基于動(dòng)態(tài)等效剛度的平面柔性鉸鏈建模與分析

應(yīng)玲君， 趙榮珍， 馬德福， 唐小斌

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 蘭州 730050)

在剛性機(jī)構(gòu)中，運(yùn)動(dòng)副間隙帶來的運(yùn)動(dòng)軌跡偏離和關(guān)節(jié)碰撞沖擊等問題嚴(yán)重影響著機(jī)構(gòu)的工作性能和使用壽命[1]。而采用柔性鉸鏈替代傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)副的柔順機(jī)構(gòu)則能有效地降低此方面的影響，正確地傳遞運(yùn)動(dòng)和力，還具有：結(jié)構(gòu)輕便，易于一體化加工，能簡化裝配過程；無磨擦，從而能消除磨損、噪聲和振動(dòng)；無需潤滑，可避免污染等[2]優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于微機(jī)電、光學(xué)、航空航天等領(lǐng)域[3-4]。柔順機(jī)構(gòu)還具有回彈特性，在避免間隙影響的同時(shí)也能起到良好的抑振效果[5]。其中，設(shè)計(jì)柔順機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)出符合運(yùn)動(dòng)要求的柔性鉸鏈。

所謂柔性鉸鏈，它是一種利用自身的彈性變形在相連的剛體間傳遞力或運(yùn)動(dòng)的彈性元件[6]。當(dāng)前柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)多采用剛體代替綜合法[7]，即先將相對復(fù)雜的剛性鉸鏈分解成簡單的運(yùn)動(dòng)副，再用具有相似功能的柔性片段替換剛性構(gòu)件，最后將各柔性片段疊加整合成新的柔性鉸鏈。針對這種傳統(tǒng)柔性鉸鏈，Rad等[8-9]通過在剛體間架設(shè)3個(gè)柔性轉(zhuǎn)動(dòng)副滿足了三自由度柔性球鉸的要求，并推導(dǎo)了鉸鏈的剛度計(jì)算方程；Liu等[10]則對柔性轉(zhuǎn)動(dòng)副的切口結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化，基于去除材料的方法提高了轉(zhuǎn)動(dòng)性能。而平面溢出鉸鏈[11](Lamina Emergent torsional，LET)作為一種由二維金屬薄板平面加工而成，實(shí)現(xiàn)三維運(yùn)動(dòng)的新型柔性鉸鏈，在擁有傳統(tǒng)柔性鉸鏈優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)進(jìn)一步簡化了其結(jié)構(gòu)。Wilding等[12]在LET鉸鏈內(nèi)部加入一個(gè)反向彎曲的次級(jí)鉸鏈，構(gòu)成了一個(gè)體積小巧但能承受軸向力的新轉(zhuǎn)動(dòng)副；邱麗芳等[13]則展示了LET鉸鏈易于變形的特點(diǎn)并對比了兩種等效剛度分析方法的適用范圍；基于LET鉸鏈的大變形特性，Qiu等[14]和Fowler等[3]分別以兩種不同的思路進(jìn)一步擴(kuò)大了鉸鏈工作空間：Qiu將三個(gè)LET鉸鏈進(jìn)行了串聯(lián)，在實(shí)現(xiàn)了大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)降低了最高應(yīng)力；Fowler則將16個(gè)柔性薄片進(jìn)行了復(fù)雜的并聯(lián)整合，達(dá)到了90°側(cè)向彎曲的要求并分析了其配置參數(shù)對轉(zhuǎn)角范圍的影響。

目前新型柔性鉸鏈的研究主要集中在單一轉(zhuǎn)動(dòng)副的實(shí)現(xiàn)及其結(jié)構(gòu)性能優(yōu)化，但對如虎克鉸等多自由度的運(yùn)動(dòng)副仍采用“分解-替換-整合”的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，即將多個(gè)柔性轉(zhuǎn)動(dòng)副物理疊加，結(jié)構(gòu)臃腫復(fù)雜，尚未有構(gòu)型輕便的多自由度鉸鏈一體化解決方案。為此，本文基于LET柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，欲進(jìn)一步擴(kuò)展其運(yùn)動(dòng)形式，提出一種能實(shí)現(xiàn)虎克鉸功能的平面柔性鉸鏈，建立動(dòng)態(tài)的鉸鏈等效剛度模型，并根據(jù)其剛度變化特性進(jìn)行實(shí)例仿真驗(yàn)證。

1 平面柔性鉸鏈設(shè)計(jì)及其自由度分析

1.1 虎克鉸結(jié)構(gòu)分析

傳統(tǒng)的虎克鉸如圖1所示，它由一個(gè)十字軸和兩個(gè)叉形鉸鏈座組成。叉形鉸鏈座繞著十字軸實(shí)現(xiàn)空間兩自由度的相對轉(zhuǎn)動(dòng)。其中，十字軸受到來自叉形鉸鏈座的2個(gè)徑向和2個(gè)軸向的約束。這8個(gè)接觸副(虛約束含4個(gè)接觸副)在運(yùn)動(dòng)中互相摩擦磨損，其產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)副間隙則會(huì)嚴(yán)重地影響鉸鏈運(yùn)動(dòng)傳遞的準(zhǔn)確性。

(a) 轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)1(b) 轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)2

圖1 虎克鉸

Fig.1 Hooker hinge

1.2 平面柔性鉸鏈設(shè)計(jì)

基于變形LET鉸鏈[13]的特點(diǎn)，本研究所建立的平面柔性鉸鏈如圖2所示，鉸鏈上下矩形部分用于相鄰構(gòu)件的連接，為剛性區(qū)域，中間的環(huán)形部分產(chǎn)生變形，為柔性區(qū)域。如圖2(a)所示，柔性區(qū)域繞轉(zhuǎn)動(dòng)中心彎折，剛性區(qū)域隨之轉(zhuǎn)動(dòng)(等效于圖1(a)的轉(zhuǎn)動(dòng))。LET鉸鏈通常只有這一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度[12-14]，而本文建立的平面柔性鉸鏈因環(huán)形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)形式可進(jìn)一步擴(kuò)展為圖2(b)形式：當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)中心繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角時(shí)，鉸鏈發(fā)生偏轉(zhuǎn)，剛性區(qū)域隨之側(cè)傾(等效于圖1(b)的運(yùn)動(dòng))。同時(shí)，環(huán)形結(jié)構(gòu)保證了鉸鏈各個(gè)偏轉(zhuǎn)方向上的剛度不會(huì)存在較大差異，且結(jié)構(gòu)簡單便于加工制造。

(a) 彎折狀態(tài)(b) 偏轉(zhuǎn)狀態(tài)

圖2 平面柔性鉸鏈

Fig.2 Plane flexible hinge

1.3 平面柔性鉸鏈自由度分析

為驗(yàn)證圖2所示鉸鏈的運(yùn)動(dòng)形式，探究其變形性能，現(xiàn)對鉸鏈的自由度進(jìn)行分析。鉸鏈各參數(shù)如圖3所示。

為便于分析，將平面柔性鉸鏈視作梁。故當(dāng)坐標(biāo)系處于平面柔性鉸鏈質(zhì)心時(shí)，鉸鏈柔度矩陣λ可近似為等尺寸梁的柔度矩陣：

(1)

現(xiàn)給定參數(shù)如下：b=50 mm，l=275 mm，R=87.5 mm，r=60 mm，厚度t=1 mm。由于鉸鏈工作主要依靠彈性變形，故材料選用彈性極限、疲勞極限較高且彈性遲滯較小的鈹青銅，彈性模量E=128 GPa，泊松比μ=0.35，切變模量G=E/[2(1+μ)]=47.41 GPa。則可以得到各個(gè)柔度間的比值關(guān)系：

(2)

(3)

理論上柔性體具有無限個(gè)自由度。而從式(2)、式(3)所示的柔度比值關(guān)系中我們可以得出：在z方向上的平動(dòng)柔度λtz遠(yuǎn)大于x和y方向上的平動(dòng)柔度λtx和λty；繞著x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)柔度λθx和λθy遠(yuǎn)大于繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)柔度λθz。表明這三個(gè)方向的自由度具有更大的自由程度，即該平面柔性鉸鏈主要具有tz、θx和θy三個(gè)自由度。而z方向的平動(dòng)tz如圖3所示，實(shí)際上是由鉸鏈的柔性區(qū)域在yz平面內(nèi)的彎曲微變形引起的，即tz由θx引發(fā)，鉸鏈不具有傳統(tǒng)意義上的z方向平動(dòng)自由度。因此只需通過θx和θy兩個(gè)方向的組合變形，鉸鏈即可實(shí)現(xiàn)彎折和偏轉(zhuǎn)，滿足虎克鉸兩自由度的要求。

2 平面柔性鉸鏈的動(dòng)態(tài)等效剛度分析

在1.3小節(jié)的分析中，柔度、慣性矩等相關(guān)計(jì)算均采用了簡化算法，并未詳解。為進(jìn)一步揭示鉸鏈的變形特性，需對鉸鏈不同位姿下的動(dòng)態(tài)等效剛度進(jìn)行更為精確的分析計(jì)算。

2.1 彎折時(shí)的等效剛度計(jì)算方法

假設(shè)柔性鉸鏈在力矩T下發(fā)生總計(jì)角度為δ的彎折。如圖3所示，現(xiàn)將鉸鏈沿y軸方向劃分成n個(gè)柔性微分片段dy，由于圓環(huán)中心圓孔的隔斷，微分片段可分為連續(xù)的dy1和分離的兩段并聯(lián)關(guān)系的dy2兩類，每個(gè)微分片段在力矩T下分別發(fā)生相應(yīng)彎折，則δ為兩類所有片段彎折角度之和：

(4)

而力矩轉(zhuǎn)角關(guān)系又可表示為T=kfδ，則此時(shí)平面柔性鉸鏈的等效剛度為：

(5)

2.2 偏轉(zhuǎn)時(shí)的等效剛度計(jì)算方法

圖4所示是用于計(jì)算偏轉(zhuǎn)時(shí)等效剛度的分析模型，當(dāng)柔性鉸鏈偏轉(zhuǎn)θ角時(shí)，由于鉸鏈中的矩形部分為剛性

圖4 偏轉(zhuǎn)時(shí)的柔性鉸鏈

區(qū)域，從而使柔性區(qū)域(圓環(huán))中陰影部分也不參與變形，即鉸鏈形成“剛性-柔性-剛性”的斜向串聯(lián)式結(jié)構(gòu)。同時(shí)柔性區(qū)域的面積隨著偏角θ的增大而相應(yīng)的減少。

按照2.1小節(jié)中的思路，沿轉(zhuǎn)軸中垂線方向劃分出兩類微分片段，則圖4模型的等效剛度分為如下兩種情況：

(6)

平面柔性鉸鏈的等效剛度為：

(7)

表1 五組平面柔性鉸鏈參數(shù)表

對新的p點(diǎn)重新擬合的結(jié)果如圖6所示，可以發(fā)現(xiàn)五組曲線完全重合。這表明鉸鏈的比例系數(shù)p與其偏轉(zhuǎn)程度(偏角百分比pct)的關(guān)系存在一定共性，且不受

圖5 偏角與比例系數(shù)的關(guān)系曲線

圖6 偏角百分比與比例系數(shù)的關(guān)系曲線

(8)

由式(5),(7),(8)可得平面柔性鉸鏈的動(dòng)態(tài)等效剛度計(jì)算公式為：

(9)

2.3 有限元仿真驗(yàn)證

為便于分析，去除各轉(zhuǎn)角模型相應(yīng)的剛性區(qū)域。對有限元模型連接剛性區(qū)域的兩個(gè)端面分別施加10 N·m/rad的轉(zhuǎn)矩，兩端各產(chǎn)生轉(zhuǎn)角θsim。如圖7所示為θ=10°時(shí)的z方向變形云圖，通過查看具體變形數(shù)值可計(jì)算出鉸鏈兩端的斜率，進(jìn)而得到鉸鏈的轉(zhuǎn)角數(shù)值。據(jù)此方法可得到不同偏轉(zhuǎn)角度下等效旋轉(zhuǎn)剛度的仿真值。同時(shí)通過式(5)和式(7)可得到相應(yīng)的理論計(jì)算值。兩種途徑得到的等效剛度值及其對比情況，如表2所示。

表2不同偏角下鉸鏈等效剛度的理論值和仿真值及其誤差

Tab.2Thetheoreticalandsimulationvaluesoftheequivalentstiffnessofhingesunderdifferentdeflectionanglesandtheirerrors

偏角θ/(°)理論值kf/(N·m·rad-1)仿真值ksim/(N·m·rad-1)誤差/%06.556.793.64107.337.471.79208.338.31-0.31309.659.59-0.654011.4611.651.69

圖7 偏角θ=10°時(shí)鉸鏈的變形云圖

由表2可知：在不同偏角下，鉸鏈等效剛度的理論值與仿真值基本一致，其相對誤差最大不超過3.64%，證明了剛度計(jì)算模型的正確性。

同理，可求得在極限偏角θ2=70 °時(shí)的最大工作應(yīng)力為458.63 MPa，低于材料屈服極限1 035 MPa的一半，因而不會(huì)發(fā)生塑性變形。

3 平面柔性鉸鏈的動(dòng)態(tài)剛度特性分析

基于所建立的平面柔性鉸鏈動(dòng)態(tài)等效剛度計(jì)算模型，若要設(shè)計(jì)出滿足性能要求的柔性鉸鏈，仍需研究動(dòng)態(tài)等效剛度的變化特點(diǎn)。但由式(9)較難直觀地看出各參數(shù)與等效剛度之間的關(guān)系，由此我們對各參數(shù)逐一進(jìn)行分析，進(jìn)而為平面柔性鉸鏈的應(yīng)用提供理論依據(jù)。

3.1 鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)對等效剛度變化的影響分析

現(xiàn)取θ=0時(shí)進(jìn)行剛度分析，如圖8(a)，(b)，(c)，逐一改變各結(jié)構(gòu)參數(shù)值，可以得到平面柔性鉸鏈各參數(shù)和其等效剛度之間的關(guān)系，即：隨著鉸鏈圓環(huán)外徑R、寬度b、厚度t的增大，內(nèi)徑r的減少，鉸鏈等效剛度呈現(xiàn)上升趨勢。其中，鉸鏈等效剛度對厚度t的變化最為敏感，而矩形部分寬度b與剛度值關(guān)系的非線性程度最弱。

(a) 等效剛度與b的關(guān)系圖(b) 等效剛度與t的關(guān)系圖

(c) 等效剛度與r、R的關(guān)系圖(d) 等效剛度與θ的關(guān)系圖

圖8 鉸鏈參數(shù)b、t、R、r及偏角θ與等效剛度的關(guān)系圖

Fig.8 The relationship between the hinge parametersb,t,R,r,θand the equivalent stiffness

3.2 鉸鏈偏角θ對等效剛度變化的影響分析

當(dāng)柔性鉸鏈各結(jié)構(gòu)參數(shù)固定時(shí)，如圖8(d)所示，我們可以得到鉸鏈偏角與其等效剛度之間的關(guān)系：當(dāng)偏角小于極限偏角的70%時(shí)，隨著偏角的增大，等效剛度略微增大，且非線性程度較弱，基本呈線性關(guān)系；當(dāng)偏角達(dá)到極限偏角的80%時(shí)，曲線非線性程度逐步增大；而90%以后則因接近鉸鏈極限偏角，剛度值劇增，實(shí)現(xiàn)了鉸鏈極限位姿的截止作用。

基于上述平面柔性鉸鏈的動(dòng)態(tài)剛度變化特點(diǎn)，對鉸鏈的剛度應(yīng)用特性進(jìn)行分析。當(dāng)鉸鏈小范圍偏轉(zhuǎn)時(shí)，剛度基本不變，可實(shí)現(xiàn)虎克鉸運(yùn)動(dòng)的傳遞；當(dāng)含該鉸鏈的實(shí)際機(jī)構(gòu)位姿接近極限時(shí)，鉸鏈剛度急劇增大，可對機(jī)構(gòu)整體運(yùn)動(dòng)發(fā)揮截止作用；而當(dāng)實(shí)際機(jī)構(gòu)中同時(shí)采用多個(gè)平面柔性鉸鏈時(shí)，因機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中位姿不斷變化，各平面柔性鉸鏈偏角θ值呈現(xiàn)持續(xù)性變化，導(dǎo)致各鉸鏈等效剛度值也持續(xù)變化，故機(jī)構(gòu)整體剛度呈現(xiàn)出一定的非線性，而這種特性有助于強(qiáng)化被動(dòng)隔振性能[16]，在一定程度上能夠拓寬平面柔性鉸鏈的應(yīng)用范圍。

4 應(yīng)用實(shí)例驗(yàn)證

為驗(yàn)證平面柔性鉸鏈的應(yīng)用可行性及隔振性能，在本研究中我們將其引入到圖9所示的6DOF并聯(lián)隔振平臺(tái)中，替換原來的6個(gè)虎克鉸，形成由上平臺(tái)、球鉸、帶滑動(dòng)副的支腿、平面柔性鉸鏈、下平臺(tái)組成的新隔振平臺(tái)。

圖9 引入柔性鉸鏈的6DOF并聯(lián)隔振平臺(tái)

4.1 平面柔性鉸鏈的應(yīng)用驗(yàn)證

在下平臺(tái)質(zhì)心持續(xù)施加繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)RotX=3d*sin(PI*110*time)、繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)RotY=2d*sin(PI*110*time)以模擬振動(dòng)輸入，在ADAMS中對新隔振平臺(tái)進(jìn)行剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真分析。其中，平面柔性鉸鏈?zhǔn)窃贏NSYS 15.0中劃分網(wǎng)格后導(dǎo)入的mnf柔性體。下平臺(tái)的輸入由新隔振平臺(tái)的被動(dòng)隔振作用輸出到上平臺(tái)。定義上平臺(tái)質(zhì)心角加速度與下平臺(tái)質(zhì)心角加速度的比值為振動(dòng)傳遞率η。取步長為0.01 s，仿真時(shí)間2 s。

得到的新隔振平臺(tái)傳遞率變化如圖10。平臺(tái)的傳遞率呈周期性小幅度波動(dòng)，基本穩(wěn)定在0.1附近，最高不超過0.3。由傳遞率定義可知，當(dāng)η<1時(shí)即具有隔振效果，故新平臺(tái)能實(shí)現(xiàn)隔振功能要求，即該平面柔性鉸鏈滿足虎克鉸的功能要求。

圖10 采用平面柔性鉸鏈的新隔振平臺(tái)傳遞率

4.2 與含間隙虎克鉸的隔振性能對比驗(yàn)證

對原隔振平臺(tái)中6個(gè)虎克鉸十字軸中的12個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副添加0.02 mm徑向間隙與0.06 mm軸向間隙，其他參數(shù)和施加的激勵(lì)與4.1小節(jié)中一致，以對比分析兩種鉸鏈對運(yùn)動(dòng)傳遞的影響區(qū)別。從圖11可以看出，加入間隙的原隔振平臺(tái)的傳遞率η在1附近大幅度振蕩，振蕩頻率較高，且有較多峰值已遠(yuǎn)大于1，喪失了隔振效果。即含間隙的虎克鉸嚴(yán)重影響了運(yùn)動(dòng)傳遞的準(zhǔn)確性。

圖11 采用含間隙虎克鉸的原隔振平臺(tái)傳遞率

對比結(jié)果表明：平面柔性鉸鏈在滿足虎克鉸功能要求的同時(shí)能有效避免鉸鏈間隙帶來的影響，保證了運(yùn)動(dòng)的正確傳遞，實(shí)現(xiàn)較好的被動(dòng)隔振效果。

5 結(jié) 論

剛性鉸鏈的運(yùn)動(dòng)副間隙影響著機(jī)構(gòu)的工作性能與壽命。而傳統(tǒng)的柔性鉸鏈多為單一轉(zhuǎn)動(dòng)副，對于多自由度柔性鉸鏈一般存在著結(jié)構(gòu)臃腫復(fù)雜的問題，為此，本研究提出一種適用于柔順機(jī)構(gòu)的等效虎克鉸運(yùn)動(dòng)的平面柔性鉸鏈，基于動(dòng)態(tài)的等效剛度對鉸鏈進(jìn)行了理論建模和分析。得到的結(jié)論如下：

(1) 平面柔性鉸鏈六個(gè)柔度值的對比表明：鉸鏈的變形方式滿足虎克鉸的自由度要求，能極大地簡化結(jié)構(gòu)，為虎克鉸提供了一體化的柔性方案，也為多自由度柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)提供了新的思路。

(2) 所建立的鉸鏈動(dòng)態(tài)等效剛度計(jì)算模型能正確地展現(xiàn)鉸鏈剛度與姿態(tài)之間的關(guān)系。

(3) 不同參數(shù)鉸鏈在大偏角下的剛度變化情況存在共性，根據(jù)所得規(guī)律擬合出非線性剛度的近似理論計(jì)算公式。

(4) 引入平面柔性鉸鏈的6DOF并聯(lián)平臺(tái)工作性能優(yōu)于含間隙的原平臺(tái)，即：平面柔性鉸鏈在滿足虎克鉸功能性要求的同時(shí)能有效避免虎克鉸間隙引起的振動(dòng)傳遞率突變問題。