一維Aubry-André模型中的局域化

王鳳梅,徐志浩

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

1 理論模型

我們考慮具有最近鄰相互作用的單組分費(fèi)米子被捕陷在雙色光晶格中,雙色光晶格可以通過兩個(gè)波數(shù)分別為k和αk的非公度晶格疊加而得到,系統(tǒng)由如下哈密頓量來描述

(1)

2 結(jié)果與分析

2.1 AA模型中的反常局域化

我們計(jì)算了系統(tǒng)的Shannon熵,它是另外一個(gè)重要的物理量用來刻畫無序系統(tǒng)中單模態(tài)的局域特性。Shannon熵的定義為[17-18]:

(2)

Shannon熵用來表征實(shí)際的波函數(shù)偏離均勻分布的程度。當(dāng)系統(tǒng)尺寸增加到無窮時(shí),對(duì)于擴(kuò)展態(tài)S(En)∝lnL,而對(duì)于局域態(tài)S(En)為常數(shù),因此Shannon熵是有界的0≤S(En)≤lnL。圖1下半部分刻畫了不同能量En所對(duì)應(yīng)的Shannon熵S(En),和逆參與率的結(jié)果相類似,系統(tǒng)中分出三個(gè)區(qū)間,在擴(kuò)展區(qū)S(En)≈lnL=8.699 5,局域區(qū)Shannon熵變?yōu)橛邢薮蟮闹?而在臨界區(qū)間的值和擴(kuò)展區(qū)與局域區(qū)有明顯的區(qū)別。

Insets show probability distributions of different regions:(a)critical region;(b)extend region;(c)localized region;(d)edge state. 000,λ=1.5,φ=0 as a function of energy En插圖展示不同區(qū)域的概率分布(a)臨界區(qū)域;(b)擴(kuò)展區(qū)域;(c)局域區(qū)域;(d)邊緣態(tài)。這里,圖隨著能量本征值En的變化

在V=0時(shí),我們首先考慮α?1,λ<2的情況下,非公度化參數(shù)α,調(diào)制強(qiáng)度λ對(duì)類遷移率邊的影響。圖2(a)展示了對(duì)于不同λ,類遷移率邊|E1c±|+λ,|E2c±|的位置隨著α變化的情況。圖中特殊點(diǎn)為數(shù)值計(jì)算結(jié)果,線表示為線性擬合的結(jié)果。對(duì)于|E1c±|+λ為斜率為0的一條直線,且截距為2t。由此可見,E1c±=±|2t-λ|,并不依賴于非公度化參數(shù)α的取值。而對(duì)于|E2c±|,其擬合曲線形如:|E2c±|=μπα+γ。表1中展示了對(duì)于不同調(diào)制強(qiáng)度λ,擬合參數(shù)μ和γ的值。從表中我們可以看出隨著λ的增加擬合直線的斜率在逐漸增大,并且截距γ=2t-λ,即在α趨于0的極限,系統(tǒng)的兩對(duì)類遷移率邊重合,重合位置在±|2t-λ|。圖2(b)展示了α不同時(shí)類遷移率邊|E2c±|隨著調(diào)制強(qiáng)度λ變化的情況。類遷移率邊|E2c±|隨著α的減小越來越接近于線性變化,并且在α→0的極限下,與|E1c±|近似重合,然而隨著α的增加|E2c±|和λ的關(guān)系曲線變得復(fù)雜,不再呈線性關(guān)系。值得注意的是,我們觀察到,以α=1/(70π)為例,當(dāng)λ=2時(shí),|E1c±|=0,而|E2c±|并沒有完全消失,即在λ=2時(shí),與通常的AA模型不同,在此參數(shù)點(diǎn)下,系統(tǒng)在E2c-

Fig.2 (a)|E1c±|+λ,|E2c±| as a function of απ with different quasi-periodic modulation amplitudes λ,dots represent calculation results and lines are the corresponding fitting results;(b)|E2c±| as a function of λ with different incommensurate parameters α.Solid line is for 2t-λ. Here, φ=0,L=6 000圖2 (a) |E1c±|+λ,|E2c±|在準(zhǔn)周期調(diào)制強(qiáng)度λ不同時(shí)對(duì)應(yīng)απ的變化,點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是計(jì)算值,線對(duì)應(yīng)的擬合結(jié)果;(b) |E2c±|在非公度參數(shù)α不同時(shí)對(duì)應(yīng)λ的變化。實(shí)線表示2t-λ。這里L(fēng)=6 000,φ=0

|E2c±|=μπα+γ λ0.51.01.5 L=6 000 μ17.982 624.615 230.902 3γ1.493 60.998 20.493 5

Here,L=9 000,α=1/(70π),λ=3,φ=0Fig.3 (a)IPR as a function of En;(b)entropyS (En) as a function of En.這里L(fēng)=9 000,α=1/(70π),λ=3,φ=0圖 對(duì)應(yīng)能量En的變化;(b)S(En)對(duì)應(yīng)能量En的變化

2.2 AA模型的多體局域化

〈γ〉=0.386,〈γ〉=0.529 5 are respectively for the distribution of Poisson andFig.4 Average ratio of adjacent energy gaps 〈γ〉 as a function of λ with different 〈γ〉=0.386和〈γ〉=0.529 5分別對(duì)應(yīng)泊松分布和Wigner-Dyson分布;圖4 平均相鄰能隙間的比率〈γ〉在L不同時(shí)隨調(diào)制強(qiáng)度λ的變化

為了進(jìn)一步觀察每一個(gè)多體態(tài)的局域化性質(zhì),我們計(jì)算多體態(tài)的正常參與率:

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Color bar is the value of Here,V=1,L=14,N=7Fig.5 Average normal participation ratio as a function of quasi-periodic modulation amplitudes λ顏色棒對(duì)應(yīng)的平均值這里,V=1,L=14,N=7圖5 平均正常參與率隨著調(diào)制強(qiáng)度λ的變化

Fig.6 Distribution of quasi-periodic potential cos(2παj) for different sitej.Solid line for and dash line for α=1/(70π).圖6 準(zhǔn)周期勢cos(2παj)對(duì)應(yīng)不同格點(diǎn)j的分布;實(shí)線對(duì)應(yīng)虛線對(duì)應(yīng)α=1/(70π)

3 結(jié)論