將斯特恩—蓋拉赫實(shí)驗(yàn)引入大學(xué)物理教學(xué)

汪亞平 寧長(zhǎng)春 次仁尼瑪 劉當(dāng)波

(1西藏大學(xué)理學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心，西藏 拉薩 850000；2西藏大學(xué)理學(xué)院物理系，西藏 拉薩 850000；3上海交通大學(xué)物理與天文學(xué)院，上海 200240)

斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)，簡(jiǎn)單地說(shuō)：就是讓銀原子通過(guò)非均勻磁場(chǎng)，觀察其磁矩在非均勻磁場(chǎng)中的受力和偏轉(zhuǎn)情況。該實(shí)驗(yàn)所包含的物理概念有：原子的結(jié)構(gòu)(盧瑟福的原子核式模型、玻爾氫原子模型、玻爾-索末菲理論)、原子中價(jià)電子的軌道角動(dòng)量、原子中價(jià)電子的軌道角動(dòng)量磁矩、電子的自旋、電子的自旋磁矩、原子的總磁矩、磁矩在非均勻磁場(chǎng)中的受力分析、薛定諤方程、不確定性關(guān)系、波粒二象性等。

斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)原本是屬于原子物理、量子力學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。通行的各種大學(xué)物理教材中，都不會(huì)講述這個(gè)實(shí)驗(yàn)。我們嘗試按照時(shí)間順序，從1916年索末菲提出“空間量子化”的概念(實(shí)驗(yàn)的最初動(dòng)機(jī))，1922年“斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)”得出實(shí)驗(yàn)結(jié)果(正確的實(shí)驗(yàn)給出了錯(cuò)誤的解釋)，1927年“電子自旋”概念提出(實(shí)驗(yàn)的最終解釋)，一一展開(kāi)其中的物理概念的教學(xué)。讓學(xué)生體會(huì)到經(jīng)典理論走向半經(jīng)典半量子的舊量子理論，再了解量子力學(xué)的物理思想變化。讓學(xué)習(xí)大學(xué)物理的非物理專(zhuān)業(yè)學(xué)生對(duì)該實(shí)驗(yàn)有一比較全面的了解。

1 載流線圈的磁矩以及載流線圈在磁場(chǎng)中的受力和運(yùn)動(dòng)

1.1 載流線圈磁矩的概念

對(duì)于一個(gè)載流線圈，將：

m=IS=ISen

(1)

定義為它的磁矩。其中，I是線圈中的電流強(qiáng)度；S是載流線圈包圍的面積；en是載流線圈平面的法線單位矢量，規(guī)定其方向與線圈中電流的環(huán)繞方向滿(mǎn)足右手螺旋定則。圖1給出了一種最簡(jiǎn)單的載流線圈，亦即平面圓形載流線圈的磁矩。

圖1 閉合回路具有的磁矩

1.2 載流線圈在均勻磁場(chǎng)中的受力和運(yùn)動(dòng)

將上述的載流線圈放在均勻磁場(chǎng)當(dāng)中，其所受力矩為

M=m×B

(2)

圖2 載流線圈放入均勻磁場(chǎng)

1.3 載流線圈在非均勻磁場(chǎng)中的受力和運(yùn)動(dòng)

圖3 載流線圈放入不均勻磁場(chǎng)

1.4 無(wú)限小的載流線圈在非均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡

為了與之后的敘述銜接，我們假設(shè)：第一，我們所討論的載流線圈，是無(wú)限小的載流線圈，尺寸在原子的尺度，并且質(zhì)量忽略不計(jì)，不受重力影響；第二，進(jìn)入磁場(chǎng)的無(wú)限小的載流線圈，只具有上下兩種磁矩方向。如圖4所示，無(wú)限小且不受重力影響只具有上下兩種磁矩方向的載流線圈，從S2處進(jìn)入非均勻磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的寬度為d,D表示載流線圈受到磁場(chǎng)力開(kāi)始偏轉(zhuǎn)到屏P的距離。z1是無(wú)限小載流線圈在磁場(chǎng)的出口處，偏離中軸線的垂直距離，z2是無(wú)限小載流線圈在P處偏離中軸線的垂直距離。

圖4 無(wú)限小載流線圈在非均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡

非均勻磁場(chǎng)的設(shè)置，讓磁場(chǎng)梯度的方向沿著z軸，在x和y方向均為零。亦即：

(3)

所以無(wú)限小載流線圈受力只在z方向：

(4)

無(wú)限小載流線圈以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，垂直方向受到力Fz的作用，做拋物線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程是：

(5)

無(wú)限小載流線圈在經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)區(qū)(長(zhǎng)度為d)時(shí)，已經(jīng)偏離x軸z1距離。此時(shí)與x軸的偏角是

(6)

出了磁場(chǎng)，無(wú)限小載流線圈將沿直線運(yùn)動(dòng)，一直落在屏幕上面，偏離x軸的距離為

(7)

根據(jù)前述假設(shè)，進(jìn)入磁場(chǎng)的無(wú)限小載流線圈的磁矩方向只能取上下兩種，也就是cosθ=±1，所以按運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析，可知無(wú)限小的載流線圈在經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)后，磁矩方向向上的，將會(huì)落在屏P的上方，磁矩方向向下的，將會(huì)落在屏P的下方。

2 氫原子的磁矩以及氫原子在磁場(chǎng)中的受力和運(yùn)動(dòng)

2.1 玻爾氫原子模型

如果研究的是一個(gè)帶電粒子沿閉合回路運(yùn)動(dòng)(或者自旋)，也可以按照式(1)來(lái)計(jì)算它所具有的磁矩，用式(2)來(lái)計(jì)算其在磁場(chǎng)中所受的磁力矩，以及用式(4)來(lái)計(jì)算它在非均勻磁場(chǎng)中的受力。這樣，就可以將先前對(duì)于載流線圈的分析方法，用來(lái)分析氫原子。氫原子中的價(jià)電子圍繞原子核(1個(gè)質(zhì)子)做圓周運(yùn)動(dòng)。而這個(gè)價(jià)電子的閉合圓周運(yùn)動(dòng)，恰恰構(gòu)成了一個(gè)閉合回路。下面討論“將載流線圈放入非均勻磁場(chǎng)”轉(zhuǎn)化為“將氫原子放入非均勻磁場(chǎng)”的情況。

玻爾氫原子模型中，有3個(gè)重要的假設(shè)。其一，定態(tài)假設(shè)；其二，躍遷假設(shè)；其三，軌道角動(dòng)量量子化假設(shè)。其中軌道角動(dòng)量量子化假設(shè)，實(shí)際上是將量子化條件從能量的數(shù)值擴(kuò)展到軌道角動(dòng)量的數(shù)值。玻爾明確指出：

(8)

2.2 氫原子的電子軌道角動(dòng)量和電子的軌道磁矩的關(guān)系

下面給出氫原子的軌道角動(dòng)量與其磁矩之間的關(guān)系。需要說(shuō)明的是：在大學(xué)物理教材中，載流線圈的磁矩是用m表示，但是通行的教材里，原子的磁矩均是用μ表示。下文將用μ來(lái)表示原子的磁矩。

圖5 電子的軌道角動(dòng)量和磁矩的關(guān)系

如圖5所示，如果原子中電子繞原子核旋轉(zhuǎn)的頻率是ν，軌道半徑為r，則磁矩為

(9)

μ=-γL

(10)

(11)

式中μB為玻爾磁子。

由以上討論可知，按照玻爾模型，氫原子中的價(jià)電子將沿閉合軌道運(yùn)動(dòng)，從而具有一個(gè)角動(dòng)量，而這個(gè)角動(dòng)量將會(huì)產(chǎn)生一個(gè)磁矩。于是，對(duì)于無(wú)限小的載流線圈的在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)分析，可用于氫原子在非均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。

2.3 玻爾-索末菲理論

1916年，索末菲和德拜各自獨(dú)立地對(duì)氫原子模型進(jìn)行了修正，形成了“玻爾-索末菲理論”。亦即將玻爾氫原子模型的圓形軌道推廣到橢圓形軌道，并且相應(yīng)地，將玻爾原先的量子化條件從1個(gè)擴(kuò)展到3個(gè)。

玻爾原先對(duì)于他的圓軌道提出的量子化條件中的n(n=1,2,3，…)，被保留下來(lái)，后來(lái)被稱(chēng)為主量子數(shù)。另外又引入了兩個(gè)新的量子數(shù)，一個(gè)是l(l=1,2,…,n),l和n一起，決定了橢圓形軌道的大小和形狀(l=n時(shí)，橢圓軌道成為圓軌道)。一個(gè)是m(m的取值范圍從-l到+l,不能等于零)，被稱(chēng)為投影量子數(shù)(projection quantum number)。假如n=1，軌道是圓形軌道，索末菲和德拜的理論指出，這時(shí)m只能取+1或者-1，亦即軌道角動(dòng)量在空間上只能取兩個(gè)特定的方向。這個(gè)結(jié)論是驚人的！亦即索末菲和德拜在玻爾氫原子模型中角動(dòng)量數(shù)值量子化條件和一個(gè)平面內(nèi)軌道不連續(xù)之外，又加了一個(gè)空間取向上的量子化。這也就是當(dāng)時(shí)所謂的空間量子化。

索末菲同時(shí)指出：在他的模型里，如果忽略相對(duì)論效應(yīng)以及沒(méi)有外加電場(chǎng)和外加磁場(chǎng)的前提下，能量取決于主量子數(shù)n，與l和m無(wú)關(guān)。但是如果考慮到相對(duì)論效應(yīng)，l將對(duì)能量有微小的影響。而這種理論，居然恰恰能夠很好地解釋氫原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。

但是問(wèn)題依然存在：既然氫原子中電子的能量和m無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)氫原子光譜和m無(wú)關(guān)，在不加外加電磁場(chǎng)的情況下，我們就無(wú)法感知到空間量子化的存在。索末菲的觀點(diǎn)是：m所決定的離散的空間取向，在空間上是等價(jià)的,如果在空間當(dāng)中沒(méi)有一個(gè)相應(yīng)的選定的參考方向，就無(wú)法感知。但是如果一個(gè)外加的電場(chǎng)或者磁場(chǎng)，來(lái)給予這樣一個(gè)參考方向，不同的空間方向?qū)?huì)在能量上顯示出差異。(電子的運(yùn)動(dòng)路徑的法線方向與外加磁場(chǎng)的方向之間的夾角，決定電子與磁場(chǎng)之間的相互作用。)圖6給出了玻爾氫原子模型與玻爾-索末菲氫原子模型的差別。

圖6 索末菲對(duì)于玻爾理論進(jìn)行的修正

圖7 氫原子在非均勻磁場(chǎng)中的受力

2.4 氫原子在磁場(chǎng)中的受力分析

(12)

其中，θ指的是氫原子的磁矩方向與磁場(chǎng)方向的夾角。

注意式(12)來(lái)自于式(4)，只是為遵從原子物理以及量子物理中的習(xí)慣，用μ這個(gè)符號(hào)來(lái)表示氫原子的磁矩。

需要注意的是：載流線圈磁矩的空間取向，可以取任意一個(gè)方向，亦即是連續(xù)的。這就意味著：cosθ可以在-1和+1之間取任意值。那么一個(gè)載流線圈進(jìn)入非均勻磁場(chǎng)之后，可以朝向任意方向運(yùn)動(dòng)。但在玻爾-索末菲理論中，氫原子的角動(dòng)量，空間取向卻是量子化的，亦即意味著氫原子的磁矩取向也是量子化的，進(jìn)入外加磁場(chǎng)的氫原子的磁矩方向，只能取“上”或者“下”兩個(gè)方向。亦即在非均勻磁場(chǎng)中，磁矩向上的氫原子只能往上運(yùn)動(dòng)，磁矩向下的氫原子只能往下運(yùn)動(dòng)。

3 斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)以及對(duì)之的幾種解釋

下面介紹斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)裝置和實(shí)驗(yàn)原理。

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

圖8 斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖8所示。第一，這個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置中，采用的不是氫原子，而是銀原子。銀原子從爐子內(nèi)被蒸發(fā)出來(lái)，要經(jīng)過(guò)狹縫狀的兩個(gè)準(zhǔn)直器，進(jìn)入非均勻磁場(chǎng)。第二，非均勻磁場(chǎng)是由兩塊特殊形狀的磁鐵構(gòu)成(如圖所示，磁場(chǎng)梯度沿z軸正向)。第三、銀原子經(jīng)過(guò)非均勻磁場(chǎng)之后，繼續(xù)前進(jìn)，會(huì)打在一塊冷卻的玻璃板上，銀原子將沉積在玻璃板上，形成一定的沉淀形狀。

假設(shè)在理論上，銀原子和氫原子在磁場(chǎng)中表現(xiàn)一模一樣，那么氫原子究竟是否存在空間量子化的問(wèn)題，恰如斯特恩所說(shuō)：只要觀察玻璃板上的沉積形狀即可。

3.2 經(jīng)典理論對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的預(yù)期

基于上述基本物理概念很容易理解經(jīng)典理論對(duì)于這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的預(yù)期。如果進(jìn)入磁場(chǎng)后，氫原子價(jià)電子的軌道角動(dòng)量取向任意，磁矩取向自然也是任意方向。讓氫原子進(jìn)入斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)裝置，外加磁場(chǎng)的方向在z軸上，磁場(chǎng)梯度的方向在z軸正方向上，那么氫原子磁矩μ的取向任意，如圖9所示，使得磁矩和z軸的夾角可以取任意數(shù)值，則cosθ的取值自然可以從-1到+1之間取任意值，于是磁矩在z軸方向上的投影μz=μcosθ可以取任意值。

圖9 經(jīng)典理論對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的預(yù)期

進(jìn)入磁場(chǎng)的氫原子的價(jià)電子的磁矩，具有隨機(jī)的空間取向，μz=μcosθ的數(shù)值將會(huì)大小不同，數(shù)值連續(xù)分布，按照式(12)，每一個(gè)氫原子所受的向上或者向下的力，也應(yīng)該大小不同，但在數(shù)值上是連續(xù)分布。就大量的氫原子而言，向上運(yùn)動(dòng)和向下運(yùn)動(dòng)，從而與y軸(中軸線)偏離的角度也應(yīng)該連續(xù)取值，并且總數(shù)量在任意一個(gè)角度上平權(quán)。這樣偏轉(zhuǎn)并在前進(jìn)一段距離之后，最后打在玻璃板上，只是原先的分子束形(狹縫)被在z軸上展寬而已。飛行距離越遠(yuǎn)，分子速度越小，展寬越厲害。所以經(jīng)典理論對(duì)于這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的預(yù)期是：將會(huì)在玻璃板上出現(xiàn)被展寬的連續(xù)分布的分子束形。

3.3 舊量子理論對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的預(yù)期

按照玻爾-索末菲理論，因?yàn)檫M(jìn)入磁場(chǎng)的氫原子天然地感知到了磁場(chǎng)的方向，于是其價(jià)電子的軌道角動(dòng)量只能取上下兩種方向，式(12)當(dāng)中的cosθ只能取+1或者-1，于是氫原子在z方向上，也只能感受到上下兩種方向的力。于是，一切分析變得和1.4節(jié)中的敘述一致。也就是說(shuō)，在氫原子經(jīng)過(guò)非均勻磁場(chǎng)，然后繼續(xù)飛行，抵達(dá)P(玻璃板，見(jiàn)圖10)時(shí)，按照式(7)，z2只能有兩個(gè)取值。(實(shí)際上這時(shí)，我們會(huì)感受到玻爾-索末菲理論在n和l之外，提出m的驚人之處。因?yàn)槿绻麤](méi)有這個(gè)m，即便n和l是量子化的，也只能導(dǎo)致角動(dòng)量數(shù)值上的量子化，因?yàn)閏osθ依然可以取連續(xù)值，從而導(dǎo)致μz=μcosθ依然可以取連續(xù)值，從而影響到z2也會(huì)取連續(xù)的值，而不會(huì)出現(xiàn)量子化的結(jié)果。也就是說(shuō)：只有當(dāng)μ在z方向的投影是量子化的，z2的數(shù)值才可能是分立的。z2的數(shù)值分立，反過(guò)來(lái)可以證明μz是否量子化。)

斯特恩認(rèn)為這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的確是驗(yàn)證了空間量子化的概念。因?yàn)榘凑詹?索末菲理論，如圖11所示，預(yù)設(shè)一個(gè)方向(通過(guò)外加磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn))，相對(duì)于這個(gè)方向，氫原子的角動(dòng)量只能有兩個(gè)方向，亦即磁矩只能有上下兩個(gè)方向。這樣，氫原子在磁場(chǎng)中，只能有1/2的氫原子向上運(yùn)動(dòng)，1/2的氫原子向下運(yùn)動(dòng)。于是玻璃板上只能出現(xiàn)一個(gè)分裂的分子束形。

圖10 舊量子論對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的預(yù)期

圖11 舊量子論對(duì)于氫原子磁矩的判斷

3.4 量子力學(xué)對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的解釋

實(shí)際上，1922年的實(shí)驗(yàn)結(jié)果出來(lái)之后，斯特恩的確認(rèn)為這個(gè)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了空間量子化的概念。但是現(xiàn)在我們知道，這個(gè)正確的實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了一個(gè)錯(cuò)誤的理論。因?yàn)閷?duì)于這個(gè)實(shí)驗(yàn)正確的解釋?zhuān)鶕?jù)量子力學(xué)來(lái)處理。為了完成這個(gè)事情，我們按照楊福家教材里的敘述方法，給出量子力學(xué)對(duì)于這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)大體解釋。之后將介紹大學(xué)物理通行教材中量子力學(xué)的基本知識(shí)，再用這些量子力學(xué)的基本概念，對(duì)該實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出更為詳盡的量子力學(xué)解釋。

3.4.1 量子力學(xué)對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的大體解釋

(13)

而式(13)是由量子力學(xué)的計(jì)算得到的(氫原子的薛定諤方程的解.說(shuō)明不僅軌道角動(dòng)量的z分量Lz是量子化的，L本身也是量子化的。l稱(chēng)為角動(dòng)量量子數(shù)。)

于是，在量子力學(xué)中，將式(13)代入式(10)，氫原子磁矩大小的表達(dá)式為

(14)

(用μl，原因是認(rèn)為氫原子的磁矩全部是由價(jià)電子的軌道角動(dòng)量貢獻(xiàn)的)再次用到氫原子薛定諤方程的一個(gè)求解結(jié)果：

Lz=m，m=0,±1,±2,…,±l

(15)

(此式表示的是角動(dòng)量在z方向上的投影大小。形式上與玻爾氫原子模型中的角動(dòng)量量子化條件一樣，但是，這個(gè)公式出現(xiàn)在這里，卻是求解薛定諤方程得到的，m稱(chēng)為磁量子數(shù)。)

下面，將式(15)用到式(14)中，便得到磁矩在z方向上的投影：

(16)

(為了區(qū)分電子的質(zhì)量和式(15)中的磁量子數(shù)，此處用ml表示磁量子數(shù))。這樣又有：

式(17)、式(18)兩式，表明氫原子的磁矩及其z分量的大小是量子化的，來(lái)源于電子的軌道角動(dòng)量L及z分量Lz的大小的量子化。而Lz的量子化表明了角動(dòng)量在空間取向的量子化。即角動(dòng)量量子數(shù)為l時(shí)，角動(dòng)量在空間有2l+1個(gè)取向，它對(duì)應(yīng)有2l+1個(gè)投影值ml。

到此，問(wèn)題是：斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)盡管證明了原子在磁場(chǎng)中的空間量子化，但是卻不能解釋氫原子在磁場(chǎng)中只有兩個(gè)取向的事實(shí)?？臻g量子化認(rèn)為，l一定，ml=2l+1.也即是說(shuō)：l是整數(shù)，2l+1一定是奇數(shù)。這說(shuō)明我們對(duì)原子的描述仍然是不完備的。

實(shí)際上，這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)偶數(shù)分裂，說(shuō)明要2l+1為偶數(shù)，只有角動(dòng)量為半整數(shù)才可以。軌道角動(dòng)量不可能出現(xiàn)半整數(shù)。烏倫貝克1925年提出：電子不是點(diǎn)電荷，除了軌道角動(dòng)量，還有自旋運(yùn)動(dòng)，固有的自旋角動(dòng)量為S：

(19)

Sz=ms,

(20)

有了這個(gè)假設(shè)之后，便有了與自旋相聯(lián)系的磁矩：

(21)

由于這兩個(gè)式子與實(shí)驗(yàn)事實(shí)不符，再次假設(shè)電子的磁矩為1個(gè)玻爾磁子，也就是經(jīng)典數(shù)值的2倍。磁矩的方向與自選的方向相反。(這個(gè)假設(shè)，與電子自旋概念一起，可以由狄拉克相對(duì)論量子力學(xué)嚴(yán)格導(dǎo)出)這意味著，式(17)、式(18)兩式，在原子體系中并不嚴(yán)格成立。于是定義一個(gè)g因子，使得對(duì)任意角動(dòng)量j所對(duì)應(yīng)的磁矩，以及在z方向的投影，可以表示為

只考慮到軌道角動(dòng)量時(shí)，j=l,則gl=1

重新回到式(17)、式(18)。這是借助于經(jīng)典的軌道概念再加上量子化條件得到的。

只考慮電子的自旋時(shí)，j=s,則gs=2。到此為止，g只是一個(gè)假設(shè)。稱(chēng)為朗德因子。

(以上，將小寫(xiě)的j,l,s分別表示電子的總角動(dòng)量，軌道角動(dòng)量，自旋角動(dòng)量。目的是區(qū)分多電子原子所用的角動(dòng)量的符號(hào)。)

電子的總磁矩，在引入電子自旋磁矩的概念后，可以用圖12計(jì)算。(暫不考慮原子核的貢獻(xiàn)，原子核的質(zhì)量，比電子的質(zhì)量大3個(gè)數(shù)量級(jí)，磁矩是與質(zhì)量成反比。那么原子核的磁矩要比電子的磁矩小3個(gè)數(shù)量級(jí)。原子核磁矩對(duì)于原子的貢獻(xiàn)，在于超精細(xì)相互作用。)

圖12 電子磁矩與角動(dòng)量的關(guān)系

從圖12中可以看出，μ不是一個(gè)具有確定方向的量，可分解為兩個(gè)量。一個(gè)沿著j的沿線，叫做μj,這是有一定方向的恒量。另一個(gè)垂直于j，由于繞著j轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)外平均效果抵消了。因此，對(duì)外發(fā)生作用的是μj，即電子的總磁矩。

如果將電子的自旋也考慮進(jìn)去，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的解釋?xiě)?yīng)該是(如果不考慮電子的自旋，無(wú)法解釋偶數(shù)分裂)：原子的磁矩應(yīng)該用式(23)。于是式(7)變成：

(24)

由于mJ=J,J-1,…,-J,共有2J+1個(gè)數(shù)值。相應(yīng)有2J+1個(gè)分立的z2數(shù)值。那么具體到處于基態(tài)的氫原子：

3.4.2 大學(xué)物理中的量子力學(xué)基本概念

1) 薛定諤方程

給出薛定諤方程

i

(25)

其中,Ψ=Ψ(x,y,z,t)叫做波函數(shù)。其一維形式是：

i

(26)

大學(xué)物理中的知識(shí)，至少可以讓同學(xué)明白，在量子力學(xué)中上述方程就相當(dāng)于經(jīng)典力學(xué)中的牛頓第二定律。對(duì)保守體系，力可以表示成勢(shì)能函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，F(xiàn)=-?V/?x，V表示的就是勢(shì)能函數(shù)。

以一維波函數(shù)為例，略去求解的過(guò)程，可以直接寫(xiě)出方程的解為

(27)

之前用到的式(13)，就是氫原子薛定諤方程的解。而式(22)和式(23)，是由狄拉克相對(duì)論量子力學(xué)導(dǎo)出。

2) 電子自旋

量子力學(xué)中，電子自旋會(huì)賦予電子一個(gè)內(nèi)稟自旋磁矩:

(28)

另外，在量子力學(xué)中，薛定諤方程和海森堡的矩陣力學(xué)是等價(jià)的。也就是說(shuō)，薛定諤方程中的算符也可以用矩陣算符來(lái)代替。而對(duì)于電子自旋這樣的雙能級(jí)系統(tǒng)而言，這無(wú)疑是更方便的處理方式。令式(27)當(dāng)中的N=2，我們可以用矩陣的算符去描述電子的自旋體系：

(29)

其中，

(30)

(31)

則σz的本征態(tài)可以表示成：

(32)

于是↑和↓就分別表示z方向上的上和下。利用式(27)，可以寫(xiě)出電子自旋的波函數(shù)：

(33)

E↑和E↓分別代表H的本征值，對(duì)應(yīng)著ψ↑和ψ↓。

3.4.3 量子力學(xué)對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的嚴(yán)格解釋框架

根據(jù)以上知識(shí)，對(duì)于斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)進(jìn)行解釋。

首先，這個(gè)實(shí)驗(yàn)當(dāng)中，哈密頓算符是：

(34)

利用式(28)、式(29)、式(30)，也可以寫(xiě)成：

(35)

設(shè)氫原子進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間為T(mén)，有：

(36)

由此可以得出：

(37)

再次用式(33)，有：

(38)

上式即離開(kāi)磁場(chǎng)后的原子的狀態(tài)(t≥T)。

將這式與下式比較：

(39)

我們可以得出：

(40)

其中，±意味著電子自旋的兩個(gè)指向在z方向采取了上和下兩種狀態(tài)。注意其與磁場(chǎng)梯度b正比。也就是說(shuō)，如果電子自旋取向隨機(jī)，進(jìn)入我們?cè)O(shè)計(jì)的磁場(chǎng)，將會(huì)在離開(kāi)磁場(chǎng)的時(shí)候，只具有上下兩種自旋方式，因?yàn)樽孕谋憩F(xiàn)χ↑↓與±pz糾纏在一起。由此，斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)從量子力學(xué)得到嚴(yán)格解釋。

4 將斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)引入大學(xué)物理的主要困難

文章的源頭，是從一個(gè)無(wú)限小的載流線圈講起，之后，在用無(wú)限小的載流線圈來(lái)比擬銀原子的磁矩，到此時(shí)，才覺(jué)得為了形象地讓同學(xué)理解這個(gè)實(shí)驗(yàn)，導(dǎo)致了另外的一些風(fēng)險(xiǎn)。這風(fēng)險(xiǎn)就在于試圖用經(jīng)典物理的思維方式，去理解與經(jīng)典物理完全不同的量子力學(xué)的物理概念。有必要將這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)告知學(xué)生。

第一，這個(gè)實(shí)驗(yàn)的解釋?zhuān)诒举|(zhì)上，根本與經(jīng)典物理的概念不沾邊(歸因于經(jīng)典物理和量子力學(xué)完全是兩種知識(shí)體系)。也即是說(shuō)：這個(gè)實(shí)驗(yàn)只能用量子力學(xué)的基本原理去說(shuō)明。當(dāng)然這也意味著為了讓學(xué)生真正的洞察斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)的物理本質(zhì)，離不開(kāi)量子力學(xué)所需要的基本的物理概念和數(shù)學(xué)工具。第二，因?yàn)檎J(rèn)知的需要，原子物理教材當(dāng)中敘述這個(gè)實(shí)驗(yàn)，也有用到半經(jīng)典半量子的敘述方式去講述這個(gè)實(shí)驗(yàn)，所以從電子軌道的概念引出電子的軌道角動(dòng)量，進(jìn)而引出電子磁矩的概念等做法，一直沿用至今。實(shí)際上需要給同學(xué)講清楚，這種做法僅僅是為了促進(jìn)認(rèn)知和理解，實(shí)際上已經(jīng)偏離了物理本質(zhì)。費(fèi)曼說(shuō)：我們必須用一種抽象的或想象的方式，而不是把它與我們的直接經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)的方式去學(xué)習(xí)量子力學(xué)。本文另外一個(gè)期望，就是在讓學(xué)生明白這個(gè)事實(shí)的前提下，以大學(xué)物理教學(xué)內(nèi)容中的基本物理概念為基礎(chǔ)，盡可能走進(jìn)氫原子的內(nèi)部，更深入地理解斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)，以及以理解這個(gè)實(shí)驗(yàn)為手段，了解量子力學(xué)的一些基本原理，以引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)量子力學(xué)的興趣。

還需要交代清楚疊加態(tài)和混合態(tài)的問(wèn)題。假設(shè)送入斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)裝置的是許多個(gè)角動(dòng)量只有上下兩種取向的無(wú)限小載流線圈，這與送入斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)裝置的許多個(gè)銀原子，本質(zhì)的區(qū)別在于：許多個(gè)角動(dòng)量只有上下兩種取向的無(wú)限小載流線圈，每一個(gè)載流線圈在送入實(shí)驗(yàn)裝置之前，其實(shí)都有確定的磁矩方向(要么上，要么下)，但是由于其總體數(shù)量巨大，在空間上下兩個(gè)方向上均有50%的分布，在進(jìn)入非均勻磁場(chǎng)之后，亦會(huì)出現(xiàn)上下分裂的兩束。但是許多個(gè)銀原子，與無(wú)限小的載流線圈的區(qū)別在于，在測(cè)量之前，每一個(gè)銀原子的價(jià)電子的自旋，并不確定。只是向上自旋和向下自旋這兩種態(tài)的疊加。而是測(cè)量本身，使得銀原子分裂為上下兩束，亦即使得銀原子價(jià)電子自旋上下兩種狀態(tài)得到了明確的確定。

5 結(jié)論

本文緊扣大學(xué)物理的基本物理概念，從一個(gè)小的載流線圈所具有的磁矩講起，將之放入非均勻磁場(chǎng)，探討其受力和運(yùn)動(dòng)。之后引入玻爾-索末菲模型，讓氫原子價(jià)電子的軌道角動(dòng)量和磁矩建立聯(lián)系，引入軌道角動(dòng)量量子化的概念(角動(dòng)量數(shù)值的量子化、軌道大小的量子化、軌道角動(dòng)量空間取向的量子化)，從半經(jīng)典半量子的方式，說(shuō)明角動(dòng)量量子化會(huì)導(dǎo)致磁矩量子化，氫原子將如同一個(gè)無(wú)限小的載流線圈一樣(只不過(guò)空間取向量子化)，在磁場(chǎng)中產(chǎn)生離散的偏轉(zhuǎn)。然后提出斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)背景和實(shí)驗(yàn)原理，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步講解經(jīng)典物理對(duì)于斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)結(jié)果的預(yù)期、舊的量子力學(xué)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的解釋?zhuān)约傲孔恿W(xué)對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最終解釋。在這之后，以解釋斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)為導(dǎo)向，簡(jiǎn)單梳理了大學(xué)物理教學(xué)內(nèi)容中量子力學(xué)的基本知識(shí)點(diǎn)并稍有拓展(主要是電子自旋)。并且指出量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)是完全不同的兩種知識(shí)體系，這種將無(wú)限小的載流線圈和氫原子的磁矩(實(shí)際上是與電子自旋)相比擬的講解方法，純屬形象化的教學(xué)所需，著重強(qiáng)調(diào)了疊加態(tài)和混合態(tài)的區(qū)別。文章結(jié)尾，對(duì)于將斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)引入大學(xué)物理存在的困難進(jìn)行了簡(jiǎn)要的提及，以供有興趣的老師進(jìn)行進(jìn)一步的追究。