關(guān)于“串聯(lián)電路中滑動(dòng)變阻器電功率變化范圍”的探討

肖映健

學(xué)完人教版初中物理第18章《電功率》后，在評(píng)講作業(yè)時(shí)遇到如下習(xí)題：如圖1電源電壓保持不變。將開關(guān)S閉合，滑動(dòng)變阻器的滑片P向左滑動(dòng)，電路中的變化情況是

A.電壓表的示數(shù)變小

B.R2消耗的功率變小

C.電路消耗的總功率變大

D.電壓表和電流表示數(shù)的比值不變

根據(jù)解答電路圖的一般步驟：首先簡(jiǎn)化電路，確定電路連接方式;然后觀察電流表、電壓表測(cè)量哪些用電器的電流和電壓，根據(jù)串并聯(lián)電路的規(guī)律及歐姆定律進(jìn)行解答和計(jì)算。由圖1可知，電路為串聯(lián)電路，根據(jù)“去源法”（去掉電源，電壓表和哪個(gè)電器形成閉合電路，電壓表即測(cè)哪個(gè)用電器兩端的電壓），可知電壓表測(cè)R1兩端電壓。由串聯(lián)電路規(guī)律，學(xué)生很容易判斷出，滑動(dòng)變阻器的滑片P向左滑動(dòng)，R1電阻變大，串聯(lián)分壓，電壓之比等于電阻之比，電壓表示數(shù)變大;由P=UI可知，P向左滑動(dòng)R1變大，電源電壓不變，電路中電流變小，R2兩端的電壓變小，R2消耗的功率和電路消耗的總功率均變小，電壓表和電流表示數(shù)的比值即為R1的阻值變大。所以容易選出正確選項(xiàng)B。善于思考問(wèn)題的同學(xué)提出，在滑片移動(dòng)的過(guò)程中，R2消耗的功率和電路消耗的總功率均變小，R1消耗的電功率如何變化？有些同學(xué)說(shuō)變小，有些同學(xué)說(shuō)變大，還有說(shuō)不變的。根據(jù)P=UI，U變大，I變小，涉及兩個(gè)變量，無(wú)法判斷，或者根據(jù)P=I2R，I變小，R變大，或者由P=P總-P2，P總和P2都變小，同樣不能判斷滑動(dòng)變阻器R1電功率變化的情況?；瑒?dòng)變阻器在移動(dòng)過(guò)程中消耗的電功率是不是真的無(wú)法判斷了？許多同學(xué)存在疑惑，因?yàn)橐婕跋嚓P(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，難度較大，為了不讓同學(xué)們失望，筆者設(shè)計(jì)出了如下的題目。

例題：在如圖2所示的電路中，電源電壓為U=6V且恒定，定值電阻R1=lOΩ與最大值為20Ω的變阻器R2串聯(lián)，求開關(guān)閉合后，滑片P從a端滑到b端的過(guò)程中，R2的功率的變化范圍？

分析：由圖可知R1和R2串聯(lián)，當(dāng)滑動(dòng)變阻器的滑片在最左端時(shí)，R2電阻為零，因?yàn)殡娐肥羌冸娮桦娐?，由P=I2R得，R2的最小功率為零。當(dāng)滑動(dòng)變阻器的滑片向右移動(dòng)，R2接入電路阻值變大，電路中總電阻變大，通過(guò)R2電流減小，R2兩端電壓增大，如果根據(jù)公式P=UI，因?yàn)橛袃蓚€(gè)變量，一個(gè)變大，一個(gè)減小，不能直接求出P的值。利用公式P=I2R，也涉及兩個(gè)變量，一個(gè)變大，一個(gè)變小。這需要借助數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求出物理的最值問(wèn)題。

方法一：當(dāng)R2接入電路中阻值為R時(shí)，電路中電流為I，滑動(dòng)變阻器的電功率為P2;

根據(jù)：P總=Pl+P2即U總I=U1I+U2I

P2=P總-P1 P2=UI-I2R1帶入數(shù)據(jù)得：

P2=6I-10I2

P2=-10I2+6I

可以將電功率P2看作是隨電流I變化的二次函數(shù)，如圖3所示，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，在二次函數(shù)，判別式△=b2-4ac=36>0二次函數(shù)開口向下，有最大值。

當(dāng)I=-b/2a=0.3A，即可得到最大電功率：P2=0.9W

當(dāng)滑動(dòng)變阻器接入電路中電阻：R2=O時(shí)，滑動(dòng)變阻器電功率最小，P2=0所以滑動(dòng)變阻器電功率變化范圍：o≤P≤0.9W

方法二：當(dāng)R2接入電路中阻值為R時(shí)，滑動(dòng)變阻器的電功率為P;

P=UI=I2R=（U/R1+R）2R=U2/1/R（R1+R2）2=U2/R12/R+R+2R1

利用數(shù)學(xué)的完全平方公式：

（a-b）2≥O

a2+b2≥2ab

當(dāng)a，b大于零時(shí)：a+b≥2√ab（a=b時(shí)有最小值）

結(jié)合數(shù)學(xué)函數(shù)：y=x+1/x（x>0）如圖4。

結(jié)合上面的公式，a+b≥2√ab當(dāng)x=1/x時(shí)，x=1，y有最小值y=2。

所以R12/R=R即：R=R1=10Ω時(shí)，有最大值：P=U2/4R1=0.9W

同理可得：滑動(dòng)變阻器電功率變化范圍：0≤P≤0.9W

通過(guò)計(jì)算可知，當(dāng)滑動(dòng)變阻器接入電路中電阻最大，電功率并不是最大，而是等于串聯(lián)電阻的阻值時(shí)是最大的。但是如果滑動(dòng)變阻器的最大阻值小于定值電阻的阻值，如何求呢？

還是利用數(shù)學(xué)二次函數(shù)最值的求法，結(jié)合二次函數(shù)拋物線的圖像：

利用上題分析：根據(jù)P2=10I2+6I

當(dāng)滑動(dòng)變阻器電阻R2=O，電流最大，

I最大=U/R1=6V/10Ω=0.6A

當(dāng)滑動(dòng)變阻器電阻最大R2=20Ω，電流最小，I最小=U/R1+R2=6V/30Ω=0.2A

當(dāng)R1=R2=10Ω，I=U/R總=0.3A時(shí)，P最大;

滑片P從a端滑到b端的過(guò)程中，根據(jù)二次函數(shù)圖像，p2=-10I2+6I，當(dāng)電流變化范圍為0.6A-0.3A.P隨I減小而增大;當(dāng)電流變化范圍為0.3A-0.2A，P隨I減小而減小。所以如果滑動(dòng)變阻器的最大阻值小于定值電阻的阻值，R2

歸納總結(jié)：如果滑動(dòng)變阻器R2與一個(gè)定值電阻R1串聯(lián)，R1的電功率為P1，R2滑動(dòng)變阻器接入電阻為RX，電功率為PX，電源電壓為U，電路電流為I，總功率為P。則：

Px=P-P1

Px= UI-I2R1

R1大于0，則Px有最大值。當(dāng)I=-b/2a=U/2R1時(shí)Px最大。

根據(jù)歐姆定律：I=U/R1+RX解得：RX=R1。

由以上分析可以得出結(jié)論：

1.當(dāng)R2max

2.當(dāng)R2max=R1，Rx=R1=R2max時(shí)，功率Px最大。

3.當(dāng)R2max>R1，Rx=R1時(shí)，功率Px最大。

以上解法除了運(yùn)用關(guān)于電功率的計(jì)算公式外，還借助于數(shù)學(xué)公式推理，將不能一目了然的物理計(jì)算變成了數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式。在平時(shí)教學(xué)中，有意識(shí)地把數(shù)學(xué)知識(shí)滲透到物理教學(xué)中去，真正做到把數(shù)學(xué)作為學(xué)習(xí)物理的工具。電功率是初中學(xué)生物理學(xué)習(xí)中的一個(gè)重難點(diǎn)內(nèi)容，是對(duì)電能、電功知識(shí)的深化，“運(yùn)用電功率公式解決有關(guān)問(wèn)題”在深圳中考屬于運(yùn)用層次，而求串聯(lián)電路中滑動(dòng)變阻器的電功率最值時(shí)需要用到數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)是難上加難。通過(guò)以上典型例題的分析，完美利用數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)，則物理電功率問(wèn)題迎刃而解了。

本文僅針對(duì)滑動(dòng)變阻器在串聯(lián)電路中的變化求電功率，問(wèn)題的解決，需要通過(guò)嚴(yán)密的思考和細(xì)心的推導(dǎo)，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力有很大的幫助，同時(shí)也為學(xué)生進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。