雙局域共振Helmholtz聲子晶體帶隙研究

陳 鑫，姚 宏，趙靜波，張 帥，賀子厚

(空軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部，西安 710051)

1 引 言

自1992年聲子晶體研究開始以來，已取得很大進(jìn)展[1-2]。2000年，劉正猷首次提出局域共振型聲子晶體[3]，由于其與Bragg型聲子晶體相比，能夠?qū)崿F(xiàn)小尺寸控制大波長的特性，成為聲子晶體發(fā)展的重點(diǎn)。近年來，為實(shí)現(xiàn)“低頻，寬帶，強(qiáng)衰減”的設(shè)計(jì)目標(biāo)[4]，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于聲子晶體的材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)做了很多研究，并不斷有新的原理引入聲子晶體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。其中，Helmholtz共振腔利用了空氣自身的共振作用，因此可以選用輕質(zhì)材料進(jìn)行結(jié)構(gòu)構(gòu)建，對(duì)聲子晶體的輕質(zhì)化有天然的優(yōu)勢(shì)。2005年，Hu等[5]研究了一種典型了Helmholtz型聲子晶體的帶隙特征和隔聲性能。包凱等[6]設(shè)計(jì)了一種嵌套型開縫圓管聲子晶體結(jié)構(gòu)，相對(duì)于開縫單管結(jié)構(gòu)，打開了低頻帶隙，其第一帶隙范圍在290～460 Hz左右。Jiang等[7]采用多腔的方式構(gòu)建出一種Helmholtz型聲子晶體，將帶隙降到了62.1～109.3 Hz的超低范圍內(nèi)。

但當(dāng)前基于Helmholtz共鳴腔的聲子晶體，由于帶隙上下限往往均與腔體體積有關(guān)，造成帶隙向低頻方向移動(dòng)的同時(shí)，其上限也在不斷降低，形成了低頻與寬帶之間的矛盾。本文構(gòu)建了一種新型的Helmholtz型聲子晶體，通過將結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為內(nèi)外腔的形式，擺脫了內(nèi)腔體積對(duì)帶隙上限的影響，使得帶隙上限得以大大提高。運(yùn)用理論等效模型和有限元計(jì)算兩種方法對(duì)該結(jié)構(gòu)的帶隙機(jī)理、影響因素等進(jìn)行了分析，得到了兼顧低頻與寬帶的結(jié)果。于此同時(shí)，將彈性桿-彈簧模型引入晶體設(shè)計(jì)中，使得簡化模型理論計(jì)算精度得以提高。

2 結(jié)構(gòu)帶隙與隔聲性能

該聲子晶體晶格結(jié)構(gòu)如圖1所示，其晶格常數(shù)為a，由4個(gè)U字型結(jié)構(gòu)嵌套組成，各邊壁厚統(tǒng)一為b，各邊之間留有寬度為s的空隙作為空氣通道，為使四角構(gòu)成邊長l=s+b的正方形，控制最外層邊長l1=a-2s-2b，中間邊長l2=a-2s-2b，最內(nèi)層邊長l3可進(jìn)行調(diào)節(jié)。在此結(jié)構(gòu)中，形成了中間和四角兩種大小的Helmholtz共鳴腔，由此形成一種腔體-細(xì)長管-腔體形式的Helmholtz局域共振型聲子晶體。另外，由于一般固體，如鋼、陶瓷等的聲阻抗約為空氣的105倍，可以認(rèn)為其分界面為“硬聲場邊界”[8-9]，即將U字型結(jié)構(gòu)視為剛體，忽略聲波透過空氣與其分界面而激起的振動(dòng)。

圖1 結(jié)構(gòu)橫截面示意圖 Fig.1 The schematic diagram of the structure cross section

將結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)置為a=100 mm，b=1 mm，s=1 mm，l3=90 mm，利用COSOL Multiphysics軟件，運(yùn)用有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)的特征頻率進(jìn)行求解，得出其能帶結(jié)構(gòu)如圖2(a)所示。從圖中可以看出，該結(jié)構(gòu)在1400 Hz以下共出現(xiàn)了4條帶隙，各帶隙范圍分別為86.9～445.9 Hz、464.07～902.52 Hz、905.71～905.73 Hz、916.9～1332.2 Hz，各帶隙的起止點(diǎn)已在圖中標(biāo)出。

圖2 (a)能帶結(jié)構(gòu)圖；(b)隔聲曲線 Fig.2 (a)Band diagram;(b) the transmission spectra

為研究該結(jié)構(gòu)的隔聲性能，將5個(gè)元胞沿縱向串聯(lián)，并將橫向定義為無限周期結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的一端布置背景壓力場，并設(shè)置完美匹配層(PML)，利用聲壓模式的隔聲量計(jì)算公式針對(duì)0～1400 Hz范圍內(nèi)的聲波進(jìn)行隔聲量計(jì)算：

(1)

其中，T代表隔聲量，Pout代表出射聲壓，Pin代表入射聲壓，結(jié)果如圖2(b)所示。從圖中可以看出，隔聲峰與帶隙計(jì)算結(jié)果吻合良好，其中第三帶隙由于過窄在隔聲曲線中并沒有體現(xiàn)。該結(jié)構(gòu)隔聲量在1140 Hz左右達(dá)到最大值178 dB，對(duì)于第一帶隙范圍內(nèi)，在316 Hz左右達(dá)到最大值148 dB，而150 Hz左右的低頻域也可達(dá)到102 dB。

3 帶隙形成機(jī)理及其等效模型構(gòu)建

對(duì)于聲子晶體隔聲材料，最關(guān)心的是其低頻隔聲性能，所以這里只就其第一帶隙的振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行討論。

A、B兩點(diǎn)的聲壓如圖3所示，在A點(diǎn)，中間的腔體(內(nèi)腔)聲壓最大，而四角的小腔體(外腔)聲壓基本為0，表明在此處由于聲波的激勵(lì)，細(xì)管中的空氣與內(nèi)腔中的空氣產(chǎn)生了局域共振，聲波被局域在內(nèi)腔內(nèi)，無法繼續(xù)向前傳播，由此對(duì)應(yīng)于帶隙的下限。

在B點(diǎn)處，內(nèi)腔聲壓基本為0，而外腔中，聲壓基本相同但相位相反，表明在此處細(xì)管中空氣與四角外腔內(nèi)空氣產(chǎn)生共振，與內(nèi)腔無關(guān)。而隨著頻率的繼續(xù)升高，聲波開始向臨近結(jié)構(gòu)的內(nèi)腔傳播，由此對(duì)應(yīng)于帶隙的上限。對(duì)于局域共振型聲子晶體，比較常用的等效模型為彈簧振子模型，下面，以此模型為基礎(chǔ)，對(duì)其帶隙形成機(jī)理進(jìn)行分析。

圖3 (a)模態(tài)A聲壓圖；(b)模態(tài)B聲壓圖 Fig.3 (a)Acoustic pressure distribution diagrams of point A;(b)Acoustic pressure distribution diagrams of point B

對(duì)于A模態(tài)，由于細(xì)管內(nèi)空氣體積相比內(nèi)腔小得多，且細(xì)管寬度較小，假設(shè)細(xì)管內(nèi)空氣作同步運(yùn)動(dòng)且不計(jì)其受到的壓縮，即可以視為振子；而內(nèi)腔內(nèi)空氣忽略其振動(dòng)造成的慣性力，即視為彈簧。與此同時(shí)，由于結(jié)構(gòu)的嚴(yán)格對(duì)稱性，可以只取結(jié)構(gòu)的1/4進(jìn)行計(jì)算，由此該模態(tài)振動(dòng)可等效為圖4(a)所示的彈簧-振子模型。

其等效質(zhì)量和等效剛度的表達(dá)式分別為：

MA=sρ(l1+l3-b)h

(2)

(3)

其中ρ為空氣密度，c為空氣中聲速，SA為內(nèi)腔橫截面積。

則其共振頻率計(jì)算公式為：

(4)

對(duì)于B模態(tài)，細(xì)管內(nèi)空氣體積與外腔體積相差不大，再將其視為集中質(zhì)量的振子會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。在此，將細(xì)管內(nèi)空氣視為一根做縱向振動(dòng)的等截面桿，其一端為自由端，另一端連接著彈簧系統(tǒng)，并同樣只取一個(gè)外腔及其連接的細(xì)管進(jìn)行計(jì)算，其等效模型如圖4(b)所示。

設(shè)桿上距自由端x處截面的縱向振幅為：

(5)

其中ω為角頻率，A1及A2為待定系數(shù)，則其邊界條件為[10]：

(6)

其中EB=c2ρ，為空氣的體積模量，KB=ρc2s2/(s+b)2，為四角小腔體的等效剛度。將(5)式帶入(6)式，經(jīng)整理后可得：

(7)

這是一個(gè)超越方程，借助數(shù)值解法可以求出其第一階固有頻率，即為B模態(tài)的共振頻率。

圖4 (a)模態(tài)A等效模型；(b)模態(tài)B等效模型 Fig.4 (a)The equivalent model of point A;(b)the equivalent model of point B

4 帶隙影響因素研究

為研究各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙的影響，運(yùn)用有限元和等效模型理論計(jì)算兩種方法分析計(jì)算了其第一帶隙隨參數(shù)改變的變化情況，得出的結(jié)果如圖5所示。

圖5(a)顯示了第一帶隙與晶格常數(shù)a的關(guān)系，計(jì)算中保持l3=10 mm。從圖中可以看出，隨著a的增大，帶隙上限和下限均朝低頻方向移動(dòng)，同時(shí)帶隙寬度有變窄的趨勢(shì)。這是因?yàn)榫Ц癯?shù)增大會(huì)導(dǎo)致內(nèi)腔體積變大，根據(jù)式(3)，其等效彈性模量相應(yīng)減小，使得帶隙下限向低頻方向移動(dòng)。與此同時(shí)，因?yàn)閮H保持l3不變，但l1會(huì)隨a增大而增大，由式(4)和式(7)，這會(huì)導(dǎo)致帶隙上下限均向低頻方向移動(dòng)。另外，在a=0.02 m處，理論計(jì)算值發(fā)生了較大的偏差，這是因?yàn)榇藭r(shí)內(nèi)外腔體積與吸管內(nèi)空氣體積比值較小，已不能忽略腔內(nèi)空氣質(zhì)量和細(xì)管內(nèi)空氣體積模量的影響。

圖5(b)顯示了第一帶隙與管壁厚度b之間的關(guān)系，在此將晶格常數(shù)a固定為50 mm，隨著管壁增厚，帶隙上限下降，下限提高，帶隙寬度變小。分析其原因，這是因?yàn)楣鼙诘淖兒駮?huì)增大外腔體積而減小內(nèi)腔體積，并分別使其等效彈性模量減小和增大。這說明對(duì)于該結(jié)構(gòu)，在保證一定強(qiáng)度的基礎(chǔ)上，使用輕薄的材質(zhì)有利于獲得更好的隔聲效果，有利于隔聲材料向“輕質(zhì)”的方向發(fā)展。同時(shí)，經(jīng)計(jì)算，帶隙上限的理論計(jì)算誤差穩(wěn)定在3%左右，而帶隙下限的誤差從3%逐漸增加到7%左右，這是因?yàn)殡S著b的增加，內(nèi)腔體積變小，要取得更為精確的帶隙下限結(jié)果，也應(yīng)采用彈性桿-彈簧模型。

如圖5(c)所示，隨著細(xì)管寬度s的增大，帶隙上下限均向高頻方向移動(dòng)，但帶隙上限的變化幅度低于帶隙下限。這是由于在保持晶格常數(shù)不變的情況下，對(duì)于帶隙下限，由式(4)可以看出，s的增大會(huì)直接導(dǎo)致共振頻率的上升，且會(huì)使得內(nèi)腔面積SA相應(yīng)減小，進(jìn)一步導(dǎo)致共振頻率提高。而對(duì)于帶隙上限，由于在式(7)中s的增大會(huì)導(dǎo)致方程等號(hào)左右兩側(cè)均減小，削弱了參數(shù)s的作用。另外，需要指出的是，隨s增大理論計(jì)算誤差也在增大，說明此時(shí)在進(jìn)行定量計(jì)算時(shí)，同晶格常數(shù)a較小時(shí)的情況類似，需要綜合考慮腔內(nèi)空氣質(zhì)量和細(xì)管內(nèi)空氣體積模量。

圖5(d)表征的是隨l3增大帶隙的變化情況，從圖中可以看出，隨l3增大，帶隙上下限均向著低頻方向移動(dòng)，但帶隙下限變化程度明顯低于帶隙上限的變化程度。這是因?yàn)橛墒?2)和式(3)可得，l3的增大會(huì)使等效振子質(zhì)量增大，但與此同時(shí)，SA相應(yīng)減小，從而導(dǎo)致等效彈簧模量增大，阻礙了帶隙下限的進(jìn)一步降低；而對(duì)于帶隙上限，l3并不影響其等效彈簧模量。這說明對(duì)于該結(jié)構(gòu)，在保證一定低頻效果的同時(shí)，適當(dāng)減小l3的長度，就可以出現(xiàn)較寬的帶隙。

圖5 (a)晶格常數(shù)a,(b)壁厚b,(c)細(xì)管寬度s,(d)邊長l3對(duì)第一帶隙的影響 Fig.5 The impact of (a)the parameter a;(b)the parameter b;(c)the parameter s;(d)the parameter l3 on first low frequency band-gap

5 結(jié) 論

(1)本結(jié)構(gòu)采用多開口雙局域共振Helmholtz結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)解除了帶隙上限與內(nèi)腔空氣等效彈簧剛度的耦合關(guān)系，使得低頻帶隙上限得以大大提高，一定程度上解決了一般Helmholtz型聲子晶體低頻與寬帶之間的矛盾。

(2)從聲波的傳導(dǎo)上看，該結(jié)構(gòu)使得聲波不斷在Helmholtz共鳴腔之間傳播，局域共振作用得以加強(qiáng)，減少了對(duì)空間的浪費(fèi)，有利于聲子晶體向輕質(zhì)化、小型化。

(3)通過引入彈性桿-彈簧模型，使得在腔體較小的情況下，理論計(jì)算精度得以大大提高。于此同時(shí)，拓寬了聲子晶體的設(shè)計(jì)思路。