基于LMI方法的電液舵機動剛度H∞控制器分析與設計

董 勝， 袁朝輝

(西北工業(yè)大學 自動化學院，西安 710072)

液壓伺服舵機是飛行器飛控系統(tǒng)中的重要驅(qū)動裝置，是各種穩(wěn)定系統(tǒng)和增穩(wěn)系統(tǒng)的執(zhí)行機構(gòu)。舵機作為整個飛控系統(tǒng)中的關(guān)鍵性部件[1-2]，對其動態(tài)特性有很高的要求，它的一些性能指標，如階躍輸入時的超調(diào)量、上升時間；頻率特性中的帶寬、穩(wěn)定裕度等都是以從輸入指令到輸出位移這樣一種輸入輸出的關(guān)系來制定的。然而在實際使用中往往這樣一些性能指標比較滿意的舵機系統(tǒng)仍會出現(xiàn)一些新的問題，經(jīng)過分析之后發(fā)現(xiàn)以上性能指標不夠全面，還應當考慮所謂舵機的阻抗特性(或稱動剛度)。也可以通俗地稱為舵機在動態(tài)負載下的“把持”特性。這個特性與所謂氣動伺服顫振有直接的關(guān)系[3]。動剛度太差則極易引起舵面的顫振從而影響到整個系統(tǒng)和飛機結(jié)構(gòu)的空氣動力學特性。

舵機的動剛度與很多因素有關(guān)，例如油源壓力、油溫、油液彈性模量、作動器本身結(jié)構(gòu)參數(shù)等。因此很有必要建立舵機的動剛度實驗室仿真模型，詳細分析各參數(shù)對系統(tǒng)剛度的影響，通過建立的系統(tǒng)模型仿真結(jié)果指導舵機控制器的設計，以期在一定程度上提高電液舵機的剛度。

目前電液舵機主要采用各種變結(jié)構(gòu)的PID(Proportion Intergration Differentiation)控制結(jié)合前饋補償驅(qū)動伺服閥完成位置閉環(huán)[4-6]。本文采用H∞現(xiàn)代控制理論，設計了狀態(tài)反饋控制器，通過解線性矩陣不等式方程組可以簡化控制器的設計[7-8]，理論上指出在LMI(Linear Matrix Inequality)條件下設計的舵機控制器具有比較強的抗干擾能力，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)波動情況下依然具有較好的控制效果。相對于前饋補償PID控制，剛度有了較明顯的提高，并且剛度幅頻特性“凹點”被鋪平。舵機在很大的擾動頻率范圍都能保持較好的抗干擾能力。

1 舵機動剛度特性分析

1.1 舵機動剛度定義

舵機控制系統(tǒng)一般有兩個輸入端[9]：①控制指令輸入端；②外載荷的干擾輸入，舵機控制系統(tǒng)除了考慮其位置輸出對于指令輸入的特性外，還應當考慮位置輸出對于外載荷干擾輸入的特性，其外載荷與相應位置輸出之比稱為舵機的剛度，該剛度特性隨外載荷頻率而變化，如圖1所示。

Fl—舵機擾動力;Δx—舵機受擾動作用發(fā)生的位移變化量圖1 舵機控制系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of steering gear control system

若假設舵機的輸入指令為零，當其負載作用力Fl=0時，輸出位移Δx=0，若Fl≠0時，通常Δx≠0。因而Fl/Δx稱為舵機的剛度。它的大小體現(xiàn)了舵機控制系統(tǒng)抗干擾能力，動剛度越大抗干擾能力就越強。定義Z(jω)=Fl(jω)/Δx(jω)為舵機的動剛度。舵機的動剛度在復平面上常常表現(xiàn)如圖2的形狀。

圖2 舵機動剛度復頻特性Fig.2 Complex frequency characteristic of rudder maneuver stiffness

從圖2可知，a的靜剛度不如b，但隨著ω的增大，曲線a的動剛度下降。而曲線b在某一頻率ωr處動剛度非常小，表明在Fl(jωr)作用下x(jωr)較大，也既是此時舵機把握不住它應有的位置，對這樣的交變負載沒有“抵抗力”，若在此ωr下與氣動力相耦合就會發(fā)生顫振，引起飛行器故障。

通過建模仿真，圖3展示了某型號舵機的動剛度幅頻特性曲線，從圖3可知，系統(tǒng)剛度特性在頻率ωr=103rad/s附近達到最小值。此時系統(tǒng)抑制擾動的能力最弱，需要設計控制器提高舵機在該頻率點附近的抗擾能力。

圖3 某型號舵機動剛度特性曲線Fig.3 Dynamic stiffness curve of a certain rudder

1.2 電液舵機控制系統(tǒng)建模

將電液舵機系統(tǒng)改變結(jié)構(gòu)，如圖4所示。依據(jù)此結(jié)構(gòu)的舵機控制系統(tǒng)動力學方程為：

(1)線性化后的伺服閥流量方程[10]

Qf=Kqxv-Kcpf

(1)

式中：Qf為負載流量；Kq為伺服閥流量放大系數(shù)；Kc為伺服閥流量壓力放大系數(shù)；xv為伺服閥閥芯位移；pf為負載壓力。

1-舵機；2-舵系統(tǒng)位移傳感器；3-舵機能源；4-伺服閥圖4 電液舵機控制系統(tǒng)圖Fig.4 Control system diagram of electro-hydraulic rudder

(2)舵機液壓缸流量連續(xù)方程

(2)

式中：At為舵機液壓缸活塞有效面積；xt為舵機液壓缸活塞位移；Vt為舵機液壓缸有效容積;Ey為油液等效容積彈性模量；Csl為舵機液壓缸泄漏系數(shù)。

(3)舵機力平衡方程

(3)

式中：Fl為外擾動力；mt為舵機液壓缸運動部分折算到活塞上的總質(zhì)量；bt為黏性阻尼系數(shù)；Kt為負載彈性系數(shù)。

(4)舵機系統(tǒng)電子伺服放大器

u=Kexi

(4)

式中：Ke為控制器放大系數(shù)；xi為舵機目標位移；u為控制器輸出。

(5)電液伺服閥閥芯位移與控制輸入之間的傳遞函數(shù)為

(5)

式中：ξs為伺服閥相對阻尼系數(shù);ωs為伺服閥固有角頻率;ksv為伺服閥增益;ki為伺服放大器增益。

對式(1)～式(5)進行拉普拉斯變換并整理，可得系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，如圖5所示。

圖5 舵機位置控制開環(huán)模型Fig.5 Open loop model of steering gear position control

(6)

其中，

Kcs=Kc+Csl

2 基于LMI方法的舵機位置控制H∞狀態(tài)反饋控制器設計

舵機控制系統(tǒng)的廣義結(jié)構(gòu)框圖，如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)廣義結(jié)構(gòu)框圖Fig.6 Generalized block diagram of system

從圖6可知，xi為舵機目標位移；ω為系統(tǒng)測量噪聲；y為測量輸出;u為控制輸入;xt為舵機實際位移；Fl為外擾動力。在測舵機動剛度試驗中保持xi恒定或直接為零，忽略ω則圖6又可以轉(zhuǎn)換為圖7[11]。

圖7 單擾動輸入系統(tǒng)廣義結(jié)構(gòu)框圖Fig.7 Generalized structural block diagram of single disturbance input system

(7)

(8)

那么，K相對于P的一個下線性分解變換為

F(P,K)=P11+P12K(I-P22K)-1P21

(9)

容易知道，圖7中Fl|→x的傳遞函數(shù)矩陣TxFl(s)與F(P,K)一致，即

x=F(P,K)Fl

(10)

設計原則1——設一系統(tǒng)中P可以寫成式(8)形式。則H∞控制問題是指設計形如式(7)的控制器K滿足:

(1) 閉環(huán)系統(tǒng)是內(nèi)穩(wěn)定的。

(2) 從Fl～xt的傳遞函數(shù)TxtFl(s)的H∞范數(shù)滿足||TxtFl(s)||∞=||F(P,K)||∞<γ，γ為目標性能。

又因為

(11)

其表征了能量有限輸入輸出信號的能量放大倍數(shù)，設計希望F(P,K)在一定頻率范圍內(nèi)能有盡量小的放大倍數(shù)γ，問題轉(zhuǎn)化為給定一個γ，設計出來的控制器K能夠滿足

考慮多輸入多輸出系統(tǒng)[15]

z=C1x+D11w+D12u

(12)

y=C2x+D21w+D22u

式中：x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)；w∈Rl為干擾輸入；u∈Rm為控制輸入；z∈Rp為被控輸出；y∈Rq為可測量輸出，假設系統(tǒng)的狀態(tài)是可測量的，設計一個靜態(tài)的狀態(tài)反饋控制器u=Kx使得相應的閉環(huán)系統(tǒng)

z=(C1+D12K)x+D11w

(13)

是漸進穩(wěn)定的且從w|→z的傳遞函數(shù)滿足

||Tzw(s)||∞=||(C1+D12K)[sI-(A+

B2K)]-1B1+D11||∞<γ

(14)

可得到狀態(tài)反饋H∞控制的存在條件和設計方法。設計原則1可以進一步寫成：

設計原則2——式(12)存在一個狀態(tài)反饋H∞控制器,使得閉環(huán)式(13)為漸進穩(wěn)定，且滿足性能指標式(14)，當且僅當存在一個對稱正定陣X和矩陣Y使得下面不等式成立

如果式(15)有解，則K=YX-1是式(12)的一個狀態(tài)反饋H∞控制器。進一步基于控制器存在式(15)，通過建立和求解以下的優(yōu)化問題

minγ

X>0

(16)

可以得到系統(tǒng)狀態(tài)反饋最優(yōu)H∞控制器，相應的系統(tǒng)擾動抑制度為γ[16-18]。

3 仿真分析

針對本舵機控制系統(tǒng)將前面建立的系統(tǒng)模型寫成式(12)狀態(tài)空間方程的形式，取

所以有

(17)

進而可以寫成如下形式

(18)

參數(shù)選取如表1所示，求得

B1=[0 0 1 0 0]T,B2=[0 0 0 0.8 0]T

C1=[1 0 0 0 0],D11=D12=0

表1 系統(tǒng)參數(shù)取值Tab.1 System parameter value

依據(jù)設計原則2建立起系統(tǒng)的線性矩陣不等式：

lmiterm([1 1 1X],A,1,′s′);

lmiterm([1 1 1Y],B2,1,′s′);

lmiterm([1 2 1 0],B1′);

lmiterm([1 2 2 0],-1);

lmiterm([1 3 1X],C1,1);

lmiterm([1 3 1Y],D12,1);

lmiterm([1 3 2 0],D11);

lmiterm([1 3 3r1],-1,1);

lmiterm([-2 1 1X],1,1)。

結(jié)合Matlab LMI工具箱求解函數(shù)求得系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣K，將舵機位置指令設置為零，擾動輸入采用幅值為1 000 N，頻率為100 rad/s，相位為0的正弦函數(shù)，

Fl=1 000sin(100t)

如圖8所示對比前饋補償PID控制時的系統(tǒng)輸出xt，可以發(fā)現(xiàn)相對于沒有狀態(tài)反饋控制時，系統(tǒng)對于Fl=1 000sin(100t)的擾動抑制作用較強，舵機位置環(huán)的位置波動幅值減小，而對于系統(tǒng)的脈沖響應，如圖9所示。對比H∞控制和PID控制系統(tǒng)的中間狀態(tài)變量，系統(tǒng)液壓缸活塞桿輸出位移xt最大波動幅值也相應減小，并且系統(tǒng)各個狀態(tài)變量的收斂速度加快。

圖8 固定頻率擾動液壓缸活塞桿位置輸出Fig.8 Displacement output of piston rod of hydraulic cylinder under fixed frequency disturbance

改變擾動輸入的頻率，做出擾動Fl到系統(tǒng)輸出之間的頻率特性曲線，如圖10(a)所示，由圖10可知：

(1) 狀態(tài)反饋H∞控制器在舵機實際環(huán)境擾動頻率10～200 Hz(62.83～1 256.6 rad/s)內(nèi)[19]幅值放大倍數(shù)幾乎維持在-206 db不變,相對于PID控制幅值放大倍數(shù)(>-150 db)有所減小,相位滯后與PID控制時相當且不隨頻率的變大而變大，保持在0°不變。

(2) 系統(tǒng)無狀態(tài)反饋控制時，幅值放大倍數(shù)在頻率點ωr附近的“上翹”被狀態(tài)反饋控制器“削平”，不會出現(xiàn)舵機在某一頻率附近剛度特性變軟的情況。

為了更好的說明系統(tǒng)的動剛度前后變化情況，分別做出Fl(jω)/Δx(jω)的頻率特性曲線，如圖10(b)所示。無狀態(tài)反饋控制時在頻率546 rad/s求出剛度最小值5.623×105N/m，而加入狀態(tài)反饋控制后剛度在較大范圍內(nèi)維持1.995×1010N/m不變。

圖9 舵機位置控制脈沖響應Fig.9 Impulse response of position control of steering engine

圖10 控制效果對比圖Fig.10 Contrast chart of control effects

為了驗證控制器的魯棒性使系統(tǒng)油液的彈性模量Ey減小10倍，同樣對比系統(tǒng)液壓缸活塞桿位移輸出xt，如圖11所示。減小彈性模量(油液中容解空氣量增加)舵機位置環(huán)的位置波動都會加劇，相比之下無狀態(tài)反饋控制時位移波動范圍從10-4量級惡化到10-3量級，狀態(tài)反饋控制后擾動引起的位移波動幅值基本不變。對比系統(tǒng)的脈沖響應曲線，如圖12所示。觀察系統(tǒng)液壓缸活塞桿輸出位移xt，xt的導數(shù)，xv以及xv的導數(shù)等中間狀態(tài)變化情況，xt最大波動幅值基本不變，并且系統(tǒng)各個狀態(tài)變量很快收斂。

圖11 改變系統(tǒng)油液彈性模量后固定頻率擾動液壓缸活塞桿位置輸出Fig.11 After changing the oil elastic modulus of the system, the position of the piston rod of the hydraulic cylinder output under the fixed frequency disturbance

改變擾動輸入的頻率，做出擾動Fl到系統(tǒng)輸出之間的頻率特性曲線，如圖13(a)所示。由圖13可知:

(1) 狀態(tài)反饋H∞控制器在舵機真實擾動頻率10～200 Hz(62.83～1 256.6 rad/s)內(nèi)幅值放大倍數(shù)維持在-186 db不變，但是比彈性模量減小前-206 db有所變大，相位滯后仍舊不隨頻率的變大而變大，保持在0°不變。而前饋補償PID控制擾動幅值放大倍數(shù)從很小的擾動頻率開始就逐漸變大, 最終增大到-96.9 db。

(2) 系統(tǒng)無狀態(tài)反饋控制時，舵機對擾動的抵抗能力因為彈性模量的減小而減小?！吧下N”頻率點ωr也減小到166 rad/s。

分別做出Fl(jω)/Δx(jω)的頻率特性曲線，如圖13(b)所示。無狀態(tài)反饋控制時在頻率166 rad/s求出剛度最小值6.998×104N/m，加入狀態(tài)反饋控制后剛度為6.309×108N/m，并在很寬頻率范圍內(nèi)保持不變。

圖12 改變系統(tǒng)油液彈性模量后舵機位置控制脈沖響應Fig.12 After changing the oil elastic modulus of the system, impulse response of position control of steering engine

圖13 改變系統(tǒng)油液彈性模量后控制效果對比圖Fig.13 After changing the oil elastic modulus of the system, contrast chart of control effects

4 試驗分析

4.1 試驗設計

試驗臺架分為兩個子系統(tǒng)，舵機控制系統(tǒng)和加載系統(tǒng)。舵機控制系統(tǒng)和加載系統(tǒng)作用點之間加裝拉壓力傳感器，通過慣量負載盤模擬實際舵面，系統(tǒng)組成框圖如圖14所示。加載操作系統(tǒng)平臺采用windows系統(tǒng)，通過Lab Windows編程控制加載力。所有位移檢測均采用高精度光柵尺測量。通過實際系統(tǒng)搭建測試算法的有效性。實際系統(tǒng)的物理參數(shù)與上節(jié)仿真參數(shù)一致。真實臺架如圖15和圖16所示。

1-舵機;2-慣性負載;3-拉壓力傳感器;4-電液伺服閥;5-轉(zhuǎn)接閥塊;6-加載缸;7-舵系統(tǒng)位移傳感器;8-加載系統(tǒng)位移傳感器圖14 試驗系統(tǒng)原理圖Fig.14 Schematic diagram of test system

圖15 試驗舵機Fig.15 Test actuator

系統(tǒng)具體工作原理為：加載系統(tǒng)的函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生預先給定頻率、幅值的正弦信號載荷譜(即參考輸入)，在該輸入作用下，加載缸產(chǎn)生輸出力Fl作用于被試舵機，舵機系統(tǒng)缸將產(chǎn)生一定的位移Δx，加載缸與被試舵機通過連接件固連在一起。加載缸產(chǎn)生的力Fl以及位置系統(tǒng)產(chǎn)生的位移Δx將由傳感器測量并通過采集卡轉(zhuǎn)換送入計算機，用以計算出某一頻率下舵機位置系統(tǒng)的動剛度特性，計算機完成動剛度的測試和加載系統(tǒng)的閉環(huán)控制與校正[20]。

圖16 試驗舵機加載系統(tǒng)Fig.16 Loading system of test steering gear

4.2 試驗結(jié)果

試驗過程中，加載系統(tǒng)負責施加外部擾動，外部擾動載荷譜為

Fl=-4 340sin(2πft)+4 750

式中：f=20 Hz加載力滿足設計要求，跟隨曲線如圖17所示。舵機做周期為3.33 s，幅值±15 mm的正弦運動，采用第“2”節(jié)設計的控制器，舵機位移跟隨曲線，如圖18所示。舵機位移跟隨誤差如圖19所示。從圖19可知，舵機位移跟蹤誤差波動范圍約在±0.1 mm范圍內(nèi)(不包含加載多余力對位置控制的影響)。對比前饋補償PID控制算法的±0.3 mm本方法起到了一定的抗負載擾動，提高舵機動剛度的作用。

圖17 舵機加載系統(tǒng)力跟隨曲線Fig.17 Force following curve of servo system loading system

圖18 舵機位移跟隨曲線Fig.18 Displacement following curve of steering engine

5 結(jié) 論

通過對電液舵機系統(tǒng)建模和仿真，可以看到舵機在整個頻率范圍內(nèi)會出現(xiàn)剛度特性最差頻率點ωr?；贚MI方法設計的H∞控制算法，應用無窮范數(shù)的物理意義，在一定的頻率范圍內(nèi)系統(tǒng)擾動通道增益最大值不大于性能指標參數(shù)γ，保證了舵機回路的動剛度特性。較前饋補償PID控制抗擾動能力有所提高，并在一定的系統(tǒng)參數(shù)波動范圍內(nèi)控制器持續(xù)有效，魯棒性好。在實際的工程項目中該方法也能起到較好的控制作用。