水驅(qū)曲線的進(jìn)一步理論探討及童氏圖版的改進(jìn)*

張金慶

(1.海洋石油高效開發(fā)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100028； 2.中海油研究總院有限責(zé)任公司 北京 100028)

隨著勘探開發(fā)的不斷深入，投入開發(fā)的油田類型也越來越多，同時越來越多的已開發(fā)油田進(jìn)入高含水階段或特高含水階段，實(shí)施提液或產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化調(diào)整等挖潛措施越發(fā)頻繁，水驅(qū)曲線法、童氏圖版法及Arps遞減曲線等常用方法在應(yīng)用過程中暴露出來的問題也越加明顯。甲型水驅(qū)曲線是根據(jù)相滲曲線的比值為指數(shù)函數(shù)推導(dǎo)出來的，存在高含水期出現(xiàn)上翹的問題[1]。童氏圖版法的基礎(chǔ)有兩個，一個是甲型水驅(qū)曲線，另一個是水驅(qū)儲量和甲型水驅(qū)曲線的斜率之積為7.5[2]。然而，甲型水驅(qū)曲線高含水后期存在上翹現(xiàn)象，童氏圖版通常只能預(yù)測到含水為98%時的采收率，且常數(shù)7.5僅是部分油田統(tǒng)計出來的一個近似數(shù)，很多油田偏離此值，特別是低滲透油田遠(yuǎn)大于此值。若實(shí)際值大于7.5，那么由童氏圖版確定的采收率就偏大，反之預(yù)測值偏小。Arps遞減曲線通常是通過定壓條件推導(dǎo)出來的[3]，當(dāng)然在定液條件下也適用[4]，但大多數(shù)油田的生產(chǎn)制度是變化的，因此用Arps遞減曲線預(yù)測精度往往不夠理想。

很多學(xué)者針對上述常用方法存在的問題進(jìn)行了研究[5-16]。筆者基于相滲曲線的冪函數(shù)表達(dá)式將Welge微分方程轉(zhuǎn)化為線性方程，并提出了Welge系數(shù)的概念[17]。本文進(jìn)一步將前緣含水飽和度微分方程轉(zhuǎn)化為線性方程，給出Welge系數(shù)w的計算方法，改進(jìn)了童氏圖版,并提出了新的近似理論水驅(qū)曲線和理論水驅(qū)曲線。改進(jìn)后的童氏圖版及新型水驅(qū)曲線理論基礎(chǔ)更加扎實(shí)，適用范圍更廣，預(yù)測精度更高。

1 甲型水驅(qū)曲線的推導(dǎo)及童氏圖版的改進(jìn)

1.1 甲型水驅(qū)曲線的推導(dǎo)

油水兩相相對滲透率可以用如下冪函數(shù)表示[18-19]：

(1)

Kro=Kro(Swi)(1-Swd)no

(2)

其中

(3)

分流量方程可以表示為[18-19]

(4)

將式(1)和式(2)代入式(4),可得

(5)

其中

根據(jù)式(5)可以得到水油比的公式為

(6)

相滲曲線比值可以表示為如下指數(shù)函數(shù)[19]：

(7)

將式(7)代入式(4)，可得水油比的公式為

(8)

其中

筆者從理論上解決了平均含水飽和度與出口端含水飽和度的相關(guān)關(guān)系，即改進(jìn)的Welge線性方程[17]，并引入了Welge方程系數(shù)w。

-w)(1-Sor)

(9)

由文獻(xiàn)[20]可知

(10)

根據(jù)式(9)和式(10)可得

(11)

根據(jù)式(3)可得

Swe=Swd(1-Swi-Sor)+Swi

(12)

將式(12)代入式(11)，可得

(13)

其中

將式(13)代入式(8),可得

(14)

對式(14)兩邊積分，整理后可得甲型水驅(qū)曲線

ln(Wp+C)=A+BNp

(15)

其中

(16)

當(dāng)累積產(chǎn)水量足夠大時，C值可以忽略，式(15)可以簡化為

lnWp=A1+B1Np

(17)

1.2 童氏圖版的改進(jìn)及童氏圖版系數(shù)的計算公式

式(15)兩邊對累積產(chǎn)油量求導(dǎo)，整理后可得

(18)

令含水率為98%時的累積產(chǎn)油量為Np98，則3.89=lnB+A+BNp98

(19)

式(18)和式(19)相減并結(jié)合式(16)可得

(20)

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，可得

b=2(nw+no)

(21)

將式(21)代入式(20)，可得

-ER) (22)

其中

式(22)可表示為常用對數(shù)公式，即

-ER)

(23)

其中

式(23)就是改進(jìn)后的童氏圖版模型。CT為童氏圖版系數(shù)，其值與水相指數(shù)和油相指數(shù)之和成正比，與Welge系數(shù)驅(qū)油效率之積成反比。

1.3 Welge系數(shù)的計算公式

根據(jù)文獻(xiàn)[18],前緣含水飽和度方程為

-Swi)

也可以用標(biāo)準(zhǔn)化的含水飽和度表示為

(24)

其中

(25)

根據(jù)式(5)可得水驅(qū)前緣處含水率為

(26)

將式(26)代入式(24)，可得

(27)

再結(jié)合式(26)及式(27)，可得

(28)

由此可見，水驅(qū)前緣處液油產(chǎn)量比與標(biāo)準(zhǔn)化的水油飽和度比呈線性關(guān)系，其斜率為油相指數(shù)，截距為水相指數(shù)。

由文獻(xiàn)[17]可得

也可以用標(biāo)準(zhǔn)化的含水飽和度表示為

(29)

由式(28)可得

(30)

根據(jù)式(29)和式(30)可得

(31)

根據(jù)式(31)可得

(32)

由式(26)可得

(33)

將式(30)代入式(33)，可得

(34)

再將式(32)代入式(34)，可得

M=

(35)

已知水油流度比和水相指數(shù)及油相指數(shù)，就可以通過式(35)計算出Welge系數(shù)w。

2 理論水驅(qū)曲線的提出及與Arps遞減曲線的關(guān)系

2.1 理論水驅(qū)曲線的推導(dǎo)

筆者曾探討理論水驅(qū)曲線與Arps遞減曲線的關(guān)系[4]，本文進(jìn)一步探討其內(nèi)在關(guān)系。

Welge微分方程可以表示為[19]

(36)

由式(9)和式(36)可得

初始條件為：Swe=Swf；fw=fwf。

將式(37)積分后可得

(38)

將式(13)代入式(12),可得

-Swi-Sor)+Swi

(39)

將式(39)代入式(38),整理后可得

(40)

式(40)可以改寫為

(41)

初始條件為：Np=Npbt，Lp=Lpbt。

式(41)分離變量并積分后可得

(42)

將式(25)代入式(29),可得

(43)

將式(43)代入式(42),可得

(44)

記

(45)

則式(44)可以改寫為

(46)

將式(43)代入式(45)，可得

(47)

根據(jù)式(45)，式(47)可以改寫為

(48)

2.2 遞減率的定義

定義單位液量的產(chǎn)量變化率即遞減率為

(49)

由式(49)可得

水驅(qū)前緣突破時的遞減率為

(50)

將式(24)和式(13)代入式(50)，可得

(51)

將式(25)和式(43)代入式(51)可得式(47)，可見式(46)中Dlbt實(shí)際上就是水驅(qū)前緣突破時的遞減率，w為遞減指數(shù)。式(46)在形式上與Arps遞減曲線完全一致。由于Arps遞減曲線僅在定壓或定液條件下適用，而理論水驅(qū)曲線適用范圍更廣，因此對水驅(qū)油田而言，理論水驅(qū)曲線可以代替Arps遞減曲線。

理論水驅(qū)曲線克服了Arps遞減曲線存在的一些問題，但理論水驅(qū)曲線仍存在不足，比如水驅(qū)前緣突破前并不適用，參數(shù)求解也有難度。為了解決理論水驅(qū)曲線的問題，提出了近似理論水驅(qū)曲線。由近似理論水驅(qū)曲線求出可動油儲量后，就可解決理論水驅(qū)曲線參數(shù)求解難的問題。

3 近似理論水驅(qū)曲線的提出及參數(shù)解法

3.1 近似理論水驅(qū)曲線的推導(dǎo)

基于水油比的公式即式(6)可得

(52)

將式(13)代入式(52)，可得

初始條件為：Swd=0；Wp=0。積分后可得

在通常情況下，無法得到被積函數(shù)的原函數(shù)，但是加上一項(xiàng)高階小項(xiàng)后得到[13]

Wp≈

積分可得

(53)

其中

將式(13)代入式(53)，可得近似理論水驅(qū)曲線

(54)

其中

(55)

Np0=(1-w)NR

(56)

3.2 近似理論水驅(qū)曲線參數(shù)的解法

式(54)可以改寫為

(57)

兩邊對累積產(chǎn)油量求導(dǎo)并整理后可得

(58)

式(18)可以改寫為

(59)

這里B2=B。

根據(jù)式(59)可得

(60)

由式(16)和式(21)可得

2(nw+no)=B2wNR

(61)

由式(17)可得

Wp=eA1+B1Np

(62)

對比式(53)、式(62)和式(6)、式(60)，由式(61)可得

(63)

令

(64)

將式(56)、式(60)、式(62)、式(63)和式(64)代入式(58)，可得

(65)

由式(56)可得

NRp0=(2-w)NR

(66)

將式(43)代入式(66)，可得

進(jìn)而可得可動油儲量計算公式為

NR=(2fwfNpbt+NRp0-Npbt)/2+

(67)

根據(jù)式(65)可得

Np0=NRp0-NR

(68)

由式(57)可得

-Np)=

待定q值，選取合適的線性段可以回歸得到p/q和A值，直至計算的累積產(chǎn)油量和實(shí)際的累積產(chǎn)油量之差的平方和最小,這樣可以求出近似理論水驅(qū)曲線的各項(xiàng)參數(shù)。

3.3 水驅(qū)前緣突破時的累積產(chǎn)油量和含水率的近似計算

水驅(qū)前緣突破時應(yīng)該滿足如下條件[13]

(69)

由式(18)可得

(70)

將式(70)代入式(69)，可得[13]

(71)

將式(71)代入式(70)，可得水驅(qū)前緣突破時的含水率為

(72)

4 可動用儲量預(yù)測應(yīng)用實(shí)例

以文獻(xiàn)[21]中大慶油田小井距注水試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例(表1)。根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，可以繪制出累積產(chǎn)水量對數(shù)值與累積產(chǎn)油量的關(guān)系圖(圖1)，可見甲型水驅(qū)曲線已經(jīng)出現(xiàn)線性段。

表1 大慶油田小井距注水試驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 1 Injecting test data under small well spacing in Daqing oilfield

圖1 實(shí)際累積產(chǎn)水量對數(shù)值與累積產(chǎn)油量關(guān)系圖Fig.1 Relationship between logarithm of cumulative water production and cumulative oil production

為了求出累積產(chǎn)水量和水油比表示的甲型曲線的系數(shù)A1、B1和A2、B2，可以根據(jù)式(15)待定C值，使選定的線性段的數(shù)據(jù)點(diǎn)計算的累積產(chǎn)水量和實(shí)際累積產(chǎn)水量的平方和最小(圖2)。回歸方程為

ln(Wp+601.5)=3.541 3+0.001 029Np

(73)

即

A=3.541 3

B=0.001 029

C=601.5

圖2 待定C值求取ln(Wp+C)甲型水驅(qū)曲線Fig.2 Calculating method of type A water drive curve with C constant undetermined

根據(jù)式(73)可以計算出累積產(chǎn)水量的值，根據(jù)計算的累積產(chǎn)水量，可以回歸出甲型水驅(qū)曲線(圖3)。

lnWp=2.797 7+0.001 146Np

(74)

即

A1=2.797 7

B1=0.001 146

圖3 甲型水驅(qū)曲線回歸計算Fig.3 Regression calculating method of type A water drive curve

由式(73)可得

即

A2=-3.338 2

B2=0.001 029

將A1、B1、A2、B2的值代入式(65),可得

將A、B的值代入式(71),可得

將式(72)及NRP0、Npbt的值代入式(67)，可得可動油儲量的值NR=9 341.38 t。再通過式(68)可以計算出無水采油量Np0=1 546.51 t。

5 結(jié)論

1) 基于Welge線性方程，改進(jìn)了童氏圖版，并給出了童氏圖版系數(shù)的計算公式，其值與水相指數(shù)和油相指數(shù)之和成正比，與Welge系數(shù),驅(qū)油效率之積成反比。

2) 基于相滲曲線冪函數(shù)表示法，將前緣含水飽和度的微分方程轉(zhuǎn)化為線性方程。水驅(qū)前緣處液油比和標(biāo)準(zhǔn)化的水油飽和度比呈線性關(guān)系，其截距為水相指數(shù)，斜率為油相指數(shù)；進(jìn)一步推導(dǎo)出Welge系數(shù)和水油流度比、水相指數(shù)及油相指數(shù)的相關(guān)關(guān)系式。

3) 結(jié)合Welge微分方程和線性方程，推導(dǎo)出理論水驅(qū)曲線，引入了水驅(qū)前緣突破時的遞減率概念。水驅(qū)前緣突破時的遞減率的值與Welge系數(shù)和水驅(qū)前緣突破時的累積產(chǎn)油量之積的倒數(shù)成正比。

4) 理論水驅(qū)曲線與Arps遞減曲線的形式完全一致，Welge系數(shù)類似于Arps遞減曲線的遞減指數(shù)。在定壓和定液生產(chǎn)條件下，產(chǎn)量變化符合Arps遞減規(guī)律。生產(chǎn)制度影響Arps遞減指數(shù)，定壓生產(chǎn)條件下遞減指數(shù)為n，其值僅與油相指數(shù)有關(guān)；定液生產(chǎn)條件下Arps遞減指數(shù)為w,其值不僅與油相指數(shù)有關(guān)，還與水相指數(shù)、水油流度比有關(guān)。在其他生產(chǎn)條件下，Arps遞減曲線并不適用，但理論水驅(qū)曲線在任何生產(chǎn)制度下均適用，適用范圍更寬。

5) 理論水驅(qū)曲線和Arps遞減曲線一樣，不適用于水驅(qū)前緣突破之前。為了解決這一缺陷，基于相滲曲線冪函數(shù)表示法，提出了近似理論水驅(qū)曲線，并結(jié)合甲型水驅(qū)曲線的特征，給出了近似理論水驅(qū)曲線參數(shù)的解法。

6) 用甲型水驅(qū)曲線確定水驅(qū)前緣突破時的累積產(chǎn)油量和含水率，有時誤差較大，進(jìn)而影響可動油儲量及其他參數(shù)的預(yù)測精度。因此，如何準(zhǔn)確確定水驅(qū)前緣突破時的累積產(chǎn)油量和含水率的值還有待進(jìn)一步研究；同時水驅(qū)曲線推導(dǎo)過程中忽略了重力和毛管力的影響，其對預(yù)測精度的影響還需進(jìn)一步探討。

符號注釋