一個新的超大范圍混沌系統(tǒng)及其自適應(yīng)滑?？刂?/h1>
2019-02-21 10:34:54徐昌彪
振動與沖擊 2019年3期
徐昌彪， 鐘 德， 夏 誠， 黎 周
(1.重慶郵電大學(xué) 光電工程學(xué)院，重慶 400065； 2.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065)
混沌是確定性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性，是非線性動力學(xué)系統(tǒng)所特有的一種形式，并且廣泛地存在于自然界諸如物理[1]、化學(xué)[2]、地質(zhì)學(xué)[3]以及生物學(xué)[4]等領(lǐng)域。自從1963年Lorenz[5]在三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子以來，人們不斷地發(fā)現(xiàn)新的混沌系統(tǒng)，如Chen等[6]系統(tǒng)、Lü等[7]系統(tǒng)、Chua等[8]系統(tǒng)、Liu等[9]系統(tǒng)等。但大多數(shù)混沌系統(tǒng)的參數(shù)變化范圍較小[10-14]，它們的混沌特性受到系統(tǒng)任意一個參數(shù)很大影響，參數(shù)的變更與誤差會改變系統(tǒng)的動力學(xué)行為，使得系統(tǒng)相軌收斂于不動點，或是處于周期、擬周期甚至混沌振蕩狀態(tài)等。而具有超大范圍混沌系統(tǒng)的混沌特性在某個參數(shù)的變動下始終處于混沌狀態(tài)，其最大Lyapunov指數(shù)始終大于零，這使得該系統(tǒng)具有更豐富的動力學(xué)特性，在混沌雷達(dá)[15]，激光振蕩[16]以及信息處理[17]等領(lǐng)域中具有重大的應(yīng)用價值。
但總的來說，關(guān)于超大范圍混沌系統(tǒng)的研究還處于起步階段，Liu等[18]提出了一個具有較大參數(shù)范圍的新型三維混沌系統(tǒng)，參數(shù)范圍為[-100，100]。賈紅艷等[19]在已有的超混沌系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)上提出了一個大范圍超混沌系統(tǒng)，參數(shù)范圍為[10，1 000]，梅蓉等[20]構(gòu)建了一類新的超大范圍超混沌系統(tǒng)，參數(shù)范圍為[0，105]，但仿真只在[0，2 000]進(jìn)行。
基于以上研究，本文提出了一個超大范圍的混沌系統(tǒng)，其中參數(shù)b的取值為[0，107]，比本文中提到的其他系統(tǒng)的參數(shù)范圍都要大。理論分析了系統(tǒng)的動力學(xué)特性，進(jìn)行了數(shù)值仿真和電路仿真。設(shè)計了一個自適應(yīng)控制器和一個自適應(yīng)滑?？刂破?，分別用于具有未知參數(shù)混沌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定和給定信號的追蹤與未知參數(shù)的辨識。仿真結(jié)果表明了所設(shè)計控制器的可行性和有效性。
1 新混沌系統(tǒng)模型與基本特性
1.1 新混沌系統(tǒng)模型
新混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為
(1)
式中：x，y，z為系統(tǒng)變量。取a=3，b=10，初值為[1，1，1]時，系統(tǒng)存在一個典型的吸引子，如圖1所示。此時系統(tǒng)的三個Lyapunov指數(shù)為0.122 7，-0.001 7，-3.121 0。
(a) x-y相圖(b) x-z相圖(c) y-z相圖(d) x-y-z相圖
圖1 系統(tǒng)相圖
Fig.1 Phase diagram of the system
1.2 對稱性和不變性
系統(tǒng)在變換(x,y,z)→(-x,-y,z)下具有不變性，即系統(tǒng)關(guān)于z軸對稱，且這種對稱性對所有系統(tǒng)參數(shù)均成立。
1.3 耗散性和吸引子的存在性
根據(jù)式(1)，有
(2)
可見系統(tǒng)是耗散的，則系統(tǒng)的軌線最終會被限制在一個體積為0的極限點集上，并且它的漸近動力學(xué)行為會被固定在一個吸引子上，這說明了吸引子的存在性。
1.4 平衡點及穩(wěn)定性
令式(1)的左邊等于0，即
(3)
其中a=3，b=10時，系統(tǒng)有3個平衡點，分別為：
S1=(0,0,0)，
S2=(-0.223 6,0.223 6,1)，
S3=(0.223 6,-0.223 6,1)。
在平衡點S1=(0,0,0)處線性化系統(tǒng)，得其Jacobi矩陣為
(4)
特征值方程為
|λI-J|=0
(5)
計算出特征值為λ1=-3，λ2=1，λ3=-1。由于特征值λ1和λ3是負(fù)實數(shù)，λ2是正實數(shù)，故平衡點S1是不穩(wěn)定的鞍點。
同理，在平衡點S2和S3處分別線性化系統(tǒng)，得到它們的特征值均為λ1=-3.434 8，λ2=0.217 4+1.856 4i，λ3=0.217 4-1.856 4i。由于特征值λ1是負(fù)實數(shù),λ2和λ3均有正實部，故平衡點S2和S3都是不穩(wěn)定的鞍點。
1.5 時域波形圖、頻譜圖以及Poincare截面圖
取a=3，b=10，初值為[1，1，1], 采用四階龍格-庫塔(ODE45)算法對式(1)進(jìn)行求解，可得系統(tǒng)狀態(tài)變量x的時域波形圖，如圖2所示，可以看出系統(tǒng)為非周期系統(tǒng)。如圖3所示，系統(tǒng)的功率譜是連續(xù)譜，沒有明顯的波峰，并且峰值連成一片，說明了系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)。選取的Poincare截面如圖4所示，可以看出Poincare截面上有一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點，吸引子的葉片清晰可見，也表明了系統(tǒng)具有混沌特性。
圖2 狀態(tài)變量的時域波形
圖3 系統(tǒng)的功率譜
圖4 系統(tǒng)的Poincare截面：y=0
1.6 Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)
采用Jacobi法計算出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖5所示，在參數(shù)b從0～107變化時，系統(tǒng)的三個Lyapunov指數(shù)都趨于固定常數(shù)，為恒Lyapunov指數(shù)譜。圖6為系統(tǒng)變量y隨參數(shù)b從0～107變化時的分岔圖，可以看出系統(tǒng)都處于混沌狀態(tài)。
系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為：
(6)
當(dāng)a=3，b=10時，系統(tǒng)的三個Lyapunov指數(shù)分別為L1=0.122 7，L2=-0.001 7，L3=-3.121 0，故可計算出DL=2.038 8。由此可見，系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為分?jǐn)?shù)維數(shù)，驗證了系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。
2 系統(tǒng)的電路仿真
采用線性電阻、電容、LM2924N運算放大器、MULTIPLIER模擬乘法器(乘法器的輸出增益為0.1)，設(shè)計出系統(tǒng)的模擬電子電路，如圖7所示。
圖5 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.5 Lyapunov exponent spectrum of the system圖6 系統(tǒng)的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of the system
圖7 電路原理圖
根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)以及電路理論，由乘法器的輸出增益為0.1，得電路方程為：
(7)
當(dāng)取R1=R6=R9=10 kΩ，R3=R8=R11=100 kΩ，R2=3 kΩ，R4=R5=R7=R10=R12=R13=R14=R15=1 kΩ，R16=R17=0.1 kΩ，C1=C2=C3=1 μF時，采用Multisim軟件對電路進(jìn)行了仿真實驗，仿真結(jié)果如圖8所示，可以看出仿真實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果是一致的。
(a) x-y
(b) x-z
(c) y-z
3 參數(shù)未知的混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)控制
受控系統(tǒng)為
(8)
式中：x，y，z為系統(tǒng)變量，u1，u2，u3為自適應(yīng)控制器。
設(shè)計自適應(yīng)控制器為
(9)
參數(shù)估計誤差定義為
(10)
對式(8)求導(dǎo)，得
(11)
將式(9)和式(10)代入式(8)，得閉環(huán)系統(tǒng)
(12)
構(gòu)造以下Lyapunov函數(shù)
(13)
其中λ1，λ2均大于零，顯然V是一個正定函數(shù)。對V求導(dǎo)可得
(14)
根據(jù)式(14)，設(shè)定參數(shù)更新定律如下
(15)
定理1具有未知參數(shù)的受控系統(tǒng)(8)通過自適應(yīng)控制器(9)和參數(shù)更新定律(15)在所有初始條件下全局穩(wěn)定，其中k1，k2，k3是正增益常數(shù)。
(16)
顯然，式(16)是半負(fù)定的，狀態(tài)變量x，y，z和參數(shù)估計誤差ea(t)，eb(t)是全局有界的。
根據(jù)式(16)可得
(17)
因此，可得：
(18)
將不等式(18)兩端從0到t積分，得到
(19)
根據(jù)式(19)可得x,y,z,ea,eb∈L2。
此外，由圖9，10可知，在自適應(yīng)控制器(9)和參數(shù)更新定律(15)的作用下受控系統(tǒng)(8)很快穩(wěn)定到平衡點原點，并且實現(xiàn)了對系統(tǒng)未知參數(shù)的識別。
圖9 受控狀態(tài)x,y,z
4 參數(shù)未知的混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?？刂?/h2>
考慮如下受控系統(tǒng)
圖10 參數(shù)和的收斂曲線
(20)
定義滑模函數(shù)
(21)
式中：r為理想位置信號，e=y-r為跟蹤誤差，k>0。
設(shè)計自適應(yīng)控制器為
(22)
(23)
對參數(shù)估計誤差(23)求導(dǎo)得到
(24)
定義Lyapunov函數(shù)為
(25)
對V求導(dǎo)，將式(22)和式(23)代入，得
(26)
取參數(shù)更新定律為
(27)
則
(28)
根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，可知受控系統(tǒng)式(20)的平衡狀態(tài)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。
圖11 跟蹤sin(t)的曲線
圖12 參數(shù)和的收斂曲線
5 結(jié) 論
本文提出了一個超大范圍的混沌系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)的動力學(xué)特性，設(shè)計了系統(tǒng)的模擬電路。最后設(shè)計了一個自適應(yīng)控制器和一個自適應(yīng)滑?？刂破?，分別用于具有未知參數(shù)的混沌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定和給定信號的追蹤與未知參數(shù)的辨識，數(shù)值仿真結(jié)果表明所設(shè)計控制器是有效的。
圖13 跟蹤cos(t)的曲線
圖14 參數(shù)和的收斂曲線
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徐昌彪， 鐘 德， 夏 誠， 黎 周
(1.重慶郵電大學(xué) 光電工程學(xué)院，重慶 400065； 2.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065)
混沌是確定性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性，是非線性動力學(xué)系統(tǒng)所特有的一種形式，并且廣泛地存在于自然界諸如物理[1]、化學(xué)[2]、地質(zhì)學(xué)[3]以及生物學(xué)[4]等領(lǐng)域。自從1963年Lorenz[5]在三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子以來，人們不斷地發(fā)現(xiàn)新的混沌系統(tǒng)，如Chen等[6]系統(tǒng)、Lü等[7]系統(tǒng)、Chua等[8]系統(tǒng)、Liu等[9]系統(tǒng)等。但大多數(shù)混沌系統(tǒng)的參數(shù)變化范圍較小[10-14]，它們的混沌特性受到系統(tǒng)任意一個參數(shù)很大影響，參數(shù)的變更與誤差會改變系統(tǒng)的動力學(xué)行為，使得系統(tǒng)相軌收斂于不動點，或是處于周期、擬周期甚至混沌振蕩狀態(tài)等。而具有超大范圍混沌系統(tǒng)的混沌特性在某個參數(shù)的變動下始終處于混沌狀態(tài)，其最大Lyapunov指數(shù)始終大于零，這使得該系統(tǒng)具有更豐富的動力學(xué)特性，在混沌雷達(dá)[15]，激光振蕩[16]以及信息處理[17]等領(lǐng)域中具有重大的應(yīng)用價值。
但總的來說，關(guān)于超大范圍混沌系統(tǒng)的研究還處于起步階段，Liu等[18]提出了一個具有較大參數(shù)范圍的新型三維混沌系統(tǒng)，參數(shù)范圍為[-100，100]。賈紅艷等[19]在已有的超混沌系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)上提出了一個大范圍超混沌系統(tǒng)，參數(shù)范圍為[10，1 000]，梅蓉等[20]構(gòu)建了一類新的超大范圍超混沌系統(tǒng)，參數(shù)范圍為[0，105]，但仿真只在[0，2 000]進(jìn)行。
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1 新混沌系統(tǒng)模型與基本特性
1.1 新混沌系統(tǒng)模型
新混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為
(1)
式中：x，y，z為系統(tǒng)變量。取a=3，b=10，初值為[1，1，1]時，系統(tǒng)存在一個典型的吸引子，如圖1所示。此時系統(tǒng)的三個Lyapunov指數(shù)為0.122 7，-0.001 7，-3.121 0。
(a) x-y相圖(b) x-z相圖(c) y-z相圖(d) x-y-z相圖
圖1 系統(tǒng)相圖
Fig.1 Phase diagram of the system
1.2 對稱性和不變性
系統(tǒng)在變換(x,y,z)→(-x,-y,z)下具有不變性，即系統(tǒng)關(guān)于z軸對稱，且這種對稱性對所有系統(tǒng)參數(shù)均成立。
1.3 耗散性和吸引子的存在性
根據(jù)式(1)，有
(2)
可見系統(tǒng)是耗散的，則系統(tǒng)的軌線最終會被限制在一個體積為0的極限點集上，并且它的漸近動力學(xué)行為會被固定在一個吸引子上，這說明了吸引子的存在性。
1.4 平衡點及穩(wěn)定性
令式(1)的左邊等于0，即
(3)
其中a=3，b=10時，系統(tǒng)有3個平衡點，分別為：
S1=(0,0,0)，
S2=(-0.223 6,0.223 6,1)，
S3=(0.223 6,-0.223 6,1)。
在平衡點S1=(0,0,0)處線性化系統(tǒng)，得其Jacobi矩陣為
(4)
特征值方程為
|λI-J|=0
(5)
計算出特征值為λ1=-3，λ2=1，λ3=-1。由于特征值λ1和λ3是負(fù)實數(shù)，λ2是正實數(shù)，故平衡點S1是不穩(wěn)定的鞍點。
同理，在平衡點S2和S3處分別線性化系統(tǒng)，得到它們的特征值均為λ1=-3.434 8，λ2=0.217 4+1.856 4i，λ3=0.217 4-1.856 4i。由于特征值λ1是負(fù)實數(shù),λ2和λ3均有正實部，故平衡點S2和S3都是不穩(wěn)定的鞍點。
1.5 時域波形圖、頻譜圖以及Poincare截面圖
取a=3，b=10，初值為[1，1，1], 采用四階龍格-庫塔(ODE45)算法對式(1)進(jìn)行求解，可得系統(tǒng)狀態(tài)變量x的時域波形圖，如圖2所示，可以看出系統(tǒng)為非周期系統(tǒng)。如圖3所示，系統(tǒng)的功率譜是連續(xù)譜，沒有明顯的波峰，并且峰值連成一片，說明了系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)。選取的Poincare截面如圖4所示，可以看出Poincare截面上有一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點，吸引子的葉片清晰可見，也表明了系統(tǒng)具有混沌特性。
圖2 狀態(tài)變量的時域波形
圖3 系統(tǒng)的功率譜
圖4 系統(tǒng)的Poincare截面：y=0
1.6 Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)
采用Jacobi法計算出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖5所示，在參數(shù)b從0～107變化時，系統(tǒng)的三個Lyapunov指數(shù)都趨于固定常數(shù)，為恒Lyapunov指數(shù)譜。圖6為系統(tǒng)變量y隨參數(shù)b從0～107變化時的分岔圖，可以看出系統(tǒng)都處于混沌狀態(tài)。
系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為：
(6)
當(dāng)a=3，b=10時，系統(tǒng)的三個Lyapunov指數(shù)分別為L1=0.122 7，L2=-0.001 7，L3=-3.121 0，故可計算出DL=2.038 8。由此可見，系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為分?jǐn)?shù)維數(shù)，驗證了系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。
2 系統(tǒng)的電路仿真
采用線性電阻、電容、LM2924N運算放大器、MULTIPLIER模擬乘法器(乘法器的輸出增益為0.1)，設(shè)計出系統(tǒng)的模擬電子電路，如圖7所示。
圖5 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.5 Lyapunov exponent spectrum of the system圖6 系統(tǒng)的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of the system
圖7 電路原理圖
根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)以及電路理論，由乘法器的輸出增益為0.1，得電路方程為：
(7)
當(dāng)取R1=R6=R9=10 kΩ，R3=R8=R11=100 kΩ，R2=3 kΩ，R4=R5=R7=R10=R12=R13=R14=R15=1 kΩ，R16=R17=0.1 kΩ，C1=C2=C3=1 μF時，采用Multisim軟件對電路進(jìn)行了仿真實驗，仿真結(jié)果如圖8所示，可以看出仿真實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果是一致的。
(a) x-y
(b) x-z
(c) y-z
3 參數(shù)未知的混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)控制
受控系統(tǒng)為
(8)
式中：x，y，z為系統(tǒng)變量，u1，u2，u3為自適應(yīng)控制器。
設(shè)計自適應(yīng)控制器為
(9)
參數(shù)估計誤差定義為
(10)
對式(8)求導(dǎo)，得
(11)
將式(9)和式(10)代入式(8)，得閉環(huán)系統(tǒng)
(12)
構(gòu)造以下Lyapunov函數(shù)
(13)
其中λ1，λ2均大于零，顯然V是一個正定函數(shù)。對V求導(dǎo)可得
(14)
根據(jù)式(14)，設(shè)定參數(shù)更新定律如下
(15)
定理1具有未知參數(shù)的受控系統(tǒng)(8)通過自適應(yīng)控制器(9)和參數(shù)更新定律(15)在所有初始條件下全局穩(wěn)定，其中k1，k2，k3是正增益常數(shù)。
(16)
顯然，式(16)是半負(fù)定的，狀態(tài)變量x，y，z和參數(shù)估計誤差ea(t)，eb(t)是全局有界的。
根據(jù)式(16)可得
(17)
因此，可得：
(18)
將不等式(18)兩端從0到t積分，得到
(19)
根據(jù)式(19)可得x,y,z,ea,eb∈L2。
此外，由圖9，10可知，在自適應(yīng)控制器(9)和參數(shù)更新定律(15)的作用下受控系統(tǒng)(8)很快穩(wěn)定到平衡點原點，并且實現(xiàn)了對系統(tǒng)未知參數(shù)的識別。
圖9 受控狀態(tài)x,y,z
4 參數(shù)未知的混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?？刂?/h2>
考慮如下受控系統(tǒng)
圖10 參數(shù)和的收斂曲線
(20)
定義滑模函數(shù)
(21)
式中：r為理想位置信號，e=y-r為跟蹤誤差，k>0。
設(shè)計自適應(yīng)控制器為
(22)
(23)
對參數(shù)估計誤差(23)求導(dǎo)得到
(24)
定義Lyapunov函數(shù)為
(25)
對V求導(dǎo)，將式(22)和式(23)代入，得
(26)
取參數(shù)更新定律為
(27)
則
(28)
根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，可知受控系統(tǒng)式(20)的平衡狀態(tài)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。
圖11 跟蹤sin(t)的曲線
圖12 參數(shù)和的收斂曲線
5 結(jié) 論
本文提出了一個超大范圍的混沌系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)的動力學(xué)特性，設(shè)計了系統(tǒng)的模擬電路。最后設(shè)計了一個自適應(yīng)控制器和一個自適應(yīng)滑?？刂破?，分別用于具有未知參數(shù)的混沌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定和給定信號的追蹤與未知參數(shù)的辨識，數(shù)值仿真結(jié)果表明所設(shè)計控制器是有效的。
圖13 跟蹤cos(t)的曲線
圖14 參數(shù)和的收斂曲線
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