具有Markov切換Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的依概率漸近穩(wěn)定性①

吳媛媛, 余珮琳, 孫云霞, 程 培

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1](簡稱CGNN)是由Cohen和Grossberg于1983年首次提出的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。 CGNN模型在模式識別、信號處理、最優(yōu)化等方面都有廣泛的應(yīng)用,從而吸引很多的學(xué)者對其進行研究。在現(xiàn)實應(yīng)用中,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)會出現(xiàn)隨機故障,導(dǎo)致鏈接權(quán)值或閥值突然被改變,可能造成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或者參數(shù)發(fā)生多樣性改變,具有可變結(jié)構(gòu)。 對于這種系統(tǒng),常常利用Markov切換模型來刻畫[2,3]。目前研究主要都集中于矩漸近穩(wěn)定[4,5]和矩指數(shù)穩(wěn)定。關(guān)于依概率穩(wěn)定、依概率漸近穩(wěn)定等方面的分析研究比較少見。 因此, 針對帶有Markov切換的CGNN,我們將研究其依概率漸近穩(wěn)性問題。 借助文獻[2]中構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的思想,將基于Markov切換的轉(zhuǎn)移概率的性質(zhì),構(gòu)造一個特殊的Lyapunov函數(shù),然后根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI工具研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 準備知識

這里采用以下記號：Rn為n維歐氏空間,Rn×m為n×m實矩陣空間,I為適當(dāng)維的單位矩陣,符號diag表示對角矩陣,λmax(·)表示矩陣的最大特征值,上標(biāo)T表示向量或矩陣的轉(zhuǎn)置, 符號*表示矩陣中的由對稱性得到的元素,符號o(·)表示高階無窮小。

令{r(t),t≥0}是完備概率空間(Ω,F,P)上的右連續(xù)Markov切換,取值于有限狀態(tài)空間S={1,2,…m}。Γ=(γij)m×m是對應(yīng)的生成元,滿足

P{r(t+δ)=j|r(t)=i}=

(1)

考慮如下帶有Markov切換的CGNN:

(2)

其中x(t)=(x1(t),…,xn(t))T為n維神經(jīng)元狀態(tài)向量,

矩陣a(x(t),r(t))=diag(a1(x1(t),r(t)),…,an(xn(t),r(t)))為放大函數(shù),b(x(t),r(t))=(b1(x1(t),r(t)),…,bn(xn(t),r(t)))T為神經(jīng)元形為函數(shù),Α∈Rn×n為連接權(quán)矩陣,g(x(t))=(g1(x1(t)),…,gn(xn(t)))T為神經(jīng)元激勵函數(shù)。

假設(shè)2 存在正常數(shù)βil,使得對?x∈R, ?i∈S以及l(fā)=1,2,…,n,有

xbl(x,i)≥βilx2。

假設(shè)3 存在正定對角矩

使得對?x,y∈R

且x≠y以及l(fā)=1,2,…,n,有

為了研究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(2)的穩(wěn)定性,假設(shè)g(0)=0,故神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(2)存在平凡解x(t)=0。

定義1 稱神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的平凡解是依概率穩(wěn)定的,如果對?ε>0,有

定義2 稱神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的平凡解是依概率漸近穩(wěn)定的,如果它是依概率穩(wěn)定的,并且有

考慮帶有Markov切換的一般的隨機微分系統(tǒng)

(3)

其中f:Rn×S→n,假設(shè)系統(tǒng)(3)存在平凡解。對于任意二階連續(xù)可微函數(shù)V(·,i),i∈S,關(guān)于系統(tǒng)(3)定義算子

V(x,i)=fT(x,i)

(4)

引理1[2]： 設(shè)D?Rn為包含原點的任一區(qū)域。 若對?i∈S,存在滿足下列條件的非負函數(shù)V(·,i):D→R：

(i)V(·,i)在D中連續(xù),并且V(x,i)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0；

(ii)V(·,i)在D-{0}中二階連續(xù)可微,且對于任意充分小的α>0和ε>0,有

LV(x,i)-κ, ?ε

其中常數(shù)κ=κ(ε)>0,則系統(tǒng)(3)的平凡解是依概率漸近穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)果

對于任意i∈S,記:

定理1 若存在常數(shù)μi∈R和正定對角矩陣Q,P∈Rn×n,使得對于?i∈S有下面的矩陣不等式成立：

(5)

證明： 定義列向量μ=(μ1,μ2,…μm)Τ∈Rm,令

Γc=μ+βΙm

有解c=(c1,c2,…,cm)∈Rm。 將上面的代數(shù)方程展開可得：

(6)

進而由(6)式可得：

(7)

選擇常數(shù)θ∈(0,1)充分小使得

1-θci>0, ?i∈S

(8)

和

(9)

同時成立。

對于?i∈S,定義Lyapunov函數(shù)

V(x,i)=(1-θci)|xΤQx|θ

對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(2),易算得由(4)式定義的微分算子

LV(x,i)=-2θ(1-θci)|xΤQx|θ-1xΤ

Qa(x,i)[b(x,i)-Aig(x)+o(|x|)]+

(10)

由假設(shè)1 知對?i∈S,放大函數(shù)a(x,i)滿足

a(x,i)a(x,i)

(11)

因此,將矩陣不等式(5)分別左乘和右乘矩陣diag(a(x,i),Ι),可得

(12)

由假設(shè)1和假設(shè)2知對?i∈S,有

-2xΤQa(x,i)b(x,i)

(13)

由假設(shè)3知對?i∈S,有

gΤ(x)Pg(x)xΤUPUx

(14)

將(7),(12)-(14)式代入(10)式可得,對于?i∈S

LV(x,i)

2xΤQa(x,i)Aig(x)+o(x2)]+

θ(1-θci)|xΤQx|θ-1[ξΤΦiξ+μixΤQx+

(15)

其中ξ=(x,g(x))T,O(x)→0(x→0)。 因此,對于?i∈S,由(8)式知對于任意充小的α>0和ε>0,當(dāng)ε

LV(x,i)-κ(ε)<0。

由引理1可知神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(2)的平凡解是隨機漸近穩(wěn)定的。證畢。

定理2 若存在正定對角矩陣Q∈Rn×n,使得對于?i∈S有下面的不等式成立：

(16)

則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(2)隨機漸近穩(wěn)定。

證明：

由(16)式知β>0。

注意到,由假設(shè)1和假設(shè)3知,對于正定對角矩陣Q∈Rn×n,有下式成立：

2xΤQa(x,i)Aig(x)

與定理1的證明類似可證,若不等式(16)成立,則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(2)隨機漸近穩(wěn)定。 證畢。

3 結(jié) 論

探討了一類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的依概率漸近穩(wěn)定性?；贚yapunov穩(wěn)定性理論,利用Markov切換轉(zhuǎn)移概率的性質(zhì)和線性矩陣不等式(LMI)工具。