利用積分和式求極限的方法探索

摘 要：求極限值有若干方法，本文結(jié)合考研熱點(diǎn)，介紹利用積分和式求某類(lèi)數(shù)列極限的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；極限；定積分；夾逼定理

研究生入學(xué)考試中，極限的求法是考查的熱點(diǎn)問(wèn)題。結(jié)合歷屆考研情況，總結(jié)一類(lèi)關(guān)于“有n項(xiàng)相加或有n個(gè)因式的積的數(shù)列”的題型，利用以下定理來(lái)求解。

定理：設(shè)f（x）在[0，1]上連續(xù)，un=1n∑ni=1f（in），則limn→∞un=limn→∞1n∑ni=1f（in）=∫10f（x）dx。

證明：f（x）在[0，1]上連續(xù)，則f（x）在[0，1]上可積，取[0，1]等分分割T：

0<1n<2n<3n<…

limn→∞un=limn→∞1n∑ni=1f（in）=lim‖T‖→0∑ni=1f（ξi）Δxi=∫10f（x）dx。

例1 （天津大學(xué)）求極限limn→∞1nln1+1n1+2n…1+nn

解：設(shè)un=1nln1+1n1+2n…1+nn=1n∑ni=1ln1+in，令f（x）=ln（1+x），則f（x）在[0，1]上連續(xù)，于是limn→∞un=limn→∞1n∑ni=1ln1+in=∫10ln（1+x）dx=2ln2-1。

例2 求極限：limn→∞（nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2）= 。

解：原式=limn→∞1n（n2n2+1+n2n2+22+…+n2n2+n2）=limn→∞1n∑ni=111+in2=∫1011+x2dx=π4

例3 （2017年全國(guó)數(shù)學(xué)一10分）求極限limn→∞∑nk=1kn2ln1+kn。

解：設(shè)f（x）=xlnx，則f（x）在[0，1]上連續(xù)，

原式=limn→∞∑nk=11nln1+knkn=limn→∞1n∑nk=1knln1+kn=∫10xln（1+x）dx=ln2

例4 （北京大學(xué)1998）求：limn→∞sinπnn+1+sin2πnn+12+…+sinnπnn+1n。

解：設(shè)un=sinπnn+1+sin2πnn+12+…+sinnπnn+1n

則：un<1nsinπn+sin2πn+…+sinnπn=1n∑ni=1siniπn，

而limn→∞1n∑ni=1siniπn=∫10sinπxdx=2π

又un>1n+1sinπn+sin2πn+…+sinnπn=nn+11n∑ni=1siniπn

limn→∞nn+11n∑ni=1siniπn=∫10sinπxdx=2π

由夾逼定理知limn→∞sinπnn+1+sin2πnn+12+…+sinnπnn+1n=2π

綜上，有n項(xiàng)相加或有n個(gè)因式的積的數(shù)列的極限，可以轉(zhuǎn)化為積分和式，然后利用定積分求極限。有時(shí)不是積分和式，可以適當(dāng)放大縮小轉(zhuǎn)化為積分和式，再利用夾逼定理進(jìn)行求解。

參考文獻(xiàn)：

[1]李永樂(lè)，王式安，季文鐸.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū)[M].北京：國(guó)家行政學(xué)院出版社，2016.

[2]張華珍.用定積分法巧求數(shù)列極限[J]安徽文學(xué)，2006，12：77-78.

[3]全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試輔導(dǎo)用書(shū)編審委員會(huì).全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試十年真題（數(shù)學(xué)一）[M].北京大學(xué)出版社，2009.

作者簡(jiǎn)介：

李青柏，云南省昭通市，昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院。