基于冗余并聯(lián)機構(gòu)的高性能機床設計與分析

趙福群，郭盛，徐梓淳，李典

(1.北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京，100044；2.北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京，100191)

由于航空航天器材零部件和大型工件結(jié)構(gòu)尺寸較大，材料硬度較高。在加工生產(chǎn)中，往往要求加工機床具有高性能的要求，即加工時執(zhí)行機構(gòu)所具剛度要大，末端調(diào)姿能力要強。如在航天器材零部件精密加工中，并聯(lián)機構(gòu)作為機床執(zhí)行加工任務的末端機構(gòu)，通過移動單元到達加工位置，由并聯(lián)機構(gòu)對零部件進行局部加工。在并聯(lián)機構(gòu)應用于局部加工時，滿足在局部加工中高剛度性能和在加工位置時動平臺的調(diào)姿能力是并聯(lián)機構(gòu)設計和應用需考慮的首要問題。近年來，研究者通過將冗余驅(qū)動引入到并聯(lián)機構(gòu)中，對機構(gòu)性能的提高進行了分析和研究[1-5]。GOSSELIN等[6-7]先后提出了動平臺整周旋轉(zhuǎn)的平面冗余并聯(lián)機構(gòu)和增大 Gs機構(gòu)轉(zhuǎn)角的空間冗余并聯(lián)機構(gòu)，克服了并聯(lián)機構(gòu)轉(zhuǎn)角能力的不足。XIE等[8]提出了具有冗余驅(qū)動的混聯(lián)機床，并進行了銑削加工實驗研究和驗證。閆采霞等[9]對驅(qū)動冗余和結(jié)構(gòu)冗余 2種機構(gòu)所具容錯性能進行了研究，顯示了冗余機構(gòu)自身容錯優(yōu)勢。白志富等[10-11]通過引入冗余驅(qū)動支鏈的方式，研究并證明了此類機構(gòu)對并聯(lián)機床剛度的提升。目前，冗余并聯(lián)機構(gòu)可分為驅(qū)動冗余和結(jié)構(gòu)冗余2類[12]。驅(qū)動冗余是利用驅(qū)動關(guān)節(jié)替換一些已有系統(tǒng)中被動關(guān)節(jié)的方法進行設計。驅(qū)動冗余可能消除或者減少了機構(gòu)的奇異位型，但不改變原有并聯(lián)機構(gòu)的工作空間，且這種添加方式增加了產(chǎn)生內(nèi)應力的可能。結(jié)構(gòu)冗余是通過增加自身結(jié)構(gòu)以外的驅(qū)動單元或運動分支到其中運動支鏈上，在機構(gòu)中增加結(jié)構(gòu)冗余可以避免運動學奇異性，優(yōu)化工作空間，提高局部和整體的靈活性等，同時可以避免驅(qū)動冗余下產(chǎn)生內(nèi)應力的情況，結(jié)構(gòu)冗余機構(gòu)更容易完成一些特殊要求的運動[13-15]。本文作者提出并聯(lián)機構(gòu)是以并聯(lián)機構(gòu)為設計主體，通過在單支鏈中添加冗余驅(qū)動分支以得到結(jié)構(gòu)冗余并聯(lián)機構(gòu)。對于冗余運動支鏈單元利用閉環(huán)回路方程待定系數(shù)方法的方法進行求解。同時，利用雅克比矩陣，通過對比與機構(gòu)運動學性能，顯示冗余驅(qū)動對機構(gòu)運動學性能的改善效果。以并聯(lián)機構(gòu)應用于機床加工中的圓弧形軌跡為例，對機構(gòu)進行運動仿真，結(jié)果為并聯(lián)機構(gòu)進一步應用于機床的設計和制造提供一種方案。

1 機構(gòu)描述及自由度計算

1.1 機構(gòu)結(jié)構(gòu)描述

圖1 新型2R(R)/S-2RS并聯(lián)機構(gòu)模型簡圖Fig.1 Schematic description of 2R(R)/S-2RS parallel mechanism

1.2 機構(gòu)整體與動平臺自由度計算

設機構(gòu)初始位型為動平臺平行于定平臺，在圖1所示的坐標系下，支鏈 1中各轉(zhuǎn)動副中心點坐標可記為

支鏈1中轉(zhuǎn)動副軸線方向與y軸方向平行，由螺旋理論[16-17]可得，則支鏈1中各個運動副的關(guān)節(jié)運動螺旋可表示為

則支鏈1中運動螺旋系可記為

經(jīng)計算可得支鏈1末端約束螺旋：

同理可得支鏈2和支鏈3的約束螺旋為：

由式(3)～(5)，各支鏈對動平臺分別提供1個約束力，約束力的方向與對應各支鏈中轉(zhuǎn)動副的軸線平行，且通過對應各支鏈的球副中心點。由于機構(gòu)初始位置為兩平臺，互相平行，因此，各力線矢為共面關(guān)系。由于3個不匯交且共面的力線矢為線性無關(guān)，根據(jù)螺旋理論，動平臺被約束的運動為平行于x和y軸的移動與繞z軸方向的轉(zhuǎn)動。由此可得，機構(gòu)動平臺的自由度為繞x和y軸軸線方向的轉(zhuǎn)動，平行于z軸的移動。

對于含多支鏈結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機構(gòu)，可通過下述修正的G-K公式計算得到其整體自由度：

其中：M為機構(gòu)整體自由度個數(shù)；d為機構(gòu)階數(shù)，d=6-λ；λ為機構(gòu)公共約束個數(shù)；n為機構(gòu)構(gòu)件數(shù)之和；g為機構(gòu)運動副數(shù)之和；fi為運動副i具有的自由度個數(shù)；v為機構(gòu)減去公共約束數(shù)目后的冗余約束個數(shù)。

支鏈1中，分別對$1和$3以及$2和$4求反螺旋后，可得到2個反螺旋系中，3組反螺旋相同，支鏈1具有冗余約束的數(shù)目為 3，即式(6)中v=3。利用式(6)可得出：

因此，機構(gòu)整體的自由度等于 4，動平臺獨立自由度數(shù)為3，故新型2R(R)/S-2RS機構(gòu)為結(jié)構(gòu)冗余并聯(lián)機構(gòu)。

2 機構(gòu)運動學

圖2 新型2RP(R)/S-2RPS并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Schematic diagram of 2RP(R)/S-2RPS parallel mechanism

采用Z-Y-X型歐拉變換對動平臺姿態(tài)進行表達[13]，給定α，β和γ，則動平臺的姿態(tài)可描述矩陣形式記為

設各支鏈球副中心點Si在定坐標系和動坐標系下坐標向量分別為si和sPi，有

式中：p=(x,y,z)T表示p點在固定坐標系下的位置矢量。機構(gòu)3條支鏈為圓周對稱布置形式，各支鏈分別只能運動在平面內(nèi)，各球副中心點滿足下述關(guān)系：

通過式(11)，給定參數(shù)(z,α,β)T后，動平臺位姿參數(shù)(x,y,z,α,β,γ)T便可確定。

2.1 位置逆解

設轉(zhuǎn)動副中心點Ai，B和D的坐標向量分別為ai，b和d，球副中心點S1坐標向量可表示為s1=[r(cosα?cosβ+sinα)+r/2(cos2α)(cosβ-1),0,-r?cosαsinβ]T。在支鏈1中，已知D點坐標向量為d=[l,0,0]T，A1點坐標向量a1=[l1+l5,0,0]T，那么B點坐標可通過桿長A1B和BD的約束方程求得：

利用BS1桿長約束關(guān)系可建立方程為

由式(13)可得出機構(gòu)各驅(qū)動桿長與動平臺位姿的關(guān)系式：

式(14)中含有l(wèi)1和l22個未知驅(qū)動值，確定其中一個未知量，進而求出另外一個驅(qū)動值。

支鏈2中，A2點坐標向量表示為，球副中心點S2定坐標系中的坐標向量可記為s2。利用A2S2桿長約束關(guān)系可建立方程為

在定坐標系下A2點坐標、S2點坐標均為已知，驅(qū)動桿長l4可通過式(15)直接求得。同理，支鏈3中驅(qū)動桿長l6可通過同樣的方法求得。

鑒于修該課程的學生將來多從事教育事業(yè)，大綱中對學生的課堂著裝（尤其是在做口頭報告時）也提出了要求。學生在上課時應避免穿牛仔褲、人字拖、透視裝、低胸裝、帽衫、汗衫及緊身衣等。還提醒學生在做口頭報告和回答他人問題時不可嚼口香糖。

2.2 速度映射及雅可比矩陣

對于結(jié)構(gòu)冗余機構(gòu)，在給定3個輸出值以后，由于機構(gòu)存在4個驅(qū)動值，支鏈1有無窮多組輸入值配置方式。在求解雅可比矩陣時，需對支鏈1中的其中一個輸入進行給定。同2.1節(jié)給定l2為定值，設各驅(qū)動值的速度矩陣為，動平臺速度矩陣為，驅(qū)動值速度與動平臺速度之間關(guān)系可表示為

對式(13)和式(15)以及支鏈3同于支鏈2形式的約束方程分別對時間t進行求導，可得

對式(17)中驅(qū)動值和動平臺運動參數(shù)的方程組進行整理，q和x的系數(shù)矩陣A和B可分別表示為

式中：r11，r22，r33和aij分別為關(guān)于機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)以及z，α和β的函數(shù)；i=1,2,3；j=1,2,3。

對式(16)進行變形：

式中：J為雅可比矩陣。給定機構(gòu)動平臺的速度參數(shù)后，通過式(18)可求得此時驅(qū)動值的速度。

3 性能評價

3.1 工作空間分析

工作空間范圍主要是由機構(gòu)的運動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍和結(jié)構(gòu)參數(shù)限制。為了驗證由3-RPS機構(gòu)[18]通過添加冗余驅(qū)動所形成的新型2RP(R)/S-2RPS機構(gòu)在性能方面得到提升，本節(jié)給出兩機構(gòu)在相同結(jié)構(gòu)參數(shù)和約束條件下的可達工作空間范圍。設定l=20，l3=70，l5=10，r=10，單位均為mm。設定3-RPS機構(gòu)支鏈1中的驅(qū)動桿為A1S1，在求解工作空間時，令A1S1為l1，支鏈2和支鏈3與冗余驅(qū)動機構(gòu)相同。給定尺度約束條件為：l1(5,100)，l2∈(5,100)，l4∈(5,100)，l6∈(5,100)，單位均為 mm；關(guān)節(jié)的約束條件為：θ1∈(30,120)，θ2∈(30,120)，θ3∈(30,120)，φ∈(30,150)，η∈(30,120)，ψ1(60,120)，ψ2∈(60,120)，ψ3∈(60,120)，單位均為(°)。上述桿長和轉(zhuǎn)角參數(shù)表示如圖2所示。圖3所示為兩機構(gòu)在給定約束條件下工作空間的對比。從圖3可以看出：新型2RP(R)/S-2RPS并聯(lián)機構(gòu)的工作空間在相同約束條件下比3-RPS的工作空間范圍更大。

3.2 靜剛度分析

將在第2.3節(jié)所得矩陣J代入式(18)，以微分形式進行變形[19]：

圖3 新型2R(R)/S-2RS并聯(lián)機構(gòu)與3-RS并聯(lián)機構(gòu)工作空間對比Fig.3 Workspace comparison of 2R(R)/S-2RS and 3-RS parallel mechanisms

其中：ΔX表示末端構(gòu)件所產(chǎn)生的微位移。定義末端構(gòu)件的力旋量：

可得：

式中：k為等效的彈簧系數(shù)，這里取k=1 000 N/mm[20]。

由圖5可知：剛度矩陣的最小特征值在中心點處最大，由中心點向周圍逐漸減小。其中，在z=60 mm相同截面處，新型2R(R)/S-2RS機構(gòu)剛度矩陣的特征值取值范圍要明顯大于3-RS機構(gòu)特征值的取值范圍。所以在機構(gòu)支鏈添加了冗余驅(qū)動后，機構(gòu)靜剛度性能得到了提升，從而提高機構(gòu)在執(zhí)行如加工任務的精度。

3.3 靈巧性分析

機構(gòu)靈巧性通?；谘趴杀染仃囉嬎?，而條件數(shù)可通過譜范數(shù)進行計算[19]，定義如下：

式中：

圖4 動平臺沿x,y方向移動與轉(zhuǎn)角α,β的關(guān)系Fig.4 Relation of translational motion alongx,yandα,βrotation angle of moving platform

圖5 相同約束條件下機構(gòu)剛度性能對比Fig.5 Stiffness performance comparison of both mechanisms under the same constraint condition

對式(24)方程兩邊取平方得：

矩陣JTJ最大的奇異值即為矩陣J的譜范數(shù)，表示為。同理，矩陣JTJ最小奇異值的倒數(shù)為J-1的譜范數(shù)，表示為 1 /σmin，則

選取兩機構(gòu)工作空間在z=60 mm的截面，求解機構(gòu)在此約束條件下的條件數(shù)取值。圖6所示為兩機構(gòu)在截面z=60 mm時，雅克比矩陣的條件數(shù)取值隨著α和β取值變化的情況。

圖6 相同約束條件下機構(gòu)靈巧性能對比Fig.6 Dexterity performance comparison of both mechanisms under the same constraint condition

表1 3-RS機構(gòu)與2R(R)/S-2RS機構(gòu)的綜合性能對比Table 1 Comprehensive comparison of 3-RS mechanism and 2R(R)/S-2RS mechanism

表1 3-RS機構(gòu)與2R(R)/S-2RS機構(gòu)的綜合性能對比Table 1 Comprehensive comparison of 3-RS mechanism and 2R(R)/S-2RS mechanism

機構(gòu) 工作空間點數(shù)N/個剛度最小特征值均值δ條件數(shù)均值τ3-RPS 394 1 780 8.56 2RP(R)/S-2RP S 856 3 460 4.38

從表1可知：在3-RPS機構(gòu)添加冗余驅(qū)動支鏈后，其工作空間點數(shù)N、剛度最小特征值均值δ和條件數(shù)均值τ較初始機構(gòu)均增加了約2倍，從而機構(gòu)的整體性能得到提升。

4 運動實驗仿真

4.1 任務路徑規(guī)劃

為證明設計可行性及機構(gòu)實現(xiàn)應用的能力，本節(jié)對機構(gòu)模型應用于機床圓弧形加工軌跡進行連續(xù)運動軌跡規(guī)劃仿真研究。首先，機構(gòu)由P1點進行加速運動至P2點，再由P2點減速運動至P3點速度為0 mm/s。然后，機構(gòu)末端平臺由P3點沿圓弧軌跡加速運動至P4點，再沿圓弧返回至P1點速度為0mm/s，如圖7所示。

根據(jù)各運動段給定條件，采用加速度方程為二次多項式，則動平臺在x、y方向的加速度可表示為

式中：j=1,2,3。

機構(gòu)末端的速度vij(t)方程與位移sij(t)方程可對式(27)通過進行2次積分得到，j=x,y。根據(jù)各段給定要求和各運動參數(shù)在不同弧段需要滿足關(guān)系，通過給定aij(t)，vij(t)和sij(t)方程中時間和位移參數(shù)，可求解出各方程表達式。

4.2 數(shù)值實驗驗證

圖4所示為機構(gòu)動平臺中心點x,y方向位移對應的轉(zhuǎn)動范圍。采用 MATLAB軟件對機構(gòu)刀具實現(xiàn)工業(yè)中常見的圓弧軌跡進行仿真，將動平臺中心點作為刀具位置，設定圓弧形軌跡半徑為r1=4 mm，完成路徑所用周期時間為8 s，仿真時間定為16 s，步長設為500。在1個周期內(nèi)，前4 s動平臺中心點從P1點先加速后減速運動到P3點，后4 s從P3點返回到P1點。通過式(14)和式(15)可計算得到動平臺中心點運動軌跡所對應的各驅(qū)動桿長的變化，圖8所示為所得各驅(qū)動值的變化曲線。

圖7 仿真運動軌跡Fig.7 Motion trajectory of simulation

圖8 仿真所得各驅(qū)動桿長變化曲線Fig.8 Simulation curves of driving length changes

由圖8可知：機構(gòu)采用高次加速度函數(shù)完成了連續(xù)圓弧軌跡運動，并由圖4中x和y方向移動與轉(zhuǎn)動耦合關(guān)系，可知在選取圓弧形軌跡半徑為r1=4 mm時對應較大的轉(zhuǎn)角范圍，仿真所得到的各驅(qū)動桿長曲線連續(xù)平穩(wěn)，且未出現(xiàn)尖點等突變。證明所設計機構(gòu)具有實現(xiàn)連續(xù)運動和機構(gòu)應用于局部加工零部件調(diào)姿的能力。

5 結(jié)論

1) 為提高并聯(lián)機構(gòu)整體性能，在傳統(tǒng)3-RPS機構(gòu)的支鏈中添加冗余驅(qū)動分支，提出了一種新型2RP(R)/S-2RPS冗余并聯(lián)機構(gòu)。根據(jù)螺旋理論求解機構(gòu)末端自由度為3，而得到機構(gòu)整體的自由度等于4，所提出機構(gòu)存在冗余約束，證明了新型2RP(R)/S-2RPS機構(gòu)為結(jié)構(gòu)冗余并聯(lián)機構(gòu)。

2) 對機構(gòu)進行了靜剛度和靈巧性能的運動學性能評價，并利用解耦特性條件得到了機構(gòu)伴隨運動的關(guān)系，對比了非冗余機構(gòu)在相同約束條件下的運動性能，證明 3-RPS機構(gòu)在添加冗余驅(qū)動所形成的2RP(R)/S-2RPS機構(gòu)的性能得到了提升。

3) 為檢驗新型 2RP(R)/S-2RPS冗余并聯(lián)機構(gòu)的可操縱性，以圓弧加工軌跡為仿真實例，對機構(gòu)工作空間內(nèi)進行了軌跡仿真。得到的各驅(qū)動變化曲線連續(xù)平穩(wěn)，且未出現(xiàn)尖點等突變，證明機構(gòu)可實現(xiàn)連續(xù)運動，并可應用于航空零件等加工。