數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應用研究

龍君

摘 要：隨著新課程改革的不斷進行，高中數(shù)學課程內(nèi)容變得更加多樣化，加強了對數(shù)形結(jié)合思想的應用。在數(shù)學學習的過程中，要注重理解數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，培養(yǎng)學生的數(shù)學直覺，從而能夠更好地利用已有的數(shù)學知識，幫助學生更快地找出解決數(shù)學問題的途徑，從而提高學生的數(shù)學水平。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想;高中數(shù)學教學;應用研究

1 數(shù)形結(jié)合思想方法概述

所謂數(shù)形結(jié)合思想方法，就是充分利用數(shù)學解題過程中數(shù)和形兩種思想方法的關(guān)系，通過數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)化，來達到簡化解題步驟的作用。數(shù)和形是數(shù)學中的兩個重要元素，數(shù)指的是數(shù)學中跟數(shù)量有關(guān)的關(guān)系和概念，形就是用來表現(xiàn)數(shù)學關(guān)系的圖形。從形中看出數(shù)，充分理解數(shù)形結(jié)合的相關(guān)概念以及內(nèi)涵，找到數(shù)或形更加簡單的替代形式，從而使數(shù)形結(jié)合的效果更加突出。

2 數(shù)形結(jié)合思想方法的使用原則

2.1 雙向性原則

所謂雙向性原則，指的就是在對數(shù)學題目的數(shù)和形進行分析的時候，要同時分析數(shù)、形兩個方面，而不是單獨分析數(shù)或形。通過對比數(shù)、形之間的對應關(guān)系，從而從中找出數(shù)形結(jié)合思想方法的應用出發(fā)點，找出能夠解決問題的途徑和方法。在使用雙向性原則的過程中，要明白把數(shù)和形結(jié)合起來分析的思想，而不是分析數(shù)就僅僅分析數(shù)，分析形就僅僅分析形，二者相結(jié)合，對照起來分析，找出其中的突破點，從而找出解決問題的途徑。

2.2 等價性原則

所謂等價性原則，就是指數(shù)學題目中的數(shù)和形能夠形成一一對應的對比，從而為數(shù)和形之間的轉(zhuǎn)化提供了依據(jù)。通常情況下，題目中的數(shù)或形都有一定的缺陷，因此在使用數(shù)和形進行相互轉(zhuǎn)化的過程中，充分發(fā)揮數(shù)和形的等價性，才能夠使題目的條件變得更加完善，從而幫助對題目問題的解答。在實際的解題過程中，數(shù)和形的等價性會經(jīng)常用到，學生只有充分理解數(shù)學中數(shù)和形的本質(zhì)，才能夠充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用。

3 高中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合思想方法的應用

3.1 數(shù)轉(zhuǎn)形

高中數(shù)學中的內(nèi)容有些非常抽象，僅僅靠計算和推演具有一定的困難，而轉(zhuǎn)化為圖形就能夠豁然開朗。數(shù)轉(zhuǎn)形是一種非常有效的解題方法，訓練學生數(shù)轉(zhuǎn)形的思維，能夠使學生在解題過程中有更多思路，從而更好地實現(xiàn)靈活運用自己所學的知識。如下題：設(shè)方程|x2-1|=k+1，根據(jù)k的不同取值，討論方程有多少解。

在本題的分析過程中，可以把原方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，即：y1=|x2-1|、y2=k+1，分別在坐標系中畫出兩個函數(shù)的函數(shù)圖像，根據(jù)k的取值范圍，畫出兩個函數(shù)圖像不同的情況。所畫圖像如圖1所示。

解析：由k的取值范圍來判斷兩個函數(shù)的交點個數(shù)，從而判斷原方程的解的個數(shù)。當k<-1時，兩個函數(shù)沒有相交;當-10時，兩個函數(shù)相交于兩點。由題意可知，兩個函數(shù)相交的點的個數(shù)就是原方程的解的個數(shù)，通過對k的取值范圍的討論，即可得知原方程解的個數(shù)。

通過對以上立體的解析，可以得知數(shù)形結(jié)合思想方法在解決方程的根的個數(shù)方面十分有用，能夠使原本復雜的討論得到簡化，讓學生能夠一目了然地明白解題的方法，激活學生的數(shù)學思維，使學生在解題的過程中能夠更加得心應手。數(shù)轉(zhuǎn)形是一種十分重要的數(shù)學方法，學生要能夠從代數(shù)問題中看出圖形的影子，從而更好地實現(xiàn)數(shù)轉(zhuǎn)形的過程，使數(shù)學問題得到簡化。

3.2 形轉(zhuǎn)數(shù)

有些時候，使用代數(shù)方法解題要比形象的圖形解題容易。在解題的過程中，圖形有時候不能夠展現(xiàn)充分的信息，僅僅依靠圖形無法在解題方面找到充分的方法，而且圖形解題無法保證結(jié)果的精確性，因此可以將圖形轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)，從而更好地實現(xiàn)對解題思路的擴展。如下題：設(shè)f（x）=x2-2ax+2，當x在[-1，+∞）間取值的時候，f（x）恒大于a，求a在什么取值范圍時滿足條件。

解析：首先用圖形把題目表示出來。f（x）=x2-2ax+2>a在-1≤x<+∞時恒成立，因此可以設(shè)g（x）=x2-2ax+2-a>0在-1≤x<+∞時恒成立。根據(jù)Δ的取值范圍分兩種情況畫出g（x）=x2-2ax+2-a的大致函數(shù)圖像如圖所示：

如圖所示，圖2是△=4a2-4（2-a）<0的情況，此時能夠滿足f（x）恒大于a，解得a的取值范圍-20，a<-1解得，a的取值范圍-3

通過以上的解題過程可以看出，對于一些題目而言，代數(shù)方法比圖形方法要簡單，因此學生要學會從圖形中看出代數(shù)解決的途徑，從而能夠更好地找到解決問題的辦法。在進行形轉(zhuǎn)數(shù)的過程中，學生要能夠抓住題目中的每一個已知條件進行分析，從而更好地通過形轉(zhuǎn)數(shù)完成對題目的求解過程。

3.3 數(shù)、形的結(jié)合應用

高中數(shù)學題目有時綜合性較強，在單獨使用數(shù)轉(zhuǎn)形和形轉(zhuǎn)數(shù)的過程中，都無法完全實現(xiàn)對題目的解答，總是存在一定的數(shù)和形條件缺失的情況，從而導致題目無法解答。其實，高中數(shù)學中的很多問題都需要數(shù)和形結(jié)合起來應用，才能夠充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，使問題得到有效解決。例如，對于一些函數(shù)問題，可以通過函數(shù)解析式的分析和推導來得到關(guān)于函數(shù)的精確結(jié)果，通過對函數(shù)圖像的分析來使題目變得更加主觀易懂，函數(shù)解析式和函數(shù)圖像的結(jié)合應用，能夠使數(shù)學題目得到更加充分地分析，從而保證找到數(shù)學題目的解題方法。

在高中數(shù)學中，應用數(shù)、形結(jié)合最多的地方是一次函數(shù)、二次函數(shù)和三角函數(shù)，其中，直線、圓等函數(shù)解析式以及函數(shù)圖像的應用中數(shù)形結(jié)合思想方法的應用較多，如下題：點M（x，y）是圓（x-2）2+y2=3上的任意一點，對（x-y）的最小值與最大值進行求取。

解析：設(shè)方程x-y=b，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x-b，通過對臨界情況的討論，求解（x-y）的最大值和最小值。如圖4所示。

由上面的分析過程可以知道，高中數(shù)學中的很多題目都需要通過數(shù)與形相互配合的解題方式來得到解決，從而簡化解題過程。通過將這種抽象思維和形象思維相結(jié)合的方法，使學生的數(shù)學解題過程能夠變得更加多樣化，也更能夠幫助學生深入了解數(shù)學的本質(zhì)，從而加深對數(shù)學的理解。

4 總結(jié)

數(shù)形結(jié)合思想能使學生形成一種數(shù)形相互轉(zhuǎn)化的思維習慣，培養(yǎng)自身的觀察能力以及數(shù)學直覺，從而更好地利用數(shù)形結(jié)合思想方法使自己的數(shù)學能力得到提高。老師在數(shù)學課堂重要注意對這種數(shù)形結(jié)合思想的強化，采用更多的方式來加強培養(yǎng)和訓練，使學生牢牢掌握關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的相關(guān)應用，從而提高自身的數(shù)學成績。

參考文獻

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