù)解，第一組和第三組中a-2和a-1取值為零。研究表明，第一組和第三組參數(shù)解求得的BBM方程行波解與情形1獲得的方程行波解在形式上相似。故以第二組解為例，求解并獲得BBM方程的精確行波解如下，其中ξ=kx+ct。

解1和解2兩種情況求得的解分別為零和常數(shù)，以下不做列舉。

解5：當(dāng)λμ≠0,λ2>4μ時，

u(x,t)=

解6：當(dāng)λμ≠0,λ2<4μ時，

u(x,t)=

取k=1,λ=4,μ=5,α=2,β=1,γ=1,C0=1，對應(yīng)的三維圖如圖4所示。

解7：當(dāng)λμ≠0,λ2=4μ時，

取k=1,λ=4,μ=4,α=2,β=1,γ=1,C0=1，對應(yīng)的三維圖如圖5所示。

圖4 三維圖(3)

圖5 三維圖(4)

3 結(jié)束語

借助符號計算系統(tǒng)Maple的PDEtools工具包計算BBM方程精確行波解，通過修正輔助函數(shù)算法，研究方程解的變化。對比修正參數(shù)m取值范圍前后，情形1獲得一組參數(shù)解，情形2獲得四組參數(shù)解，進(jìn)而情形2求得了更為豐富的方程行波解。通過plots工具包，情形2求得的方程解的三維模型圖更加有利于人們對非線性現(xiàn)象的探究。