多破壞模式和二次受力影響下FRP加固RC梁抗彎承載力

方圣恩，武棒棒

(1.福州大學(xué) 土木工程學(xué)院，福建 福州，350116；2.福州大學(xué) 土木工程防震減災(zāi)信息化國家地方聯(lián)合工程研究中心，福建 福州，350116)

建筑結(jié)構(gòu)經(jīng)過長期使用后，由于損傷、材料老化、使用功能改變、不適用于新的設(shè)計荷載等，容易存在各種安全隱患，可以采用增大截面、外包鋼、預(yù)應(yīng)力、纖維復(fù)合材料加固等方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行加固[1]，使其安全性滿足要求。纖維增強復(fù)合材料(fiber reinforced polymer，F(xiàn)RP)具有質(zhì)量小、強度高、施工便捷、耐腐蝕性強等優(yōu)點，近些年在許多方面特別是在建筑結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)構(gòu)件如梁、柱、板的受力性能方面得到廣泛研究和應(yīng)用[2-6]。但相關(guān)研究多針對FRP種類、包裹層數(shù)、錨固方式、混凝土強度等方面，對可能存在的破壞模式和二次受力影響的研究較少。王文煒等[2,7]在試驗基礎(chǔ)上，結(jié)合理論推導(dǎo)給出了梁在多種破壞模式下的正截面受彎極限承載力計算公式，但所采用的混凝土本構(gòu)關(guān)系均為RüSCH建議的混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線即二次拋物線(上升段)+水平直線(下降段)[8]。該本構(gòu)模型較簡單，也被我國GB 50010—2011“混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范”[8]所采納。但RüSCH模型對混凝土受壓過程下降段的模擬顯然不符合實際情況，且其假設(shè)梁達(dá)到極限承載力時，受壓區(qū)混凝土的應(yīng)力峰值在邊緣處。然而，試驗表明[9]，此時應(yīng)力峰值并不在邊緣處，而是在受壓區(qū)邊緣的內(nèi)側(cè)，同時受拉區(qū)已開裂的混凝土不再承受拉應(yīng)力，不參與抗拉，因此，采用RüSCH模型進(jìn)行極限承載力分析時，會導(dǎo)致分析結(jié)果存在較大誤差。此外，若結(jié)構(gòu)在加固前沒有卸載，則加固部分只在新荷載作用下才會受力，其應(yīng)變始終滯后于原結(jié)構(gòu)的應(yīng)變，因此，結(jié)構(gòu)在加固前的卸載程度將直接影響加固后的極限承載力，即二次受力的影響也需要考慮。王滋軍等[10]對考慮二次受力的 FRP加固 RC梁進(jìn)行了抗彎性能試驗，得出與直接加固梁相比，考慮二次受力的加固梁正截面極限承載力有所降低。與此同時，當(dāng)加固梁的破壞模式為 FRP布被拉斷時，二次受力對梁最終的極限抗彎承載力影響不大；而當(dāng)破壞模式為受壓區(qū)混凝土被壓碎時，則需要考慮二次受力的影響[4]。為了準(zhǔn)確模擬混凝土受壓本構(gòu)關(guān)系且不失簡單實用性，本文作者基于 HOGNESTAD 模型[8](上升段與 Rüsch模型的相同，下降段為1條斜率為負(fù)的直線)分別推導(dǎo)了適用于是否考慮二次受力的BFRP和CFRP布加固RC梁的正截面抗彎承載力計算公式?？紤]FRP布被拉斷、鋼筋屈服后混凝土被壓碎、鋼筋屈服前受壓區(qū)混凝土被壓碎這3種破壞模式，并通過與既有試驗梁結(jié)果進(jìn)行對比，以驗證所提出公式的適用性。

1 FRP加固梁正截面抗彎承載力計算原理

1.1 破壞模式

試驗研究[2,7]表明，有可靠錨固時FRP加固梁的彎曲破壞模式有3種：1) FRP布被拉斷，類似于普通RC梁的少筋破壞，屬于脆性破壞；2) 鋼筋屈服后混凝土被壓碎，此時FRP布沒有被拉斷，類似于適筋破壞；3) 鋼筋屈服前受壓區(qū)混凝土被壓碎，類似于超筋破壞，也屬于脆性破壞。其中適筋破壞是最理想的破壞模式，而脆性破壞具有突然性，在加固設(shè)計時應(yīng)當(dāng)避免。

需指出的是，當(dāng)FRP加固梁的抗彎承載力比未加固梁的抗彎承載力提高過多時，加固梁也有可能發(fā)生剪切破壞，因此，通常加固梁的正截面受彎承載力提高幅度不應(yīng)超過40%[1]。此外，F(xiàn)RP布剝離破壞也是FRP加固梁比較常見的破壞模式，主要是梁底裂縫發(fā)展或FRP布端部應(yīng)力集中所致。FRP布發(fā)生剝離破壞與很多因素有關(guān)，如粘貼層數(shù)、混凝土強度、施工質(zhì)量、有無可靠錨固等，可以在加固過程中采取專門構(gòu)造措施予以避免，因此，本文在分析過程中暫不考慮。

1.2 基本假定

1) 加固前后保持平截面假定，且不考慮混凝土的抗拉強度。

2) 混凝土受壓本構(gòu)關(guān)系采用 Hognestad模型(圖1，其中，A對應(yīng)峰值應(yīng)力點，B對應(yīng)極限壓應(yīng)變點)，上升段為二次拋物線，下降段為斜直線。

上升段：

下降段：

式中：fc為峰值應(yīng)力，即棱柱體極限抗壓強度；ε0為相應(yīng)于峰值應(yīng)力時的應(yīng)變；εcu為極限壓應(yīng)變；εc為混凝土應(yīng)變；σc為混凝土應(yīng)力。

3) 縱向鋼筋本構(gòu)關(guān)系為理想彈塑性模型，F(xiàn)RP采用理想線彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

4) 不考慮FRP布厚度，即認(rèn)為FRP加固梁的截面高度與原截面高度一致。

上述基本假定是為了在確保計算準(zhǔn)確度的同時，避免由于理論計算過于復(fù)雜而不利于工程實際應(yīng)用的問題。

圖1 混凝土受壓時的本構(gòu)關(guān)系曲線Fig.1 Constitutive relation curve of concrete under compression

1.3 受壓區(qū)混凝土壓應(yīng)力合力及作用點

單筋矩形截面適筋梁采用FRP加固后，假設(shè)理論受壓高度為xc，等效受壓高度為x，則其截面應(yīng)力分布如圖2所示。受壓區(qū)混凝土的壓應(yīng)力符合圖1所示曲線的變化規(guī)律。

圖2 梁截面等效應(yīng)力分布圖Fig.2 Equivalent stress distributions of beam section

已知受壓區(qū)混凝土壓應(yīng)力的合力C為[9]

式中：xc為中和軸高度，即受壓區(qū)的理論高度；b為截面寬度；k1為本構(gòu)關(guān)系曲線系數(shù)。

由此可以推導(dǎo)出：

1) 當(dāng)ε0≤εc≤εcu時，

2) 當(dāng)ε0≤εc≤εcu時，

即

合力C到中和軸的距離yc為[9]

式中：k2為本構(gòu)關(guān)系曲線系數(shù)。同樣經(jīng)推導(dǎo)可以得到：

1) 當(dāng) 0 ≤εc≤ε0時，

2) 當(dāng)ε0≤εc≤εcu時，

即

由式(3)和(7)可知，合力C和yc只與混凝土本構(gòu)關(guān)系曲線系數(shù)k1和k2及受壓區(qū)高度xc有關(guān)。

設(shè)圖2中等效矩形應(yīng)力為α1fc，高度為x，則根據(jù)GB 50010—2011“混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范”[8]可得：

1) 混凝土壓應(yīng)力合力應(yīng)相等，即

2) 受壓區(qū)合力C的作用點位置不變，即

所以，

式中：系數(shù)α1為受壓區(qū)混凝土等效應(yīng)力與混凝土軸心抗壓強度設(shè)計值的比值；系數(shù)β1為等效應(yīng)力受壓區(qū)高度x與中和軸高度xc的比值。

根據(jù)推導(dǎo)的公式，計算不同受壓區(qū)邊緣混凝土壓應(yīng)變所對應(yīng)的α1和β1(見表1)，可供FRP加固梁的抗彎極限承載力計算使用。需說明的是，表1中沒有出現(xiàn)εc，相應(yīng)的α1和β1可以通過上述公式直接計算，所得結(jié)果更精確，也可采用內(nèi)插方式進(jìn)行計算。

表1 不同受壓區(qū)邊緣混凝土壓應(yīng)變的1α和1βTable 1 1αand1βof compressive strains of concrete at different compression areas

2 破壞模式一：FRP布拉斷

2.1 FRP布最小加固量

當(dāng)加固梁發(fā)生FRP布被拉斷的破壞模式時，受壓區(qū)混凝土一般未達(dá)到極限壓應(yīng)變，但FRP布達(dá)到了極限拉應(yīng)變而被拉斷。這種破壞模式屬于脆性破壞，設(shè)計時可采用加大 FRP布使用量來避免，即至少保證FRP布的最小加固量。最小加固量所對應(yīng)的臨界破壞狀態(tài)為當(dāng)加固梁達(dá)到極限承載力時縱筋發(fā)生屈服，F(xiàn)RP布被拉斷的同時受壓區(qū)混凝土達(dá)到極限壓應(yīng)變時的狀態(tài)。該臨界狀態(tài)也是1.1節(jié)中前2種破壞模式的界限狀態(tài)。

假設(shè)加固梁達(dá)到上述界限時受壓區(qū)的理論高度為xc，界限受壓區(qū)高度為xb1，相對界限受壓區(qū)高度為ξb1，由圖3所示應(yīng)變關(guān)系和受力平衡可推導(dǎo)得到以下參數(shù)。

圖3 最小FRP布加固量時梁截面應(yīng)力和應(yīng)變分布Fig.3 Stress and strain distributions of beam section using the minimum FRP reinforcement

界限受壓區(qū)高度xb1為

相對界限受壓區(qū)高度ξb1為

由力的平衡得：

所以，F(xiàn)RP布最小加固量ρf,min為

式中：α1和β1為受壓區(qū)邊緣混凝土達(dá)到極限壓應(yīng)變時的值，根據(jù)表1取為α1=0.910 1，β1=0.967 0；h為截面高度；h0為截面有效高度；εfu為FRP布的極限應(yīng)變；εf0為FRP布的滯后應(yīng)變；fy為受拉鋼筋屈服強度；As為受拉縱筋截面積；Ef為FRP布的彈性模量；Afe為FRP布有效截面面積。根據(jù)GB 50367—2013“混凝土結(jié)構(gòu)加固設(shè)計規(guī)范”[1]可得Afe=kmAf，其中，km為厚度折減系數(shù)，當(dāng)粘貼1層FRP布時，km=1；粘貼多層時，采用計算，k不能超過m0.9；nf為FRP層數(shù)；tf為FRP的厚度。

當(dāng)FRP布加固量ρ＜ρf.min時，加固梁受壓區(qū)混凝土一般不會達(dá)到極限壓應(yīng)變，但FRP布會被拉斷，屬于脆性破壞，加固設(shè)計時應(yīng)當(dāng)避免。但在現(xiàn)實情況中，難免由于加固條件限制或設(shè)計失誤，導(dǎo)致脆性破壞模式的發(fā)生，為此，有必要推導(dǎo)出該破壞模式下加固梁的極限承載力，作為后續(xù)安全性評估的依據(jù)。

2.2 極限承載力公式推導(dǎo)

當(dāng)ρ＜ρf.min時，加固梁截面的應(yīng)力、應(yīng)變分布如圖4所示，據(jù)此可以推導(dǎo)FRP布被拉斷破壞模式下加固梁的極限承載力公式。

圖4 FRP布拉斷時梁截面的應(yīng)力和應(yīng)變分布Fig.4 Stress and strain distributions of beam section when FRP breaks

聯(lián)立式(19)～(22)可以求得εc，α1和x。

根據(jù)ACI-440的FRP設(shè)計指南[11]，F(xiàn)RP布拉斷時發(fā)生脆性破壞，為了保證結(jié)構(gòu)具有較好的延性，可在計算的正截面抗彎承載力基礎(chǔ)上再乘以1個折減系數(shù)φ=0.9(Mu≤ 0 .9M)：

2.3 允許拉應(yīng)變[εfu]的確定

王文煒等[2,7]發(fā)現(xiàn)FRP布拉斷時發(fā)生明顯的脆性破壞，但FRP布極限拉應(yīng)變，使得FRP布在拉斷時的應(yīng)變不好控制，這是導(dǎo)致很多承載力計算方法準(zhǔn)確性較低的重要原因。因此，采用允許拉應(yīng)變[εfu]來代替極限拉應(yīng)變εfu可能更加合理。

鄭建軍等[12]的研究表明，F(xiàn)RP布拉應(yīng)變折減系數(shù)k與粘貼層數(shù)、FRP布彈性模量、厚度等有很大關(guān)系。當(dāng)粘貼1層FRP布時，折減系數(shù)一般在0.7～0.8之間；當(dāng)粘貼2層FRP布時，折減系數(shù)一般在0.6～0.7之間；當(dāng)粘貼3層FRP布時，折減系數(shù)一般在0.5～0.6之間；當(dāng)粘貼層數(shù)超過4層時，F(xiàn)RP布的強度會大大減小，無法得到充分發(fā)揮。張丹偉[13]指出，當(dāng)其他變量都一樣時，CFRP的折減系數(shù)比BFRP的稍大。為了便于工程應(yīng)用，本文在計算允許拉應(yīng)變[εfu]時，折減系數(shù)k統(tǒng)一取值：當(dāng)粘貼1層FRP布時，折減系數(shù)k =0.75；當(dāng)粘貼2層FRP布時，折減系數(shù)k=0.65；當(dāng)粘貼3層FRP布時，折減系數(shù)k=0.55。

3 破壞模式二：鋼筋屈服后受壓區(qū)混凝土壓碎破壞

3.1 FRP布最大加固量

受壓區(qū)混凝土被壓碎可能發(fā)生于加固梁縱筋屈服前或屈服后，由此定義了2種不同的破壞模式，兩者間的界限可以作為確定FRP布最大加固量的依據(jù)。當(dāng)FRP布使用量超過最大加固量時，縱筋屈服前受壓區(qū)混凝土先被壓碎，類似于普通RC梁的超筋破壞；當(dāng)FRP布使用量剛好達(dá)到最大加固量時，縱筋屈服的同時受壓區(qū)邊緣混凝土達(dá)到極限壓應(yīng)變εfu，此時，F(xiàn)RP布應(yīng)變未達(dá)到極限拉應(yīng)變。

當(dāng)加固梁處于上述界限時，假設(shè)受壓區(qū)的理論高度為xb2，相對受壓區(qū)高度為ξb2，最大FRP布加固量時梁截面應(yīng)力、應(yīng)變分布見圖5。

圖5 最大FRP布加固量時梁截面應(yīng)力和應(yīng)變分布Fig.5 Stress and strain distributions of beam section using the maximum FRP reinforcement

已知等效受壓區(qū)高度為xb2=β1xc，其中β為受壓區(qū)混凝土達(dá)到極限壓應(yīng)變時的值，β1=0.867 0。

界限受壓區(qū)高度xb2為

界限受壓區(qū)相對高度ξb2為：

由截面受力平衡可推導(dǎo)得到

所以，F(xiàn)RP布最大加固量為

3.2 極限承載力公式推導(dǎo)

當(dāng)ρf.min≤ρ≤ρf.max時，鋼筋屈服后混凝土被壓碎，α1=0.910 1，β1=0.867 0。加固梁抗彎承載力計算公式推導(dǎo)如下。

受壓區(qū)高度為

由受力平衡關(guān)系得

聯(lián)立式(30)和(31)求解x和εf，然后可得加固梁的抗彎極限承載力為

4 破壞模式三：鋼筋屈服前受壓區(qū)混凝土壓碎破壞

當(dāng) FRP布使用量超過最大加固量(ρ＞ρf.max)時，加固梁會發(fā)生鋼筋屈服前受壓區(qū)混凝土被壓碎的破壞模式，此時FRP布強度的利用率很低，類似于普通RC梁的超筋破壞，屬于脆性破壞，在加固設(shè)計中應(yīng)當(dāng)避免。為了預(yù)防現(xiàn)實情況中由于加固條件限制或設(shè)計失誤而導(dǎo)致此種破壞模式的發(fā)生，本文也推導(dǎo)了相應(yīng)的加固梁極限承載力計算公式，作為后續(xù)安全性評估的依據(jù)。

當(dāng)ρ＞ρf.max時，鋼筋屈服前混凝土已經(jīng)被壓碎，根據(jù)表1，有α1=0.910 1，β1=0.867 0。

假設(shè)混凝土受壓區(qū)的理論高度為xc，F(xiàn)RP布加固量過多時梁截面應(yīng)力、應(yīng)變分布見圖6。

圖6 FRP布加固量過多時梁截面應(yīng)力和應(yīng)變分布Fig.6 Stress and strain distributions of beam section using redundant FRP reinforcement

由x=β1xc可得縱筋應(yīng)變εs、應(yīng)力σs分別為：

其中：Es為鋼筋彈性模量。同理，

因此，F(xiàn)RP布應(yīng)變、應(yīng)力分別為：

由受力平衡關(guān)系得

聯(lián)立式(34)，(37)和(39)可求解混凝土受壓區(qū)高度x，對應(yīng)加固梁的抗彎承載力為

5 滯后應(yīng)變和二次受力影響

若結(jié)構(gòu)在加固前沒有預(yù)先卸載，則新加固部分只有在新加荷載作用下才參與受力，即體現(xiàn)二次受力影響，此時，新加固部分的應(yīng)變始終滯后于原結(jié)構(gòu)應(yīng)變，發(fā)生滯后應(yīng)變現(xiàn)象，因此，結(jié)構(gòu)在加固前的卸載程度將直接影響加固結(jié)構(gòu)的極限承載力。本文為了考慮二次受力的影響，采用GB 50367—2013“混凝土結(jié)構(gòu)加固設(shè)計規(guī)范”提供的滯后應(yīng)變計算公式[1]：

式中：M0k為加固前受彎構(gòu)件驗算截面上原作用的彎矩標(biāo)準(zhǔn)值；αf為綜合考慮受彎構(gòu)件裂縫截面內(nèi)力臂變化、鋼筋拉應(yīng)變不均勻以及鋼筋排列影響等的計算系數(shù)，均按規(guī)范采用。

6 算例及驗證

6.1 FRP布拉斷破壞模式

楊玫等[14-15]采用 CFRP布加固了 12根高強鋼筋混凝土試驗梁和6根普通強度鋼筋混凝土試驗梁，以研究加固梁的受彎破壞特征和極限承載力。為了驗證本文推導(dǎo)公式的適用性和可靠性，采用文獻(xiàn)[14-15]中6根破壞模式為FRP布拉斷的試驗梁進(jìn)行極限承載力計算，并與試驗結(jié)果進(jìn)行對比。此處選取文獻(xiàn)[14]中1根編號為RLI-2的梁演示計算過程。

已知 RLI-2梁粘貼了2層CFRP布，梁截面b×h=150 mm×250 mm，凈跨l0=2 400 mm，采用兩點對稱加載?？v筋采用2根直徑為12 mm的HRP335鋼筋，As=226 mm2，配筋率ρ=0.68%，fy=391.78 MPa，fc=61.90 MPa，Ef=237GPa，ff=4 330 MPa，t=0.167 mm。試驗破壞荷載為99.02 kN。

表2 破壞模式一下破壞荷載計算值與試驗值對比Table 2 Failure load comparison of calculated values with experimental results in failure mode 1

6.2 鋼筋屈服后混凝土壓碎破壞模式

同樣地，采用文獻(xiàn)[14-16]中的4根試驗梁驗證鋼筋屈服后混凝土壓碎的破壞模式下本文所推導(dǎo)公式的適用性。這里選取文獻(xiàn)[14]中1根編號RLII-1的梁演示計算過程。

已知 RLII-1梁粘貼了 1層 CFRP布，梁截面b×h=150 mm×250 mm，凈跨l0=2 400 mm，采用兩點對稱加載?？v筋采用2根直徑為22 mm的HRP335鋼筋，As=760 mm2，配筋率ρ=2.30%，fy=380.81 MPa，fc=57.36 MPa，Ef=237 GPa，ff=4 330 MPa，t=0.167 mm。試驗破壞荷載為178.51 kN。

已知受壓區(qū)混凝土被壓碎，查表1得α1=0.910 1。FRP布的面積Aef=25.05 mm2。將式(30)和(31)聯(lián)立解得：x=47.55 mm，εf=0.013 5。代入式(32)，得到計算的極限彎矩：

最終破壞荷載為F=188.15 kN，與試驗值178.51 kN相比，本文公式計算結(jié)果的相對誤差為5.4%。

其余3根梁的理論計算及試驗值對比見表3。從表3可見：本文計算值與文獻(xiàn)試驗值較吻合，計算精度較高。

表3 破壞模式二下破壞荷載計算值與試驗值對比Table 3 Failure load comparison of calculated values with experimental results in failure mode 2

6.3 考慮二次受力時FRP布被拉斷破壞模式

趙璟[17]采用BFRP布加固了15根鋼筋混凝土試驗梁，黃楠[18]采用CFRP布加固了7根鋼筋混凝土試驗梁。本文對其中考慮二次受力且出現(xiàn)FRP布拉斷破壞模式的5根梁進(jìn)行計算。選取文獻(xiàn)[17]中的1根編號為AL-6的梁演示計算過程。

已知 AL-6梁粘貼了 1層 BFRP布，梁截面b×h=120 mm×200 mm，凈跨l0=1 300 mm，采用兩點加載，分配梁間距500 mm。縱筋采用2根直徑為10 mm 的 HRP335鋼筋，As=157 mm2，配筋率ρ=0.75%，fy=376.66 MPa，fc=27.69 MPa，Ef=91 GPa，ff=1 487.9 MPa，t=0.16 mm。初始荷載為30%破壞荷載Pu(Pu=48 kN)。試驗最終破壞荷載為66 kN。

FRP布的面積為Aef=120 mm×0.16 mm，允許拉應(yīng)變?yōu)?/p>

根據(jù)規(guī)范[1]采用內(nèi)插法求得系數(shù)αf=0.975，故滯后應(yīng)變?yōu)?/p>

代入式(19)～(22)得：x=25.93 mm，εc=0.002 52，α1=0.928 8。最后求得極限彎矩為

其余 4根梁的理論計算結(jié)果及試驗結(jié)果對比見表4。

從表4可見：采用本文公式所得計算值與文獻(xiàn)試驗值基本吻合，相對誤差均在10%左右，滿足工程精度要求。考慮到二次受力情況的復(fù)雜性，本文推導(dǎo)公式的計算準(zhǔn)確性較高。

表4 考慮二次受力時破壞荷載計算值與試驗值對比Table 4 Failure load comparison of calculated values with experimental results considering secondary loading

7 結(jié)論

1) 本文公式建立在與實際情況比較接近的混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線的基礎(chǔ)上，同時采用了幾個合理的基本假定，在確保計算準(zhǔn)確度的同時，可以避免由于理論計算過于復(fù)雜而不利于工程實際應(yīng)用的問題。

2) 采用本文推導(dǎo)公式所得計算結(jié)果與試驗結(jié)果較吻合，同時對二次受力加固梁的承載力預(yù)測也符合工程精度要求。

3) 本文試驗驗證采用了BFRP和CFRP加固量，但所推導(dǎo)的公式可以應(yīng)用于其他類型FRP布(如AFRP和GFRP布)加固案例，僅需對極限應(yīng)變的折減系數(shù)進(jìn)行修正。

4) 在實際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)最大、最小加固量確定加固所需的FRP布使用量，避免出現(xiàn)脆性破壞的不利情況，同時，要盡可能利用FRP布的抗拉強度。需要指出的是，加固梁設(shè)計時要滿足“強剪弱彎”要求，以防止梁正截面抗彎極限承載力提高太多而使構(gòu)件發(fā)生受剪破壞。